Effets de bord et normalisation

6 px 10 px 12 px 13 px

Fig. 4.15 – Fonctions de distribution de paires 2D calculées pour différentes gammes de rayons sélectionnés dans le champ de l’image. Les valeurs indiquées en légende représentent la limite inférieure de la gamme. La limite supérieure est fixée à 13 px. Fraction volumique de la suspension étudiée :Φ= 0.10.

4.5.5 Effet de la taille de l’échantillonnage radial

L’échantillonnage radial utilisé dans cette étude est ∆ρ/a ∼ 7 × 10−2 (i.e. 1 px)⁹. La fig. 4.16 présente l’influence de cet échantillonnage sur le calcul de la PDF où quatre va-leurs différentes de ∆ρ sont utilisées pour le calcul de g. On ne note aucune augmentation significative de l’amplitude du pic de probabilité, ou de sa finesse mais seulement une aug-mentation des fluctuations lorsque∆ρ diminue.

4.5.6 Effets de bord et normalisation

Le caractère fini de l’image pose des problèmes de sous-évaluation de la probabilité pour des valeurs deρ importantes.

La fig. 4.17 illustre l’effet de taille finie d’une image (abcd) sur le calcul de la PDF. Pour un vecteur ρ₁₂ donné, une particule (1b) de la zone blanche B est associée à une particule (2b) de la zone grisée C qui, hors de l’image, n’est donc pas comptée. Ce défaut de particules contribue à une sous évaluation deg(ρ) qui devient inférieure à 1 aux grandes valeurs de ρ. Pour éliminer cet effet, on ne sélectionne que les particules tests (1a) présentes dans la zone hachurée A et dont la particule (2a) associée est bien dans l’image (abcd).

En combinant tous les anglesθ pour une valeur de ρ, on définit une zone centrale dans

9. Il est important de noter que cette valeur d’échantillonnage est supérieure d’un ou deux ordres de grandeurs aux valeurs d’échantillonnages proposées dans les simulations numériques présentes dans la litté-rature.

96 Chapitre 4. Mesure de la microstructure : dispositif expérimental 1.8 2 2.2 2.4 2.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 ρ/a g (ρ ) 0.1 px 0.5 px 1 px 2 px

Fig. 4.16 – Influence de la valeur de l’échantillonnage radiale sur la mesure de l’amplitude du pic de probabilité. Légende : valeur de∆ρ.

Fig. 4.17 – Illustration de l’effet de taille finie d’une image (abcd) sur le calcul de la PDF.

l’image dans laquelle on sélectionne les particules tests (1) pour le calcul de la fonction de distribution de paire (fig. 4.18).

La plupart des caractéristiques pertinentes de la microstructure concernant les premiers, voire les deuxièmes plus proches voisins, tous les calculs sont réalisés jusqu’à la limiteρ/a = 7. La fig. 4.19 et le tableau 4.2 illustrent l’influence de la distance entre les bords de l’image et la zone A (i.e.k.a) sur la convergence de g. Alors que la statistique des paires rapprochées n’est pas affectée par la définition de cette zone, l’écart entre les résultats augmente après ρ/a = 4. La moyenne de g sur le plateau indique qu’au delà de k = 5, la limite jusqu’à ρ/a = 7 n’est plus affectée et converge bien vers 1. On fixe arbitrairementk= 8 pour nos mesures.

Remarquons que des alignements de particules sont constatés proche des cylindres pour des fractions volumiques importantes (fig. 4.7). Pour éviter que la fonction de distribution

4.6. Conclusion 97

Fig. 4.18 – La zone A correspond à la zone de sélection des particules tests (1). En pointillés, zone d’exclusion proche des cylindres (3a). Les limites de la zone A sont situées à k.a des bords.Φ= 0.10.

Distance bord↔ zone

d’exclusion 0 2a 5a 11a

Moyenne/écart-type deg

pour4.3< ρ/a < 6.7 ^{0.927± 0.032 0.952 ± 0.032 1.004 ± 0.036 1.006 ± 0.040}

Tab. 4.2 – Détails des résultats de g(ρ) présenté sur la fig. 4.19

de paire ne soit affectée par ces effets de bords qui seront abordés dans le chapitre suivant, on fixe une zone d’exclusion qui limite la zone B à une distance3a des cylindres.

L’ensemble des particules test (1) est donc sélectionné dans une portion de l’image dont les bords sont situés à 11a des cylindres et 8a des bords de l’image. Et les particules (2) associées ne sont considérées que si elles sont éloignées d’au moins 3a des parois des cylindres.

