L’´eprouvette est serr´ee, `a chaque extr´emit´e, dans les mors qui sont consid´er´es comme des massifs de grande inertie thermique, de temp´erature constante Tmors. La partie utile de l’´eprouvette est entour´ee d’air non-ventil´e, suppos´e `a temp´erature constante Tair. Ainsi les ´echanges thermiques
138 Mod´elisation thermo-m´ecanique d’une structure unidimensionnelle
dans la structure se font par convection dans l’air, par conduction au sein du mat´eriau et par conduction dans les mors `a chaque extr´emit´e.
Sous l’hypoth`ese d’une structure ´elanc´ee de section constante, on peut supposer que la temp´erature est uniforme par ´el´ement (le gradient thermique est n´egligeable sur la section au vu de la faible ´epaisseur). On se rapporte donc `a un probl`eme `a une seule dimension. Le champ de temp´erature satisfait l’´equation :
λ∆T+ ˙Q=ρCp
∂T
∂t (4.2)
avecλ(x,t) la conductivit´e moyenne thermique de l’´el´ement, ∆· le Laplacien (en
unidimen-sionnel il ´equivaut `a la d´eriv´ee partielle= ∂2·
∂x2), ˙Q la puissance totale ´echang´ee, ρ(x,t) la masse
volumique de l’´el´ement, Cp(x,t) sa capacit´e thermique.
˙
Q est compos´e de la puissance g´en´er´ee par la transformation de phase ˙qtr et de la puissance
dissip´ee dans l’air par convection ˙qconv. La thermo´elasticit´e est n´eglig´ee conform´ement aux obser-vations exp´erimentales. La puissance g´en´er´ee par la transformation, en une section de position x au temps t s’´ecrit :
˙
qtr(x,t) =ρ. ˙f(x,t).∆Htr. (4.3)
∆Htrest la chaleur latente de transformation ou l’enthalpie de changement de phase. Elle ne d´epend que du mat´eriau et de sa mise en forme.
La puissance dissip´ee par convection, sous l’hypoth`ese d’un probl`eme unidimensionnel, peut s’´ecrire sous la forme d’une perte volumique :
˙
qconv= dPconv
dV =h.ℓ
S0(T (x,t) − Tair) (4.4)
avec h le facteur de convection (Wm−2K−1), ℓ le p´erim`etre d’une section d’aire S0 et Tair la temp´erature de l’air ambiant.
L’´equation de la chaleur 4.2 s’´ecrit alors
λ∆T+ρ. ˙f(x,t).∆Htr+h.ℓ
S0(T (x,t) − Tair) =ρCp∂T
∂t (4.5)
Les conditions aux limites sont des pertes de chaleur par conduction dans les mors. Ceux-ci ´etant consid´er´es comme des massifs infinis, leur temp´erature reste constante tout au long de l’essai
Tmors= Tinitiale = Tair. Le contact imparfait entre les mors et l’´eprouvette peut se d´ecrire `a l’aide
d’un coefficient de conductance hc(Wm−2K−1). On peut ´ecrire :
−λ(0,t) ∂T ∂x 0 = hc. (Tmors− T(0,t)) et −λ(L0,t) ∂T ∂x L 0 = hc. (T (L0,t) − Tmors) (4.6)
Initialement, on consid`ere que l’´eprouvette est en ´equilibre thermique, `a temp´erature ambiante soit
∀x ∈ [0,L0], T (x, 0) = Tair. (4.7) Ainsi ce mod`ele permet de g´erer la thermique de l’´eprouvette `a partir du moment o`u on connaˆıt l’´etat thermique courant et l’´evolution en tout point de la fraction volumique de martensite. Il faut donc l’associer `a un mod`ele de comportement local qui en fonction d’une distribution de contrainte et de temp´erature nous permettra de d´eterminer la fraction volumique.
Analyse et objectifs de mod´elisation 139
1.4.2 Conservation de la quantit´e de mouvement – calcul des contraintes
Les simulations, tout comme les essais, peuvent ˆetre command´es en d´eplacement U(t) ou
en effort F(t). `A partir de la sollicitation appliqu´ee `a la structure, il faut d´eterminer le char-gement local qui s’applique sur chacun des ´el´ements (σ(x,t), T (x,t)), comme le montrent les
sch´emas des algorithmes (figures 4.3 et 4.4). `A partir du chargement local et de l’´etat courant du mat´eriau, en appliquant le mod`ele de comportement local, on d´etermine les variables internes
f(x,t) et la d´eformation macroscopique en r´esultant ε(x,t). Une fois les nouvelles variables
in-ternes d´etermin´ees pour chaque ´el´ement, on peut mettre `a jour les param`etres thermom´ecaniques (λ(x,t), ρ(x,t), E(x,t)), qui d´ependent de la composition. Le mod`ele thermique permet ensuite
de calculer les ´echauffements et les ´echanges thermiques g´en´er´es par l’´evolution des variables in-ternes. On obtient alors T(x,t + 1) et toutes les variables n´ecessaires `a d´ecrire le nouvel ´etat de la
structure.
