3.2 Description de la mesure
3.2.4 Etalonnage de la mesure de bruit
Domaine d’´etude du bruit
Les domaines dans lesquels nous pouvons ´etudier le bruit en courant sont d´efinis par la fr´equence de mesure des fluctuations et l’intervalle de tensions de polarisation de l’´echantillon.
3.2 Description de la mesure 57
Figure3.13 – Bruit en fonction de la fr´equence. Nous nous pla¸cons dans un r´egime de bruit blanc (i.e. o`u le bruit d´epend pas de la fr´equence et plus exactement dans la zone hachur´ee). La courbe est trait continu correspond `a la fonction f 7→ 0.5+11.75×252/((f −307×103)2+252)
Les variations en fr´equence ont ´et´e ´etudi´ees sur l’´echantillon U 4N T 1, pour des tensions : VSD= 1mV et VG= 0.65V , sur un intervalle allant d’environ 500kHz `a plus de 2M Hz.
Le bruit, ramen´e `a 2eI, est repr´esent´e figure 3.13. Nous obtenons une d´ecroissance du bruit en fonction de la fr´equence jusqu’`a une≪stabilisation≫. L’ajustement lorentzien, repr´esent´e
par la courbe noire sur la figure 3.13 (donn´e `a titre indicatif) est d´ecrit par la fonction : 0.5 + 11.75 × 252/((f − 307 × 103)2 + 252). Cette forme fonctionnelle semble indiquer la
pr´esence de peu de fluctuateurs coupl´es au nanotube. Nous nous pla¸cons dans un r´egime o`u le bruit est blanc i.e. o`u la trace du bruit en fonction de la fr´equence est plate afin de sortir du r´egime de bruit en 1/f .
Pour le domaine de tension, nous restons dans un r´egime de faibles excitations soit une ´energie, eV , faible devant la s´eparation des niveaux d’´energie de la boite quantique unidi- mensionnelle (de l’ordre de quelques milli´electron-volts). Nous allons ´etudier le bruit essen- tiellement dans la fenˆetre de tension de −1mV `a +1mV .
Sur la figure 3.14, une mesure de bruit est repr´esent´ee en fonction de la tension source- drain dans le domaine [−10mV, 10mV ]. Nous avons repr´esent´e, `a titre indicatif, par la courbe rouge le bruit de Schottky multipli´e par le terme d’arrondi thermique : (coth(eV /2kBT ) −
2kBT ∂V→0) × 2eI. Les deux pics observ´es au voisinage de VSD = ±5mV ont probablement
une origine extrins`eque li´ee aux fluctuateurs d´ecrits pr´ec´edemment. Il apparait donc essen- tiel d’effectuer nos mesures de bruit `a basse ´energie (|VSD| . 1mV ) pour en d´eterminer la
partie intrins`eque. Ces brusques variations des fluctuations apparaissent parfois `a plus faibles excitations (comme nous le verrons lors dans l’´etude du bruit des deux prochains chapitres), pour des tensions de grille et source-drain pr´ecises. Ces anomalies sont mises de cˆot´e lors de l’´etude des fluctuations de courant.
Etalonnage des gains des chaˆınes d’amplification
Le bruit `a l’´equilibre des r´esistances, correspondant au bruit de Johnson-Nyquist, se pr´esente comme une r´ef´erence qui nous permet d’´etalonner la chaˆıne d’amplification de ten- sion. Cet ´etalonnage des gains des amplificateurs est effectu´e lorsque le courant ne peut pas
Figure 3.14 – Bruit en exc`es, ∆S = S − S(V = 0), en fonction de la tension. La courbe rouge correspond `a (coth(eV /2kBT ) − 2kBT ∂V→0)2eI. Nos exp´eriences sont effectu´ees dans
un r´egime de faibles excitations (i.e dans la zone hachur´ee)
circuler entre les ´electrodes source et drain (lorsque que le nanotube n’est pas passant ou en l’abscence d’´echantillon). Nous nous int´eressons alors aux autocorr´elations des potentiels VS
et VD. D’apr`es les calculs donn´es par l’´equation (3.4), dans la limite o`u g = 0, nous pouvons
´ecrire :
hδVSδVS∗i = | ˜Z1|2hi2Si
hδVDδVD∗i = |Z2|2hi2Di
Or, les fluctuations des courants iS et iD v´erifient :
hi2Si = 4kBT (R−11 + R−1AC+ R−1DC) + Sn,1
hi2Di = 4kBT R2−1+ Sn,2
o`u Sn,1/2sont les fluctuations de courant des amplificateurs 1/2 (de l’ordre de 4×10−26A2/Hz).
