4.3 Procédure de détection des particules
4.3.3 Estimation des erreurs dans la détection
Erreur sur le nombre Pour estimer le nombre de particules non détectées, on compte manuellement les particules d’une image. On trouve alors que le taux de particules manquées est inférieur à 3% (voir par exemple la fig. 4.9 haut).
La fréquence des fausses détections après l’étape (3) est très faible et les erreurs inter-viennent essentiellement près des parois des cylindres. Elles sont inférieures à 1%.
Erreur sur les positions La position des centres des particules est obtenue par détection des maximum locaux de l’accumulateur. Le calcul du centroïde permet d’obtenir les coor-données avec une résolution de 0.1 pixel. Une évaluation de l’erreur sur une image test de 100 disques de rayons 10 pixels aléatoirement distribués, donne un écart moyen de position inférieur à 0.1 pixel entre les centres "vrais" et les centres calculés . Lors de cette évalua-tion, on constate que des erreurs de position de l’ordre de 30% du rayon peuvent se produire lorsque les cercles sont tronqués par les bords de l’image. Par la suite, ces particules sont donc exclues du calcul.
Erreur sur les rayons Pour estimer l’erreur sur les rayons, nous allons comparer une distribution surfacique de rayons déduite d’une série d’images d’une suspension de fraction volumique 0.55, à la distribution de rayons attendue pour une coupe 2D de sphères.
Remarquons tout d’abord qu’à l’échelle des photos, la distribution de sphères peut-être considérée comme monodisperse. La distribution de taille mesurée précédemment (fig. 4.1) et convertie en pixels sur une image donne un rayon moyen R = a = 14.2 px, et une
88 Chapitre 4. Mesure de la microstructure : dispositif expérimental
Fig. 4.11 – L’intersection d’un plan de coupe (ligne brisée) et d’une suspension de sphères de même rayon R, est formée par un ensemble de cercles de rayon r ≤ R. Si la suspension est isotrope, la distance z entre le plan et le centre d’une sphère est uniformément répartie entre 0 et R.
polydispersité (7.5%) d’environ 1 pixel. La résolution des rayons de la procédure THC étant aussi de l’ordre de 1 pixel, la suspension peut alors être considérée comme monodisperse à cette échelle.
En supposant que la nappe laser d’épaisseur 30 µm ∼ 1
3R est assimilable à un plan d’épaisseur nulle, la distribution surfacique d’une suspension aléatoirement dispersée peut facilement être déduite de l’hypothèse de la monodispersité de la distribution volumique6 [Pomeau 1983]. Soit R le rayon des sphères dans la suspension. La section de cette suspension par un plan produit un ensemble de disques de rayonsr ≤ R (fig. 4.11). Si z est la distance entre le plan et le centre d’une sphère, alors :
z=√R2− r2 (4.4)
et la distribution normalisée des rayons dans le plan de coupe, p(r), est telle que :
p(r)dr = p(z)dz (4.5)
La coupe étant aléatoire et la suspension non ordonnée,z est uniformément distribué entre 0 etR :
p(z) = 1
R (4.6)
Des relations 4.4, 4.5 et 4.6, on déduit :
p(r) = r
R√
R2− r2 (4.7)
La fig. 4.12 présente la distribution théorique de la relation 4.7. La valeur R= 13.2 px est choisie pour que la distribution théorique s’ajuste au mieux à la distribution
expérimen-6. Notons que l’opération inverse, i.e la déduction de propriétés volumiques à partir des propriétés surfaciques, est connue sous le nom de stéréoscopie.
4.3. Procédure de détection des particules 89
tale déduite de la procédure THC appliquée à 2420 images d’une suspension de fraction volumique 0.55. Remarquons que2.7× 106 particules sont utilisées pour obtenir ce résultat, et qu’aucune différence n’est notée avec la distribution calculée pour un lot contenant deux fois moins d’images.
0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 rk[px] dist ribut ion d e p robabilit ´e Donn´ees exp´erimentales
Distribution de probabilit´e th´eorique
p(r) = r
R√
R2−r2 R = 13.2 px
Fig. 4.12 – Distribution de probabilité des rayons. (●) : Données issus du traitement de 2.7× 106 rayons détectés sur 2420 images d’une suspension de fraction volumique 0.55. Chaque point correspond à la probabilité de trouver un rayon discret rk dans une image. (Ligne) : Distribution théorique monodisperse :p(r) = r
R√
R2− r2 avecR= 13.2 px.
La faible quantité de rayons 14 pixels détectés et l’extrémum pour rk= 13 px, s’accorde bien avec une vision de distribution monodisperse de sphère de rayon de l’ordre de 13 pixels. La différence entre cette valeur et le rayon moyen attendua= 14.2 px peut être expliquée par une sous évaluation de la taille des particules par la procédure de détection.
L’annulation de la distribution pour r ≤ 5 px met en évidence un effet de coupure dans la détection. Cet effet est sans incidence pour la mesure de la microstructure car comme nous le verrons, seules les particules de plus grand rayon apparent sont prises en compte dans les calculs.
La valeur expérimentale, inférieure à la valeur théorique du cas monodisperse pour rk = 13 px et supérieure pour rk = 12 px, indique un probable effet combiné de l’épaisseur non nulle de la nappe et de la polydispersité de la suspension. Un élargissement de la nappe réduit le contraste de lumière et diminue la taille observée des sphères, alors que la polydispersité élargit la distribution.
Conclusion La procédure de détection des particules par une transformée de Hough cir-culaire et basée sur la procédure de T. Peng se révèle d’une très bonne efficacité pour les
90 Chapitre 4. Mesure de la microstructure : dispositif expérimental
suspensions concentrées. Le nombre d’erreurs de détection est inférieur à 3%. Les positions des centres ont une résolution d’un dixième de pixel, sauf pour les particules tronquées sur les bords où l’erreur est de l’ordre de 30% du rayon. Enfin les rayons sont bien détectés, mais systématiquement sous évalués de l’ordre de 1 pixel.
A titre de comparaison, la procédure décrite dans Rampall et al. (1997), basée sur un principe de filtrage de phase, bien que plus rapide, s’avère moins reproductible sur les images obtenues avec notre dispositif expérimental. En effet, avec le filtre de phase, il est difficile d’obtenir les bons jeux de paramètres pour, à la fois ne pas "oublier" des particules, et bien détecter leur rayon.