ESTIMATION DES PROPORTIONS DES DIFFÉRENTS TYPES CELLULAIRES

2 Estimation des proportions des diérents types cel- cel-lulaires

2. ESTIMATION DES PROPORTIONS DES DIFFÉRENTS TYPES CELLULAIRES

An de corriger ces défauts, j'ai donc adapté l'approche proposée par Abbas [107] à l'étude des données de GHS. Cette approche consiste à écrire la matrice d'expression X comme un produit matriciel

X ≈ Ψ.Q

où Ψ est la matrice des prols d'expressions ψ·k des diérents types cellulaires et Q est la matrice des quantités qk·. On applique une procédure en 2 étapes :

1. On estime les prols d'expression ψ·k de chaque type cellulaire, à partir des atlas d'expression publics décrits dans le chapitre 2.

2. On utilise la matrice des prols estimés Ψb pour estimer les quantités Q par des estimateurs des moindres carrés ordinaires du type :

Q = ( bΨ⁰Ψ)b ⁻¹ΨXb

Pour la première étape qui consiste à estimer les prols ψ·k, nous avons utilisé les données de HaemAtlas [112]. nous avons tout d'abord appliqué aux données une normali-sation par quantile an de faire coïncider leur distribution avec celle des données de GHS. Puis, les prols des diérents échantillons ont été moyennés pour chacun des types cel-lulaires considérés (4 à 7 échantillons par type cellulaire dans HaemAtlas), an d'obtenir les prols types cψ_k. Ces prols peuvent être estimés soit sur l'ensemble des sondes, soit à partir d'un sous-ensemble représentatif de sondes de taille p0 < p. On applique ensuite l'algorithme de déconvolution à la matrice Ψb formée.

Notons que l'étape de normalisation par quantiles a pour conséquence de forcer les quantités qckj estimées pour chaque individu à sommer à 1. En eet, pour deux matrices Qet Q0 = θ.Q, on a

X⁰ = Ψ.Q⁰ = θΨ.Q = θX . d'où

b Ψ0 = θ bΨ du fait de la normalisation par quantile et

Q = cQ0.

On parlera donc dans la suite indiéremment de proportions ou de quantités pour désigner les estimations des qkj.

On estime dans un deuxième temps les proportions Q des diérents types cellulaires à partir des prols Ψb. Dans ce but, on impose, ainsi que proposé, des contraintes de positivité sur les quantités estimées par un processus itératif :

1. Estimer pour chaque échantillon x·j les quantités des diérents types cellulaires b

CHAPITRE 10. DÉCONVOLUTION DE SIGNAUX DANS UN MÉLANGE DE TYPES CELLULAIRES

2. Si certaines quantités sont négatives :

(a) xer à zéro la quantité du type cellulaire dont la quantité estimée qc_kj est mi-nimale

(b) répéter l'estimation pour les autres quantités qc_kj

3. Répéter l'opération précédente jusqu'à ce que toutes les quantités du vecteur q·j

soient positives ou nulles

2.1.1 Choix du sous-ensemble de sondes utilisé pour la déconvolution

Lorsqu'on estime les quantités des diérents types cellulaires du mélange, une question cruciale concerne le choix du sous-ensemble de sondes utilisé pour la déconvolution :

En eet, l'algorithme de déconvolution peut être appliqué de deux façons :

En utilisant l'intégralité des sondes communes aux puces d'expression utilisées dans GHS (Illumina HT-12) et HaemAtlas (Illumina WG6), soit plus de 35 000 sondes. En se restreignant à un sous-ensemble S de sondes considérées comme spéciques

des diérents types cellulaires.

Dans la pratique, la qualité de la déconvolution obtenue est fonction du conditionne-ment de la matrice Ψ0Ψ[107].

Le conditionnement κ d'un système linéaire Ax = b, où x représente l'inconnue, A est une matrice inversible et b un vecteur est déni par

κ(A) = ||A⁻¹||₂||A||₂ = λmax λ_min

où ||.||2 désigne la norme `2 et λmax et λmin désignent les valeurs propres maximales et minimales de la matrice A. Ce nombre fournit une mesure de la stabilité de la solution de ce système. En eet, lorsqu'on introduit une perturbation ∆A sur la matrice A, l'erreur relative théorique commise sur x, ||∆x||2

||x||2 est majorée par ||∆x||₂

||x||₂ ^{≤ κ(A)}

||∆A||₂ ||A||₂ ^.

