A titre indicatif, pour nos ´eprouvettes en Ni-Ti, ´electro-chimiquement polies, recouvertes d’un mouchetis de peinture thermique noire mate,εequivalent´ varie dans[0, 6; 0, 77] selon le mouchetis.
Ceci montre que ce param`etre d´epend de la pr´eparation et de la nature de l’´eprouvette. Cette proc´edure doit donc ˆetre r´ealis´ee avant chaque essai, dans la phase d’´etalonnage.
6.3 Conversion des Digital Levels en
◦C
Le champ de temp´erature en DL peut alors ˆetre converti en◦C. Pour cela, nous r´ealisons la calibration usuelle de la cam´era IR `a l’aide du corps noir plan. Cette proc´edure est d´etaill´ee dans la section 3.2 pr´esentant la thermographie traditionnelle. Notons que chaque calibration correspond
Formulation math´ematique et algorithme 65
`a un temps d’int´egration, un r´eglage optique et un ´etat thermique de la cam´era donn´es. La cam´era doit donc ˆetre calibr´ee d`es que l’un de ces r´eglages change, apr`es un temps de stabilisation ther-mique long (> 1h) mais aussi r´eguli`erement au cours de sa vie car la r´eponse des pixels ´evolue avec le temps. Dans notre cas une calibration est syst´ematiquement faite `a chaque mise en place du set up exp´erimental.
7 Formulation math´ematique et algorithme
Le revˆetement conc¸u, la relation d’´evolution de niveau de gris en fonction de la temp´erature ainsi que les ´etalonnages propos´es pourraient ˆetre utilis´es pour obtenir, pixel `a pixel un champ de temp´erature d’une part, alors que d’autre part on appliquerait un code de corr´elation d’images num´eriques traditionnel afin d’obtenir les d´eplacements. Cependant, mˆeme `a partir d’un unique jeu d’images, on obtiendrait deux champs, de discr´etisations spatiales diff´erentes. En outre, la va-riation de la luminance nuit `a la convergence du code de DIC adapt´e au visible. La formulation math´ematique et l’algorithme pr´esent´es dans la suite vont plus loin. Adapt´ee du codeCorreli-Q4, l’IRIC permet de d´eterminer en chaque point d’un unique maillage ´el´ements finis, par la minimi-sation d’une unique fonctionnelle, `a la fois la temp´erature et les d´eplacements.
Nous avons vu dans la partie 3.1 que la corr´elation d’images num´eriques en g´en´eral, et
Correli-Q4en particulier, proc`ede `a la “comparaison” de deux images : g(x) l’image d´eform´ee
par rapport `a f(x) l’image de r´ef´erence. La m´ethode repose sur l’hypoth`ese de la conservation du
flux optique (ou de la luminance). Autrement dit, rien d’autre ne vient perturber les niveaux de gris que les d´eplacements, et si la surface d’int´erˆet reste immobile, les deux images seront ´egales. Cette hypoth`ese est raisonnable dans le domaine visible. Il arrive n´eanmoins que la conservation de la luminance ne soit plus v´erifi´ee (modification de l’´eclairage, flambage...), ce qui se traduit sur la carte des r´esidus par des motifs particuliers. Certains codes commeCorreli-Q4poss`edent une correction a priori de l’image pour r´eguler sur chaque maille le niveau moyen et la dynamique de niveau de gris. L’hypoth`ese de conservation de la luminance est ainsi toujours valide.
Dans notre cas, nous nous ne pouvons ni ne voulons supposer la conservation de la luminance. Nous ne voulons pas non plus la corriger. Au contraire, nous voulons l’exploiter. Pour cela nous faisons l’hypoth`ese que la variation du niveau de gris provient d’un changement de temp´erature locale que nous voulons identifier.
La variation du niveau de gris dˆu `a un changement de temp´erature (et seulement de temp´erature), est d´ecrite par l’´equation 2.22. Plus g´en´eralement, on peut d´ecrire une image d´eform´ee g(x) grˆace `a cette relation et au d´eplacement au point x. f0est choisie comme la derni`ere image du refroidissement lors de la calibration, c’est la mˆeme surface en configuration initiale : l’´etat isotherme avant chargement m´ecanique.
On peut ´ecrire
g(x + u(x)) = f0(x) +(Θ(x) −Θ0(t))
(Θ×−Θ0) (Θ×− f0(x)); (2.26) Le but est de d´eterminer `a la fois le champ de d´eplacement u(x) et celui de temp´eratureΘ(x).
