R´ egion de confiance pour un param` etre de dimension k > 1

X¯_n−t⁽ⁿ⁻¹⁾_0,975 S_n

√n,X¯_n+t⁽ⁿ⁻¹⁾_0,975 S_n

√n

de la proc´edure classique pour la moyenne μ de la loi N(μ , σ²) vue en sec-tion 7.4.1. La largeur de l’intervalle est 2t⁽ⁿ⁻¹⁾_0,975 √^Snn. Comme S_n² converge en probabilit´e vers σ², S_n converge vers σ et la largeur converge en probabilit´e vers 0. Par ailleurs ¯X_n converge versμet cet intervalle se r´eduit `a μ`a l’infini.

Cette propri´et´e de convergence est v´erifi´ee pour tous les intervalles classiques que nous avons pr´esent´es. Elle est ´egalement vraie pour la proc´edure asymp-totique par l’EMV (voir section 7.3) dans la mesure o`u I(ˆθ<sup>MV</sup><sub>n</sub> ) converge vers I(θ<sub>0</sub>) o`uθ₀ est la vraie valeur deθ.

7.8 R´ egion de confiance pour un param` etre de dimension k > 1

Pour simplifier nous prendrons k = 2, l’extension `a k quelconque ne pr´ e-sentant pas de difficult´es particuli`eres. Soit donc θ = (θ₁, θ₂) le param`etre inconnu. Le probl`eme est maintenant de d´eterminer une r´egion al´eatoire du plan qui contienneθavec une probabilit´e donn´ee quel que soit θ.

Supposons d’abord que l’on sache construire s´epar´ement pour chaque com-posante une proc´edure d’IC de niveauγet soitI₁etI₂les intervalles al´eatoires correspondants. Pour tout θ∈Θ⊆R², on a alors :

P_θ(θ_j ∈I_j) =γ, j= 1,2,

en admettant, ´egalement pour simplifier, que la probabilit´eγ est exactement atteinte pour chaqueθ. Consid´erons la r´egion al´eatoire constitu´ee du rectangle I₁×I₂. Pourθfix´e on a :

P_θ(θ∈I₁×I₂) =P_θ(θ₁∈I₁, θ₂∈I₂) =P_θ((θ₁∈I₁)∩(θ₂∈I₂))

qui sera toujours inf´erieur `aγ (sauf cas tr`es particulier o`u l’un des ´ev´enements implique l’autre). G´en´eralement ces deux ´ev´enements seront d´ependants (du fait qu’ils reposent sur les mˆemes observations) et il sera difficile de d´eterminer cette probabilit´e et donc, en prenant la valeur minimale quand θ d´ecrit Θ, de connaˆıtre le niveau de confiance exact associ´e `a la proc´edure consistant

`

a prendre le rectangle au croisement de deux intervalles. Toutefois montrons que l’on peut donner une borne inf´erieure pour cette probabilit´e. Pour ce faire, posonsα= 1−γqui correspond au risque d’erreur de la proc´edure pour chaque composante.

SoitE₁etE₂deux ´ev´enements quelconques. Le compl´ementaire deE₁∩E₂ est E₁∪E₂. Par ailleurs (voir section 1.1) :

P(E₁∪E₂) =P(E₁) +P(E₂)−P(E₁∩E₂)≤P(E₁) +P E₂).

D’o`u l’in´egalit´e g´en´erale :

P(E₁∩E₂)≥1−

P E₁) +P(E₂) .

Appliquant celle-ci aux ´ev´enements (θ₁∈I₁) et (θ₂∈I₂) on en d´eduit : P_θ((θ₁∈I₁)∩(θ₂∈I₂))≥1−2α.

Ainsi, si l’on vise un niveau de confiance 1−α,on peut le garantir en prenant pour chaque composante un niveau de confiance 1−^α₂. (Pour le niveau courant de 0,95 on utilisera les IC de niveau 0,975 sur chaque composante). Pour une dimensionkquelconque la m´ethode ci-dessus s’applique en prenant un niveau 1−^α_k sur chaque composante.

Toutefois cette proc´edure peut s’av´erer tr`es conservatrice, au sens o`u le ni-veau r´eel sera sup´erieur et la r´egion du plan sera donc plus vaste que n´ecessaire.

Il n’est donc pas inutile de rechercher de fa¸con directe une r´egion de niveauγ.

Nous illustrons une approche exacte pour le param`etre (μ, σ²) de la loiN(μ , σ²).