Un conditionnement élevé indique ainsi une forte instabilité de la solution du système linéaire tandis qu'un conditionnement proche de 1 indique que l'erreur relative commise sur x est du même ordre de grandeur que l'erreur relative commise sur A. Le condition-nement de la matrice Ψ0Ψ reète donc ici la robustesse de la méthode de déconvolution utilisée à une erreur sur les prols Ψ estimés.

Lorsqu'on calcule le conditionnement à partir de l'ensemble des sondes, on trouve une valeur de κ égale à 30. En revanche, l'utilisation d'un sous-ensemble S de sondes spéciques, constitué de l'union sur les K types cellulaires des sous-ensembles Sk de

2. ESTIMATION DES PROPORTIONS DES DIFFÉRENTS TYPES CELLULAIRES

sondes spéciques5 de chaque type cellulaire, permet d'atteindre une conditionnement de 14, ce qui suggère une amélioration conséquente de la stabilité de la déconvolution. 2.1.2 Evaluation de la qualité de l'estimation

An d'évaluer la capacité de la méthode utilisée à distinguer les diérents types cellu-laires, nous avons eectué une étape de validation croisée de la méthode de type leave-one-out sur les échantillons de HaemAtlas.

Pour chaque échantillon de HaemAtlas, on calcule la matrice [Ψ_(−j)en retirant l'échan-tillon j des données d'HaemAtlas, avant le calcul des prols transcriptomiques cψ_·k, et on estime la proportion du type cellulaire j par

q·j^{V C} = ( [Ψ_(−j)⁰Ψ[_(−j))⁻¹Ψ[_(−j)x·j

On peut alors calculer le risque quadratique moyen en prenant :

RQM = ¹ nK n X j=1 K X k=1 c q_kj^{V C} − q_kj²

avec qkj la proportion du type cellulaire k dans l'échantillon j qui vaut 1 si l'échantillon j est un échantillon du type k et 0 sinon, et n le nombre total d'individus dans HaemAtlas. On observe que le risque quadratique moyen obtenu par les deux méthodes est assez semblable et relativement faible, avec une valeur de 4. 10−4 dans le cas où on se restreint aux gènes spéciques d'un type cellulaire et 3. 10−4 dans le cas où l'on utilise tous les gènes. Dans la suite, on choisit d'utiliser la méthode basée sur le sous-ensemble de gènes spéciques qui présente une plus forte robustesse aux erreurs d'estimation de prols Ψ.

La gure 10.3 montre les résultats obtenus par la procédure de validation croisée pour les diérents types cellulaires. On constate sur cette gure que la classication des échan-tillons marche globalement bien, à l'exception des lymphocytes T cytotoxiques (CD8+) pour lesquels on estime une proportion non nulle de lymphocytes CD4+ et de cellules tueuses CD56+.

En fait, ce résultat s'explique en partie par de très fortes similarités fonctionnelles entre les cellules tueuses et certains sous-types de lymphocytes T. De plus, la littérature mentionne la présence d'antigène CD8 sur certains sous-types de cellules tueuses [113,114], ce qui suggère que l'isolation de lymphocytes par marquage de l'antigène CD8 manque probablement de spécicité. Pour cette raison, nous avons dans la suite regroupé les diérents sous-types de lymphocytes T et les cellules tueuses en une catégorie unique Lymphocytes T.

5. Les sondes spéciques du type k sont identiées dans l'article original de Watkins et al. [112] en sélectionnant les sondes signicativement sur-exprimées dans ce type cellulaire par rapport aux 5 autres types cellulaires par un critère de FDR à 5% et pour lesquelles le niveau d'expression dans le type cellulaire kest au moins le double du niveau dans les 5 autres types cellulaires.

CHAPITRE 10. DÉCONVOLUTION DE SIGNAUX DANS UN MÉLANGE DE TYPES CELLULAIRES ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●● Monocytes (CD14+) n = 7