Notre m´ethode bas´ee sur la m´etrique des distances s’appuie sur la normali- sation des s´eries des donn´ees et le calcul des distances entre les s´eries temporelles, ce qui permet de calculer les distances entre les pays et des indicateurs. Cette approche permet de trouver les relations mutuelles entre les s´eries des donn´ees. Celles-ci peuvent ˆetre d´echiffr´ees en utilisant la m´ethode bas´ee sur la m´etrique des distances (« distance-based approach » ; Zhang et al., 2009).
Ici, notre analyse s’applique aux s´eries temporelles multidimensionnelles. Afin d’analyser les d´es´equilibres dans le monde, nous allons inclure 12 pays et 11 facteurs6 (soit 132 s´eries temporelles au total). L’analyse des d´es´equilibres dans
l’UE-15 se concentre sur 15 pays et 9 facteurs (soit 135 s´eries temporelles au total) et l’analyse des d´es´equilibres dans l’UE-28 inclut 28 pays et 5 facteurs (soit 140 s´eries temporelles au total)7. En effet, l’avantage de cette m´ethode est qu’elle
permet d’analyser un grand nombre de pays et leurs facteurs simultan´ement. Nous consid´erons une matrice-temps d´ependante des donn´ees X(t). Cette matrice X(t) contient n × m des ´el´ements Xik(t)8 en combinant leur information
du facteur choisi k ∈ {1, 2, . . . , m} (soit m facteurs au total) correspondant au pays particulier i ∈ {1, 2, . . . , n} (soit n pays au total).
1. Dans le cadre de l’analyse des d´es´equilibres dans le Monde9, nous aurons
n = 12 (pays) et m = 11 (facteurs) : nous aurons donc un ensemble de 132 s´eries temporelles d´ecrites par Xik(t).
2. Dans le cadre de l’analyse des d´es´equilibres dans l’UE-15, nous aurons n = 15 (pays) et m = 9 (facteurs) : nous aurons donc un ensemble de 135 s´eries temporelles d´ecrites par Xik(t).
3. Dans le cadre de l’analyse des d´es´equilibres dans l’UE-28, nous aurons n = 28 (pays) et m = 5 (facteurs) : nous aurons donc un ensemble de 140 s´eries temporelles d´ecrites par Xik(t).
6. Dans cette analyse, nous allons utiliser le terme « facteurs » pour les indicateurs. 7. ´Evidemment, la m´ethode permet d’analyser encore plus de s´eries temporelles. 8. La dimension de cette matrice est (n × m).
9. En g´en´eral, cet ´echantillon contient davantage de pays. Or, ici, nous allons utiliser 11 pays les plus peupl´es du Monde (60% de la population mondiale) ainsi que l’agr´egat pour l’UE-15.
Les s´eries temporelles qu’on utilise Xik(t) ont des valeurs discr`etes et leurs
unit´es peuvent ˆetre consid´erablement diff´erentes. Par cons´equent, nous devons les mettre `a l’´echelle en utilisant la normalisation. Nous obtenons ainsi les donn´ees dans une forme normalis´ee. Afin de normaliser les s´eries temporelles Xik(t), nous
calculons : ˆ Xik(τ ; t, T ) ≡ Xik(τ ) − Xmin,ik(W (t, T )) Xmax,ik(W (t, T )) − Xmin,ik(W (t, T )) (3.13)
Dans cette derni`ere ´equation, il s’agit des valeurs du minimum local et du maxi- mum local.
Xmax,ik(W (t, T )) ≡ max
τ ∈W (t,T )Xik(τ ) , (3.14)
Xmin,ik(W (t, T )) ≡ min
τ ∈W (t,T )Xik(τ ) , (3.15)
Ces valeurs standardis´ees seront analys´ees sur la fenˆetre temporelle glissante de la taille T localis´ee dans le temps t :
W(t, T ) = { t − T + 1, t − T + 2, . . . , t − 1, t }. (3.16) La fenˆetre d´efinit notre point de vue sur les donn´ees enregistr´ees dans le temps t; en avan¸cant dans le temps, la fenˆetre peut chevaucher d’autres fenˆetres10.
´
Etant donn´e que les donn´ees sont standardis´ees (mises `a l’´echelle), les va- leurs Xik deviennent non pertinentes. Des caract´eristiques par paires du syst`eme
peuvent ˆetre analys´ees dans le temps t en calculant la moyenne de la distance de Minkowski (l’´equation (3.4)) : Dik,jl(t) = 1 T X τ ∈W (t,T ) Xˆik(τ ; t, T ) − ˆXjl(τ ; t, T ) p 1/p , (3.17)
o`u p est l’indice (p ≥ 1) qui identifie le type de la distance11.
10. Du point de vue des calculs, nous devons trouver le meilleur arrangement entre les valeurs imm´ediates des donn´ees (c’est-`a-dire peu d’observations et T faible) ou la grandeur statistique requise (c’est-`a-dire l’obtention de T suffisamment grand en introduisant la fenˆetre temporelle qui se chevauchera avec d’autres en avan¸cant dans le temps).