Ils sont calcul´es conjointement `a partir de la formulation faible de l’´equation 2.26 par minimisa-tion, sur l’ensemble du domaine d’int´erˆet
D
, de la fonctionnelle suivante :R[u,Θ] =Z D g(x′) − f0(x) −Θ(x) −Θ0 Θ×−Θ0 .(Θ×− f0(x)) 2 dx (2.27)
66 Mesure coupl´ee de champs cin´ematiques et thermiques : IRIC
avec x′= x + u(x).
L’approche globale introduite par Besnard et al. [2006] et rappel´ee partie 3.1, est ´etendue `a cette forme g´en´eralis´ee de la conservation de la luminance. On d´ecompose donc les champs cin´ematiques et thermique sur une unique base de fonctions de forme
u(x) =αi jΦi(x)ej
Θ(x) =Θ×+αi3Φi(x), (2.28)
o`u i est le num´ero du nœud (1≤ i ≤ Nk), j d´esigne la nature de l’inconnue (1≤ j ≤ 2 correspond
aux d´eplacements dans les deux directions du plan et j= 3 `a la temp´erature). Toutes les inconnues
sont donc regroup´ees en un seul et mˆeme vecteur α= {αi j}.
L’algorithme proc`ede par lin´earisations successives du terme entre parenth`eses de l’´equation 2.27 autour des valeurs courantes de(u,Θ) d´etermin´ees `a l’it´eration pr´ec´edente. La
suite d´ecrit les calculs r´ealis´es lors d’une it´eration n.
D’abord, on calcule une image d´eform´ee corrig´ee des quantit´es d´etermin´ees au pas pr´ec´edent
g(n)corr(x) = g(x + u(n−1)(x)) −α(n−1)
i3 Φi(x). (2.29) Cette ´ecriture permet en quelque sorte d’analyser une image de plus en plus proche de la r´ef´erence, puisqu’on la corrige par les d´eplacements et temp´eratures d´etermin´es `a l’it´eration pr´ec´edente. La correction additionnelle de α, not´ee δα(n) est calcul´ee `a partir de l’expression lin´earis´ee de la fonctionnelle 2.27 : Rlin[α] = Z D g(n)corr(x) − f0(x) −δα(n) i j Φi(x)∂jf0(x) −δα(n) i3 Φi(x).f0(x) −Θ× Θ0−Θ× 2 dx. (2.30)
La minimisation de cette fonctionnelle se traduit par la r´esolution du syst`eme lin´eaire suivant :
[M ]{δα(n)
} = {δβ(n)
}. (2.31)
On peut remarquer que les termes de cette expression peuvent s’´ecrire en fonction d’un vecteur
G, ne d´ependant que de la temp´erature d’uniformit´e Θ×, de l’image de r´ef´erence f0(x) et de la
temp´erature de r´ef´erenceΘ0. Ce vecteur est donc le mˆeme pour toutes les it´erations :
G= ∂1f0(x) ∂2f0(x) f0(x)−Θ× Θ0−Θ× . (2.32)
Ainsi, la matrice[M ], de dimension 3Nk× 3Nk, se compose de blocs de 3× 3 [M ]i j=
Z
D
(G.Φi) ⊗ (G.Φj) dx (2.33)
Elle n’a donc pas besoin d’ˆetre remise `a jour entre chaque it´eration.
Le second membre {δβ(n)} quant `a lui, est un vecteur de 3Nk composantes, pr´esentant Nk paquets de 3 composantes δβ(n) i = Z D (G.Φi)(g(n)corr− f0) dx (2.34)
Estimations des erreurs de calcul de l’algorithme 67
C’est donc seulement ce terme qui est mis `a jour `a chaque it´eration. Il d´epend de l’image d´eform´ee corrig´ee gncorr.
Finalement, les quantit´es d’int´erˆet sont mises `a jour suivant
α(n+1)= α(n)+δα(n). (2.35)
Cette ´etape conclut une it´eration.
Cette formulation se r´ev`ele performante car seule l’image d´eform´ee est corrig´ee et non l’image de r´ef´erence. Cela permet de fixer l’expression de la matrice [M ], ind´ependante de l’it´eration.
C’est tr`es important pour l’efficacit´e de l’algorithme car souvent la construction de cette matrice est coˆuteuse. Elle suppose en effet de calculer les d´eriv´ees partielles pixel `a pixel.
Il faut aussi insister sur le fait que la temp´erature Θ(x) et les d´eplacements u(x) sont
d´etermin´es conjointement en un seul calcul du vecteur α.