4.6 Conclusion

Des particules de PMMA de 170 µm de diamètre sont dispersées dans l’huile minérale Cargille rendu fluorescente par la dissolution de Nile Blue A. Une nappe laser uniforme de 30 µm d’épaisseur sur l’ensemble du gap, permet d’illuminer le fluide entre les sphères. Les particules solides apparaissent donc comme des disques sombres dans le plan de coupe. Une procédure de détection par Transformation de Hough Circulaire, permet la localisation de plus de 96% des centres des particules du plan, avec une précision de l’ordre de 0.1 pixel. La mesure des rayons est, quant à elle, réalisée avec une précision de 1 pixel. La connaissance des positions relatives des particules et de leurs rayons apparents, rend alors possible le calcul de la fonction de distribution de paire dans le plan jusqu’à des concentrations de l’ordre de 0.55. La grande stabilité de l’huile minérale, donc de la transparence de la suspension,

98 Chapitre 4. Mesure de la microstructure : dispositif expérimental 2 3 4 5 6 1 ρ/a g (ρ ) 0 2a 5a 11a

Fig. 4.19 – Influence de la zone d’exclusion des particules tests (1) sur la PDF d’une suspension Φ= 0.10. Les valeurs en légende représentent la distance k.a définie sur la fig. 4.18.

permet des durées d’expériences importantes, pouvant s’étendre jusqu’à plusieurs jours. Ceci est d’une grande importance pour l’étude des suspensions diluées, car à cause du nombre limité de particules, il est nécessaire d’acquérir un grand nombre d’images pour obtenir une statistique suffisante à une bonne interprétation des mesures. Un suivi des particules par PTV permet aussi d’accéder aux vitesses locales à partir desquelles il est possible de déduire la viscosité locale. Les mesures simultanées des quantités rhéologiques locales et de la PDF va permettre de faire le lien entre la microstructure et la variation de viscosité induite par l’inversion du sens de cisaillement.

Chapitre 5

Mesures de la fonction de

distribution de paires des suspensions

non-browniennes

5.1 Introduction

L’étude de la réponse locale d’une suspension lors d’une inversion de cisaillement a permis de mettre en évidence l’importance de la contribution de la viscosité structurale, ηstruct= ηplateau− ηmin, à la viscosité d’une suspension concentrée non-brownienne. Notam-ment, η_struct émerge des interactions entre particules distribuées dans une microstructure asymétrique par rapport au plan (∇v, ∇ × v) induite par l’écoulement. Une comparaison entre des simulations numériques en dynamique stokésienne et nos mesures a, de plus, per-mis de vérifier que η_min trouve son origine dans une distribution spatiale de particules quasi isotrope pour laquelle la dissipation visqueuse est minimale. Ces régimes transitoires montrent toute l’importance de la microstructure sur le comportement rhéologique d’une suspension. Depuis les travaux de Batchelor et Green (1972) et de Gadala-Maria et Acri-vos (1980), de nombreuses études numériques étudient la relation entre cette distribution spatiale et la rhéologie, et notamment le lien entre l’apparition de contraintes normales et l’anisotropie de la microstructure. Les travaux numériques de Bossis et Brady en dy-namique stokésienne [Bossis & Brady 1984], ont pour la première fois mis en évidence que la fonction de distribution de paires d’une suspension de sphères non confinée soumise à un cisaillement simple possède une dépendance angulaire. En plus de cette anisotropie, une asymétrie par rapport au gradient de vitesse apparaît aussi en présence d’une inter-action non-hydrodynamique entre les sphères [Bossis & Brady 1984] [Wilson & Davis 2000] [Wilson & Davis 2002] [Drazer et al. 2004].

Ce chapitre présente dans une première partie, une mesure de la fonction de distribu-tion de paires (PDF), notée g(ρ, θ) par la suite, d’une suspension de fraction volumique 0.05 dans le plan de cisaillement. Cette PDF est anisotrope et asymétrique par rapport à la direction du gradient de vitesse avec, dans le quadrant de récession, une zone de dé-plétion proche de l’axe de la vitesse. L’influence de la rugosité sur l’interaction entre les

100

Chapitre 5. Mesures de la fonction de distribution de paires des suspensions non-browniennes

sphères est quantitativement mise en évidence grâce à la bonne résolution de la mesure, et la distribution de paires expérimentale est bien retrouvée par un modèle de trajectoires de paires de particules. La deuxième partie présente la dépendance de g(ρ, θ) en fonction de la fraction volumique pour 0.05 < Φ < 0.56. Les mesures indiquent que l’inclinaison de la zone de déplétion par rapport à la direction de la vitesse dépend deΦ. En parallèle, au-delà d’une fraction volumique de 0.45, apparaît une surintensité dans la direction de la vitesse traduisant l’existence de doublets orientés préférentiellement sur les lignes de courant. Une structuration en bandes proche des cylindres de la cellule d’écoulement est aussi observée. Enfin, dans un dernier temps, nous revisitons l’expérience d’inversion de cisaillement pour lesquelles des mesures simultanées de rhéologie locale et de microstructure sont présentées.