D`es lors, nous remarquons que les fluctuations de potentiels sont des fonctions lin´eaires de la temp´erature. En ne consid´erant que la partie lin´eaire en la temp´erature, nous obtenons comme gains G1 et G2 : G1 = r SV1 4kBT (R−11 +R−1AC+R−1DC) × 1 R0 1 ≡ g1 | ˜Z1| R0 1 G2 = r SV2 4kBT R−12 × 1 R0 2 ≡ g2 |Z2| R0 2
o`u SV1 = hδV1δV1∗i = g21hδVSδVS∗i et SV2 = hδV2δV2∗i = g22hδVDδVD∗i. Les gains sont
´etalonn´es pour chaque ´echantillon et pour chaque fr´equence de mesure. Pour les ´echantillons U 4N T 1/216, les mesures des fluctuations des tensions amplifi´ees par les deux amplificateurs, SV1 et SV2, sont pr´esent´ees figure 3.15.
Nous obtenons comme ajustements lin´eaires :
SVS = (2.578 ± 0.003) × 10−12+ T × (1.059 ± 0.004) × 10−13 V2/Hz SVD = (1.328 ± 0.002) × 10−12+ T × (0.5361 ± 0.002) × 10−13 V2/Hz
3.2 Description de la mesure 59
Figure3.15 – Bruit `a l’´equilibre sur les ´electrodes S (noir) et D (rouge), apr`es amplification, pour les ´echantillons de type U 4 autour de la fr´equence : fc = 2.221M Hz
Nous obtenons17 : G1 = 3068 ± 6 et G2 = 2196 ± 4. Ces gains correspondent ainsi
`
a l’int´egralit´e de la chaˆıne d’amplification18 d’o`u un facteur 0.5 que nous rencontrons par
rapport au gain de la conductance19.
Pour l’´echantillon LC2V N T 120, ces mˆemes densit´es spectrales de bruit sont repr´esent´ees
figure 3.16 autour de fc = 1.221M Hz.
Figure3.16 – Bruit `a l’´equilibre sur les ´electrodes S (noir) et D (rouge), apr`es amplification, pour l’´echantillon LC2V N T 1 autour de la fr´equence : fc = 1.221M Hz
17. le gain 2 est en fait calcul´e pour un bruit en courant : hi2
Di = 4kBT (R−11 + R′−1) o`u R′est la r´esistance
de polarisation de 20180Ω, pr´esent´ee figure 3.10
18. dans la r´ef´erence [93], les gains correspondent `a ceux des amplificateurs uniquement (d’o`u un facteur 0.5, voir note de bas de page (19)) et ne sont pas exactement d´efinis de la mˆeme mani`ere
19. ce facteur 0.5 est dˆu `a la coexistance des r´esistances 50Ω de sortie des amplificateurs et 50Ω d’entr´ee de l’analyseur de spectre ce qui g´en`ere un diviseur de tension d’un facteur 2
Les ajustements lin´eaires de ces grandeurs donnent alors : SVS = (1.131 ± 0.001) × 10−11+ T × (5.93 ± 0.01) × 10−13 V2/Hz SVD = (1.106 ± 0.001) × 10−11+ T × (5.926 ± 0.01) × 10−13 V2/Hz
Les gains21 sont donc : G
1 = 7268 ± 10 et G2 = 7302 ± 10 (ces derni`eres valeurs ´etant
diff´erentes de celles obtenues pour les ´echantillons U 4, les syst`emes pr´eamplificateurs-att´enuateurs- amplificateurs ayant ´et´e modifi´es entre les deux ´echantillons).