Simulation command´ee en effort :
Lorsque la simulation est command´ee en effort, l’estimation du chargement local et notam-ment la localisation de la contrainte est quasinotam-ment directe.
La structure est un empilement d’´el´ements dont les interfaces sont les sections S(x,t) (avec
S(t = 0) = S0) perpendiculaires `a l’axe de traction −→x . Leur hauteur∆x(x,t) est initialement fix´ee
par le pas de discr´etisation spatiale dx. Chaque ´el´ement est en ´equilibre, soumis de chaque cˆot´e `a±F(t)−→x .
FIGURE 4.2: Description d’un ´el´ement de la structure unidirectionnelle mod´elis´ee.
La contrainte dans un ´el´ement vautσ(x,t) = F(t)/S(x,t). La transformation est isochore, aussi
le volume de chaque ´el´ement reste constant. On a V = S(x,t) ·∆x(x,t) avec ∆x(x,t) = dx · (1 + ε(x,t)). Ainsi on peut calculer la contrainte macroscopique impos´ee `a chaque ´el´ement :
σ(x,t) =F(t)
S0 ·(1 +ε(x,t)) (4.8)
Pour simplifier les calculs on peut aussi supposer que les sections varient peu. Alors la contrainte macroscopique est uniforme sur la longueur de l’´eprouvette et se calcule tout `a fait directement :σ(x,t) = F(t)/S0, ∀x.
Cependant la plupart des essais de traction sont command´es en d´eplacement, de surcroˆıt lorsque il y a risque de localisation. Un chargement en effort, alors que les effets de structure
140 Mod´elisation thermo-m´ecanique d’une structure unidimensionnelle
FIGURE 4.3: Algorithme de calcul pour une simulation command´ee en effort.
se produisent lors d’un plateau en contrainte, induit un chargement trop rapide au moment pr´ecis o`u l’on voudrait observer le ph´enom`ene. On pr´ef`ere donc commander essais et simulations en d´eplacement.
Commande en d´eplacement :
Le d´eplacement relatif des mors U(t) est maintenant impos´e. Le mod`ele de comportement
m´ecanique ´etant ´ecrit en contrainte, il est n´ecessaire de traduire cette sollicitation en terme de contrainte dans chaque ´el´ementσ(x,t). Pour ce faire, la connaissance de la d´eformation ´elastique
int´egrale de la structure eel(t), ainsi que son module d’Young Emacroest n´ecessaire. `
A chaque pas de temps, le module d’Young de la structure est calcul´e `a partir de celui de chacun des ´el´ements. Le module d’Young d’un ´el´ement i d´epend de sa composition, donc des variables internes fi et des param`etres m´ecaniques de chaque phase EA et EM. Dans un ´el´ement on est donc sous l’hypoth`ese de Voigt : les d´eformations sont suppos´ees homog`enes. Alors que l’on se place sous l’hypoth`ese de Reuss `a l’´echelle de la structure, y supposant les contraintes homog`enes.
Emacro= 1
∑iE1i
Ei= fi·EM+ (1 − fi) · EA
(4.9)
Chaque incr´ement de d´eplacement du= U (t) −U(t − 1) peut se d´ecomposer en une partie
d’origine ´elastique et une partie in´elastique, on supposera que cette derni`ere ne provient que de la transformation de phase
Mod`ele de comportement local : estimer f(x,t) 141
La d´eformation ´elastique globale sur la structure eel(t), se calcule comme suit :
eel(t) = du
e(t)
L(t) =
du− duin(t)
L0+U (t) . (4.11)
La contrainte conventionnelle globale appliqu´ee `a la structure s(t) vaut :
s(t) = Emacro· eel(t). (4.12)
C’est une contrainte uniforme dans la longueur de l’´eprouvette, ce qui revient `a supposer que la section de chacun des ´el´ements est identique mˆeme si le champ de d´eformation longitudinale n’est pas uniforme. Comme pr´ec´edemment, il est possible d’adapter la contrainte `a chaque ´el´ement en fonction de sa d´eformation longitudinale, et donc de sa section courante :
σ(x,t) = s(t) · (1 +ε(x,t)). (4.13)
Dans les cas de faible d´eformation et dans un souci de simplification des algorithmes, on peut aussi supposer la contrainte uniforme ainsiσ(x,t) = s(t), ∀x.
2 Mod`ele de comportement local : estimer f(x,t)
Nous devons maintenant nous doter d’un mod`ele de comportement capable en fonction du chargement(σ(x,t), T (x,t)) d’estimer la fraction volumique de martensite dans l’´el´ement f (x,t).
Nous utiliserons deux mod`eles m´ecaniques diff´erents : le mod`ele multi´echelle monocristallin d´evelopp´e au chapitre 3 (r´esultats pr´esent´es partie 4.4) et un mod`ele ph´enom´enologique (pr´esent´e partie 2.2).