Nous avons vu (proposition 5.3) que ¯X et S² sont ind´ependants, ce qui implique que ^{( ¯}_σ/^X−μ)√n et ^(n−1)S_σ2 ² le sont ´egalement. Ces deux derni`eres v.a. ´etant, respectivement, de loisN(0 ; 1) etχ²(n−1) on a, quel que soit (μ, σ²) :

P

−2,24< X¯ −μ σ/√

n <2,24

= 0,975 P

χ^{2 (n−1)}_0,0125 <(n−1)S²

σ² < χ^{2 (n−1)}_0,9875

= 0,975

et la probabilit´e que ces deux ´ev´enements aient lieu simultan´ement est donc (0,975)²0,95. Ainsi une r´egion de confiance de niveau 0,95 est obtenue en

prenant l’ensemble des points (μ, σ²) du plan tels que :

⎧⎪

⎨

⎪⎩

−2,24< ¯x−μ σ/√

n <2,24 χ^{2 (n−1)}_0,0125 <(n−1)s²

σ² < χ^{2 (n−1)}_0,9875 ou, de fa¸con ´equivalente :

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

σ²− n

(2,24)²(μ−x)¯ ²>0 (n−1)s²

χ^{2 (n−1)}_0,9875 < σ²< (n−1)s² χ^{2 (n−1)}_0,0125

.

La premi`ere in´egalit´e correspond, en coordonn´ees (x, y),`a l’int´erieur de la pa-raboley=a(x−x)¯ ²centr´ee sur ¯xo`uavautn/(2,24)². La seconde d´ecoupe une tranche de cet int´erieur entre les droites horizontales d’´equationsy = ^(n−1)s2

χ^{2 (n−1)}_0,9875

ety= ^(n−1)s2

χ^{2 (n−1)}_0,0125 comme indiqu´e sur la figure 7.2 .

Région de confiance à 95%

pour (μ, σ²)

2,24

0,0125

0,9875 (n − 1)

(n − 1)

Figure 7.2 - R´egion de confiance pour le param`etre (μ, σ²) d’une loi de Gauss.

Signalons bri`evement les ´el´ements permettant d’obtenir des r´egions de confi-ance approximatives dansR<sup>k</sup> `a partir des propri´et´es du vecteur estimateur du MV. Nous avons indiqu´e en fin de section 6.7.4 que√

n(ˆθ^MV −θ) converge en

loi vers une loi normale `akdimensions de vecteur des moyennes nul et de ma-trice des variances-covariances [I(θ))]<sup>−1</sup>. Comme la matriceI(θ) est sym´etrique et d´efinie strictement positive il existe une matrice sym´etrique et d´efinie stric-tement positive dont le carr´e est ´egal `a I(θ) et nous la d´esignons par I(θ)¹². Ceci est ´egalement applicable `a [I(θ)]⁻¹ et I(θ)⁻¹² est l’inverse de I(θ)¹², i.e.

I(θ)¹²I(θ)⁻¹² =I_k, la matrice identit´e d’ordrek.

PosonsX =√

n(ˆθ^MV −θ) et soitY =I(θ)¹²X. Selon la proposition 3.13, E(Y) =I(θ)¹²E(X) = 0 et :

V(Y) =I(θ)¹²V(X)I(θ)¹² =I(θ)¹²I(θ)⁻¹I(θ)¹² =I_k. Ainsi √

nI(θ)¹²(ˆθ^MV −θ) a une loi asymptotique N(0,I_k), c’est-`a-dire que toutes les composantes de ce vecteur al´eatoire tendent `a ˆetre ind´ependantes et de loi N(0 ; 1) (voir les d´eveloppements analogues en section 3.9). Par cons´ e-quent la somme des carr´es de ses composantes, ´egale `a :

+√

nI(θ)¹²(ˆθ^MV −θ) ,_t +√

nI(θ)¹²(ˆθ^MV −θ) ,

=n(ˆθ^MV −θ)^tI(θ) (ˆθ^MV −θ), suit approximativement une loi du khi-deux `ak degr´es de libert´e. En

rempla-¸cant, en deuxi`eme approximation,I(θ) parI(ˆθ<sup>MV</sup>) et en passant `a la r´ealisation de ˆθ^MV, l’in´equation enθ:

n(ˆθ^MV −θ)^tI(ˆθ^MV) (ˆθ^MV −θ)≤χ²_0,95(k)

d´efinit l’int´erieur d’un ellipso¨ıde centr´e sur ˆθ^MV qui est une r´egion de confiance de niveau approximatif 0,95.

Appliquant ceci `a (μ, σ²) dans le cas gaussien on a (voir exemple 6.18) : I(μ, σ²) =

₁

σ² 0 0 _2σ¹₄

et [I(μ, σ²)]⁻¹=

σ² 0 0 2σ⁴

.

D’o`u la r´egion de confiance au niveau 0,95 (o`u ici la substitutionI(¯x,˜s²) pour I(μ, σ²) n’est pas n´ecessaire) :

n

σ²(μ−x)¯ ²+ n

2σ⁴(σ²−s˜²)²≤χ²_0,95(2) = 5,99

qui correspond `a l’int´erieur d’une ellipse centr´ee sur l’estimation du MV : (¯x,s˜²). En fait, on montre que cette r´egion est plus int´eressante que celle ob-tenue plus haut car elle est (en esp´erance math´ematique, et pour n pas trop petit) de surface inf´erieure.

Grˆace `a la r´esolution num´erique vue en section 7.3 permettant d’acc´eder

`

a I(ˆθ^MV), les logiciels peuvent, pour k = 2, tracer les ellipses contenant le param`etre `a un niveau de confiance donn´e.