Etalonnage du fond
Un point d´eterminant pour extraire le bruit intrins`eque du bruit mesur´e est la bonne connaissance du fond du bruit. Ce fond est ´etalonn´e pour chaque nouvel ´echantillon. Nous allons pr´esenter ici, sur la base de l’´echantillon LC2V N T 1, les d´etails de cette d´etermination. L’essentiel de cette d´etermination passe par l’ajustement de la d´ependance du bruit en fonction de la transmission de l’´echantillon `a la temp´erature de base des mesures (T = 1.4K et fc = 1.221M Hz pour LC2V N T 1). Pour ce faire, le bruit a ´et´e mesur´e `a tension source-
drain nulle, pour des tensions de grille allant de VG = 10.8 `a VG = 11.5 et pour un pas de
∆VG= 0.005. Les mesures sont repr´esent´ees figure 3.17a., comme fonction de la conductance
diff´erentielle. Chaque point correspond `a la moyenne du bruit, S, d´efini par l’´equation (3.6), sur environ 10 mesures (au total 692 points ont ´et´e mesur´es). L’erreur affich´ee sur chaque
Figure 3.17 – Bruit, S, mesur´e sur LC2V N T 1 `a VSD = 0V et T = 1.4K pour des tensions de grille allant de VG = 10.8 `a VG = 11.5 `a une fr´equence de fc = 1.221M Hz (et `a fc =
2.221M Hz pour l’encart) (a.) et Sof f repr´esent´e pour ces deux fr´equences (b.)
point de la figure 3.17 est l’´ecart quadratique moyen sur les diff´erentes mesures. Un ajustement lin´eaire sur ces donn´ees conduit `a : S(D, T = 1.4K) = −(4.2(±0.1) + 7.5(±0.2)D)10−27 (o`u D est d´efini par D = dI/dV (4e2/h)−1).
Dans l’encart, la mˆeme mesure a ´et´e effectu´ee `a une fr´equence centrale, fc, de 2.221M Hz.
La part du fond est alors beaucoup plus faible d’o`u une croissance de S, ce dernier ´etant domin´e par les fluctuations thermique sur le nanotube (la droite pr´esent´ee suit l’´equation : (−4+3.75D)×10−27). Cette diminution du fond est en partie expliqu´ee par la forme th´eorique du fond du bruit, d´ecrite par la formule (3.7), pour laquelle le fond est propotionnel aux parties
3.2 Description de la mesure 61
r´eelles de ˜Z1 et Z2. Or, pour des capacit´es C1/2 de l’ordre de quelques centaines de picofarad
(nous avons ´etalonn´e la valeur des capacti´es `a environ 220pF ), la partie r´eelle de ˜Z1 ou de Z2
est r´eduite entre les fr´equences de 2.221M Hz et de 1.221M Hz d’o`u une r´eduction du fond pour ces fr´equences (la r´eduction obtenue pour une telle capacit´e donne un facteur 1.2).
D’apr`es la formule (3.7), le fond du bruit s’´ecrit comme une fonction de la temp´erature et de la transmission, D :
Sof f(T, D) = −S(VSD = 0, VG, T ) + SI(VSD = 0, VG, T ) (3.10)
o`u SI(VSD= 0, VG, T ) = 4kBT4e
2
h D. D`es lors, le fond `a T = 1.4K s’´ecrit :
Sof f(T = 1.4K, D) = (4.2(±0.1) + 19.5(±0.2)D)10−27
Cela nous donne donc une formule suffisante pour d´ecrire le bruit. Cependant, nous avons aussi effectu´e des mesures compl´ementaires, en fonction de la temp´erature, afin d’avoir un ajustement plus pr´ecis du bruit.