Autrement dit, nous calculons ici la distance entre l’´evolution de chaque paire de nos s´eries temporelles Xik.12
´
Etant donn´e qu’une forme quadri-dimensionnelle de la distance Dik,jl(t)13
est assez difficile `a interpr´eter, nous r´eduisons ce rapport par une « sommation `a travers » :
(i) des facteurs k identiques
Dijcc(t) = 1 m m X k=1 Dik,jk(t) , (3.18)
(ii) des pays i identiques
Dklff(t) = 1 n n X i=1 Dik,il(t) . (3.19)
Ces derni`eres ´equations d´efinissent des distances moyennes de paires inter- pays (Dcc
ij(t)) et des distances inter-facteurs (Dklff(t)).14
Cette information, qui a la forme de matrice n2 + m2 ´el´ements, est par la
suite agr´eg´ee dans les vecteurs de n (ou m) composantes. Dic(t) = 1 n− 1 n X j=1,j6=i Dccij(t) , (3.20) Dkf(t) = 1 m− 1 m X l=1,l6=k Dklff(t) . (3.21)
12. Chaque s´erie temporelle est d´efinie par le pays i (ou j pour un autre pays) et le facteur k (ou l pour un autre facteur). Ici, nous calculons la distance entre (i) la s´erie temporelle ˆXik
qui correspond au pays i et au facteur k et (ii) la s´erie temporelle ˆXjl qui correspond au pays
j et au facteur l.
13. Nous y avons quatre indices : deux qui d´eterminent les pays (i et j) et deux qui d´eter- minent les facteurs (k et l).
14. Ici, Dcc
ij(t) est la distance moyenne entre le pays i et le pays j calcul´ee sur la base
de tous les facteurs inclus (par exemple, la distance entre la France et l’Allemagne quant aux ´evolutions de 15 variables macro´economiques choisies). Ainsi, Dcc
ij(t) est la distance entre le
Ces composantes repr´esentent des distances arithm´etiques moyennes se rap- portant `a un pays (Dc
i) ou `a un facteur (Dkf). Ici, il s’agit de la distance moyenne
du pays i par rapport `a tous les n−1 autres pays analys´es15. De fa¸con analogique,
il s’agit de la distance moyenne du facteur k par rapport `a tous les m − 1 autres facteurs analys´es.
Afin de d´eterminer les tendances convergentes et divergentes de l’´evolution des distances inter-pays et inter-facteurs, nous allons calculer :
(i) le moyenne des distances inter-pays particuli`eres (Dic)
Dc(t) = 1 n n X i=1 Dic(t) , (3.22)
(ii) le moyenne des distances inter-facteurs particuli`eres (Dfk) Df(t) = 1 m m X k=1 Dfk(t) . (3.23)
Ici, nous pouvons ´egalement calculer les m´edianes : Dcmed(t) = median (Dcc11(t), D12cc(t), . . . , Dccnn(t)) , Dfmed(t) = median!Dff
11(t), Dff12(t), . . . , Dmmff (t) . (3.24)
Une fa¸con rationnelle de traitement des donn´ees obtenues est de calculer : Dijcc(t) , Dklff(t) , D
c
(t) , Dcmed(t), Df(t) , Dfmed(t) (3.25) et les repr´esenter ensuite par un « boxplot » `a 5 valeurs num´eriques.
La hi´erarchie de nos indicateurs des distances, repr´esent´ee par les ´equations (3.18) - (3.24), offre une vue sur les diff´erents niveaux des informations sur les distances entre les pays et les facteurs.
15. Par exemple, la distance moyenne de la France par rapport `a d’autres 14 pays analys´es, en consid´erant l’´evolution de tous les facteurs choisis, ´evidemment.
Nous supposons qu’une similitude mutuelle et une interconnexion des pays s’affirment par une similitude croissante dans l’´evolution des s´eries temporelles, qui d´ependent l’une de l’autre16.
L’avantage de la variable avec un seul indice, c’est-`a-dire la distance Dc i, est
qu’elle permet d’ordonner les distances moyennes se rapportant `a un pays selon leurs valeurs, et donc d’identifier les pays les plus proches et ceux les plus ´eloign´es. Cela est valide ´egalement pour les distances moyennes se rapportant `a un facteur Df
k.
Nous ordonnons les distances moyennes se rapportant `a un pays (Dc
i) selon
leurs valeurs `a progression ascendante : Dicc 1(t)(t) ≤ D c ic 2(t) ≤ . . . ≤ D c ic n(t)(t) (3.26)
pour les pays particuliers i dans le temps t : ic
1(t), ic2(t), . . . , icn(t) , (3.27)
o`u ic
s(t) ∈ {1, 2, . . . , n}, s ∈ {1, 2, . . . , n} .
De fa¸con analogique, nous pouvons ordonner les distances moyennes se rap- portant `a un facteur (Dkf) : Dkff 1(t)(t) ≤ D f kf 2(t) ≤ . . . ≤ D f kf m(t)(t) (3.28)
pour les facteurs particuliers k dans le temps t : kf
1(t), k2f(t), . . . , kfm(t) , (3.29)
o`u kf
r(t) ∈ {1, 2, . . . , m}, r ∈ {1, 2, . . . , m} .
Dans les sections suivantes, nous allons offrir les r´esultats de l’application de cette m´ethode pour les pays choisis du monde et de l’Europe.
16. A titre d’exemple, nous pouvons mentionner le commerce international qui influence le produit int´erieur brut, le volume des r´eserves ´etrang`eres et l’endettement ext´erieur.