Epaisseur des tables internes

Stratégie et paramétrage

Le second paramètre local à personnaliser est l’épaisseur d’os cortical sur la table interne. L’étude des épaisseurs sur cette table a révélé des épaisseurs plus importantes que sur la table externe. Nous avons constaté également une diminution de cette épaisseur le long de la côte. Telle que le montre la figure 3.35, la séparation en 2 zones d’évolution est moins évidente pour cette localisation ( . < � <

. ) avec des résultats très dispersés sur la première partie de la côte ( < �� < . ).

(a) (b) (c) (d)

fig. 3.35 Illustration des différentes étapes de personnalisation de la table interne, a) paramétrage du modèle, b) normalisation par la valeur à 50% de la 5ème côte et définition des valeurs à 50% de chaque côte, c) définition des coefficients directeurs dans la second zone, d) simplification de la première zone par une constante.

La comparaison des résultats entre le sujet #609 et #605 a montré des courbes d’évolutions différentes dans cette zone, essentiellement sur les valeurs maximale. Suite à l’étude des variations d’épaisseur sur la table interne, la séparation en 2 zones d’évolution (� et �2) s’effectuera par une délimitation à 40% (��). Comme pour la personnalisation des ℎ � , , l’estimation des ℎ�� , est effectuée par une droite de régression linéaire dans la seconde zone �2. La zone i est simplifiée par une valeur constante pour chaque côte afin de moyenner les dispersions observées.

La normalisation des valeurs réelles s’effectue par l’épaisseur du tronçon à 50% de la 5ème côte ℎ� , . L’application se base alors sur une étude des relations entre côte en 3 étapes :

- Caractérisation des valeurs à 50% des épaisseurs des tables internes ℎ� _, normalisées par l’épaisseur de la 5ème côte.

- Estimation des coefficients directeurs de la droite �2 considérés dans la zone �2 entre 40% et 100%.

- Application de la valeur à 40% pour la première zone � permettant de moyenner les dispersions observée.

Définition des relations

Comme pour les valeurs de la table externe, les différentes relations sont établies sur la population du sujet #609. La figure (fig. 3.36) illustre l’obtention des équations pour les valeurs ℎ� _, et les coefficients directeurs de la droite de régression linéaire �2 dans la zone �2.

fig. 3.36 Illustration des relations entre chaque côte sur le sujet #609, a) Relation entre chaque épaisseur interne à 50% en fonction du numéro de côte, b) Relation entre chaque coefficient directeur utilisé dans la zone entre 40 et 100%.

Nous constatons 3 groupements caractéristiques pour les valeurs de ℎ� , normalisées par ℎ� , . La première côte se positionne différemment des autres côtes avec un ratio de 0.89 de l’épaisseur ℎ� _, . Pour la partie de l’hémi-thorax entre la 2ème et 5ème côte, les valeurs des épaisseurs de la table interne peuvent être estimées par une droite, caractérisant une augmentation de chaque tronçon à 50%. Le troisième groupe correspond aux autres côtes entre la 6ème et la 10ème sur lesquelles une diminution est observée et approximée également par une droite. Cette séparation en 3 groupes permet d’identifier le système à 3 équations suivant :

Concernant l’estimation des valeurs de la zone �2, la régression linéaire choisie nécessite la définition des paramètres �2 et �2 , propre à l’équation (3.24).

�� ∈ [ . , ] ℎ�� , = �2 , ℎ� , , ��, (3.19) �� ∈ [ , . ] ℎ � , = ℎ� , , (3.20) = ℎ� , = . ∗ ℎ� , (3.21) ∈ 2, ℎ� , = . − . 2 ℎ� , (3.22) ∈ , ℎ� , = − . 2 + 2.22 ℎ� , (3.23) �� ∈ [ . , ] ℎ�� , = �2 �� + �2 ℎ� , (3.24)

L’analyse de la figure (fig. 3.36) permet d’identifier 2 zones correspondant aux vraies côtes (1 à 7) puis aux fausses côtes (8 à 10). Une forme polynomiale de degré 3 est alors choisie pour estimer les coefficients directeurs �2 entre la 1ère et 7èmecôte suivi d’un polynôme de degré 1 pour les autres. L’ordonnée à l’origine �2 est quant à elle liée à la définition de l’épaisseur à 40% et permet d’établir la relation 3.28.

La zone entre 0 et 40% est liée à la valeur ℎ� , permettant d’établir la relation 3.28.