Nous avons ainsi mesur´e les fluctuations de tension pour des temp´eratures allant de 1.4 `a 20K, dans la limite des faibles transmissions (D ≪ 1). L’ajustement lin´eaire sur ces donn´ees s’´ecrit −S(T, D = 0) = Sof f(T, D = 0) = (2.5(±0.6) + 0.35(±0.1)T )10−27. En consid´erant la
forme donn´ee par l’´equation (3.7), le fond prend la forme suivante :
Sof f ≈ α(f)(δ + 17.23T )(D + β(Csd, f )) × 10−27+ γ
L’estimation pour les param`etres du dispositif donne α(1.221M Hz) ∼ 0.9, β(1pF, 1.221MHz) ∼ 0.02, δ ∼ 2.47 and γ ∼ 0. Le fond peut alors ˆetre ajust´e de la mani`ere suivante :
Sof f =
0.86(±0.04) × (−1.44(±0.94) + 17.23T ) × (D + 0.024(±0.008)) + 3.74(±0.2)10−27 Le bruit en courant sur le nanotube de carbone, comme d´ecrit par l’´equation (3.7), est ainsi d´efini par l’´equation :
SI(VSD, VG, T ) = S(VSD, VG, T ) + Sof f(D(VSD, VG), T ) (3.11)
Ce sch´ema de l’´etalonnage est corrobor´e par la mesure du bruit `a l’´equilibre pour l’´echantillon LC2V N T 1 sur une large gamme de tension de grille et de temp´eratures. Sur la figure 3.18, le bruit d´efini par l’´equation (3.11) est repr´esent´e en fonction 4kBTdVdI. Comme attendu, nous
obtenons une d´ependance lin´eaire avec une pente ajust´ee de 1.01(±0.03), confirmant notre m´ethode d’´etalonnage.
Le mˆeme ´etalonnage a ´et´e effectu´e sur l’´echantillon U 4N T 1/2, pour une fr´equence cen- trale, fc, de 1.221M Hz et nous avons obtenu `a T = 1.5K :
Sof f = 0.05 ± 1.01 + (10.44 ± 1.27)D× 10−27
La pente de Sof f est ici du mˆeme ordre que ce qui a ´et´e mesur´e pour l’´echantillon
0 6 12 18 24 0 6 12 18 24 30 S I ( 1 0 - 2 7 A 2 / H z ) 4k B TdI/dV (10 -27 A 2 /Hz)
Figure3.18 – Bruit SI`a l’´equilibre (VSD= 0) mesur´e pour l’´echantillon LC2V N T 1 pour des tensions de grille allant de VG = 10.8V `a VG= 11.24V et des temp´eratures allant de T = 1.4K
`
a 20K. La droite correspond au bruit de Johnson-Nyquist : SJ(T, D) = 4kBT (4e
2
Chapitre 4
Bruit d’un conducteur dans le
r´egime de Fabry-P´erot
A basse temp´erature (T < 10K), les nanotubes monoparois peuvent pr´esenter un com- portement coh´erent sur des ´echelles de plusieurs microm`etres de long [6]. Une telle propri´et´e est `a l’origine de ph´enom`enes d’oscillation de la conductance g´en´er´ee par les interf´erences quantiques [36]. Ce r´egime de type Fabry-P´erot ´electronique est caract´eris´e par les transmis- sions D1 et D2, le transport ´etant d´eg´en´er´e en spin. Dans ce chapitre, l’´etude des fluctuations
du courant va se pr´esenter comme un outil efficace afin d’acqu´erir une connaissance pr´ecise du transport dans les nanotubes. La combinaison des donn´ees de la conductance et du bruit permet ainsi de sonder les diff´erents modes de conduction. Par ailleurs, ce type de r´egime de transport est particuli`erement riche du fait de la large gamme de transmissions qu’il exhibe. Des r´egimes de faible r´etrodiffusion, proches de la limite unitaire (pour lesquels Di ∼ 1),
sont ainsi accessibles, ce qui s’av`ere particuli`erement int´eressant pour l’´etude des interactions ´electroniques [27, 28].