Evaluation et comparaison

Ces différentes fonctions sont appliquées puis comparées aux résultats du sujet #609 afin d’évaluer le type de modèle choisi et sa bonne représentativité (fig. 3.37).

fig. 3.37 Application de la méthode de personnalisation des tables internes sur le sujet #609 à partir d’un unique paramètre d’entrée ℎ� , , .

Le premier constat concerne les épaisseurs à 50% ℎ� _, correctement prédites par les équations. La valeur à 50% de la 5ème côte mesurée sur la table interne permet de définir de façon fiable la position de la droite de la zone �2. De plus, les coefficients directeurs �2 de ces 10 droites définies entre 40 et 100% représentent convenablement la tendance décroissante de ces épaisseurs de table interne ℎ�� , . Comme nous l’avons souligné précédemment, la difficulté est de déterminer un modèle personnalisé dans la zone � . Les dispersions observées entre 0 et 40% sont en effet très importantes

∈ , �2 = . − . 2 + . − . (3.25)

∈ , �2 = . − . (3.26)

∈ , _{�2 = ‖ ℎ� , ‖ − . �2} (3.27)

et non répétables sur l’ensemble de l’hémi-thorax. Cependant, le modèle linéaire employé équivalent à l’épaisseur prédite à 40% est positionné de façon correcte sur la majeure partie des côtes (fig. 3.38).

fig. 3.38 Illustration des dispersions observées sur chaque côte pour l’épaisseur de cortical des tables internes, comparaison entre le modèle réél et le modèle personnalisé du sujet #609.

Les valeurs médianes de chaque côte (représentées par les points) sont plus élevées de 0.1 mm lors de la prédiction. Les côtes 6 et 8 présentent un écart de 0.3 mm. Cependant, certaines côtes ont des dispersions similaires entre mesures réelles et prédites, malgré le principe considérant une valeur unique entre 0 et 40%. La partie représentant les minima est également correctement estimée avec des écarts faibles. Cette comparaison correspond à la décroissance dans la zone i2 et montre alors la bonne estimation de cette diminution d’épaisseur, assimilable au travail effectué pour la table externe et la personnalisation des ℎ � , . L’application sur le sujet #605 permet alors de vérifier ce modèle de personnalisation sur une autre base de données (fig. 3.39).

fig. 3.39 Application de la méthode de personnalisation des tables internes sur le sujet #605 à partir d’un unique paramètre d’entrée ℎ� , , .

Le premier constat montre une différence de l’évolution de l’épaisseur réelle de chaque côte. La zone i1 est en effet moins dispersée que sur le sujet #609 avec une progression plus constante

notamment pour les côtes 3, 5, 8, 9 et 10. La valeur moyenne dans cette zone � peut cependant varier fortement entre chaque côte. La côte 6 présente une valeur plus faible (0.7 mm) que ses 2 côtes voisines. Le modèle personnalisé pour cette 6ème côte engendre des différences importantes entre 0 et 30%. Les épaisseurs à 50% pour chaque côte sont correctement définies avec un écart inférieur à 0.1 mm. Seule la 4ème côte possède une différence d’épaisseur sur ce tronçon milieu de l’ordre de 0.3 mm. Les droites dans la zone �2 sont correctement prédites. Une remarque similaire à celle faite pour le ℎ , du sujet #605 peut être réitérée : le tronçon à 50% de la 5ème côte se situe également dans une zone dont l’évolution ne suis pas la même tendance que le reste des côtes (#605 et #609). La diminution progressive de l’épaisseur n’est pas visible aux abords de ce tronçon avec une forte diminution autour des 40% et une augmentation à 60%. Ce tronçon pilotant l’ensemble des équations ( ℎ� , ), la valeur prise en entrée peut alors être située dans une zone anatomique atypique. Le sujet #609 ne présente pas ce type d’évolution sur la 5ème côte. Les tendances observées sur les 16 tronçons à 50% des autres sujets montrent également une faible diminution de l’épaisseur le long des 10% (45 à 55%, 6 sections).

fig. 3.40 Illustration des dispersions observées sur chaque côte pour l’épaisseur de cortical des tables internes, comparaison le modèle réél et le modèle personnalisé du sujet #605.

conclusion

Ce second modèle analytique permet la personnalisation des épaisseurs de la table interne et leurs évolutions à partir du tronçon localisé 50% de la 5ème côte. Cette stratégie basée sur un tronçon unique prend 100 fois moins de temps pour prédire l’ensemble des épaisseurs de cette table. L’aspect dispersé des données, notamment dans la zone i1 engendre des écarts lors de la comparaison avec certains points extrêmes. La valeur fixée entre 0 et 40% permet cependant de s’abstenir de ces variations de façon cohérente.