Couples de v.a

Nous nous int´eressons donc `a l’´etude de deux entit´es num´eriques a priori al´eatoires, par exemple le poids et la taille d’un individu (cas continu), le nombre d’enfants et le nombre de pi`eces du logement d’un m´enage (cas dis-cret). Nous nous contenterons, comme nous l’avons fait pour une seule v.a., d’une d´efinition informelle.

Un couple de v.a. peut ˆetre vu comme un ensemble Ω de valeurs de R² auquel on associe une mesure de probabilit´e. Comme pour le cas d’une v.a.

simple (voir section 1.1) la mesure de probabilit´e est une fonction portant sur l’ensemble des ´ev´enements, lesquels sont des parties de R². La fonction de r´epartition conjointe sera l’instrument fondamental pour donner la probabilit´e d’une r´egion quelconque du plan (quoique dans le cas discret on pr´ef´erera, en pratique, recourir `a la fonction de probabilit´e conjointe).

Dans ce qui suit nous d´esignerons de fa¸con g´en´erale par (X, Y) le couple de variables al´eatoires. Par simplicit´e, nous ne consid´erons que des couples o`u les deux variables sont de mˆeme nature, discr`etes ou continues, et exclurons le cas mixte.

D´efinition 3.1 Soit(X, Y)un couple de v.a., on appellefonction de r´ epar-tition conjointe de (X, Y), que l’on note F_X,Y, la fonction d´efinie sur R² par :

F_X,Y(x, y) =P(X ≤x, Y ≤y).

Dans ces notations, pr´ecisons que l’´ev´enement (X ≤x, Y ≤y) peut se lire (X ≤x)∩(Y ≤y), c’est-`a-dire qu’`a la fois X soit inf´erieur ou ´egal `a xet Y soit inf´erieur ou ´egal `ay.

Note 3.1 En principe la fonction de r´epartition conjointe suffit `a calculer la proba-bilit´e de tout ´ev´enement car les seules parties deR²probabilis´ees sont celles g´en´er´ees par les unions, intersections et compl´ements de parties du type (X ≤ x, Y ≤ y), formant la tribu bor´elienne de R² (voir l’analogie avec une v.a. simple dans la note 1.2).

D´efinition 3.2 (cas discret) Soit(X, Y)un couple de v.a. discr`etes pouvant prendre les couples de valeurs {(x<sub>i</sub>, y<sub>j</sub>);i= 1,2, . . .;j= 1,2, . . .}. On appelle fonction de probabilit´e conjointe la fonction, not´ee p<sub>X,Y</sub>, qui donne les probabilit´es associ´ees `a ces couples de valeurs, soit, pour tout i et toutj:

p_X,Y(x_i, y_j) =P(X =x_i, Y =y_j).

D´efinition 3.3 Soit(X, Y) un couple de v.a. continues, on appellefonction de densit´e de probabilit´e conjointe la fonction non n´egative surR² not´ee

f_X,Y telle que :

F_X,Y(x, y) = _y

−∞

_x

−∞

f_X,Y(u, v)dudv .

Par convention, lorsque l’on parlera d’un couple de v.a. continues, on sup-posera l’existence de cette fonction.

Si l’on s’int´eresse `a un ´ev´enement surX quelle que soit la valeur prise parY, on retombe sur la loi de la v.a.Xqui, dans le contexte du couple, est appel´eeloi marginale de X. On peut faire le lien avec la fonction de r´epartition conjointe en ´ecrivant :

F_X(x) =P(X ≤x) =P(X≤x, Y ∈R)

= lim

y→+∞P(X ≤x, Y ≤y)

=F_X,Y(x,+∞) De mˆemeF_Y(y) =F_X,Y(+∞, y).

Dans le cas discret il est clair que la fonction de probabilit´e marginale de X,par exemple, peut s’obtenir en sommant la fonction de probabilit´e conjointe sur toutes les valeurs possibles deY,i.e. :

p_X(x_i) = ...

j=1

p_X,Y(x_i, y_j).

Pour le cas continu on admettra la relation du mˆeme type portant sur les densit´es :

f_X(x) = _+∞

−∞ f_X,Y(x, y)dy.

On peut d´efinir encore des lois conditionnelles pour l’une des variables, l’autre ´etant fix´ee `a telle ou telle valeur. Nous illustrons ceci d’abord dans le cas discret qui est plus simple. Ainsi, reprenant l’exemple introductif o`u X est le nombre de pi`eces du logement d’un m´enage pris au hasard et Y est le nombre d’enfants de ce m´enage, nous pouvons consid´erer par exemple la loi deX sachant (Y=2). Dans l’analogie entre probabilit´es et fr´equences relatives (voir section 2.4), cela ´equivaut `a d´efinir la distribution du nombre de pi`eces parmiles m´enages ayant deux enfants. Plus g´en´eralement, on d´efinira la fonc-tion de probabilit´e conditionnelle de X sachant (Y = y<sub>j</sub>) en appliquant la r`egle des probabilit´es conditionnellesP(A|B) =P(A∩B)/P(B),soit, avec des notations parlant d’elles-mˆemes :

p_X|Y=yj(x_i) = p_X,Y(x_i, y_j)

p_Y(y_j) , i= 1,2, . . . . On peut ´evidemment d´efinir de fa¸con similairep_Y|X=xi(y_j).

Pour le cas continu, les choses sont plus compliqu´ees car, comme nous l’avons vu, la probabilit´e que Y, par exemple, prenne une valeur donn´ee est nulle. Il n’empˆeche, mˆeme si cela peut paraˆıtre paradoxal au premier abord, que l’on peut d´efinir une loi de X sachant (Y = y), d`es lors toutefois qu’en y on ait f<sub>Y</sub>(y) > 0. On voit l’int´erˆet de ceci dans le cas de l’exemple intro-ductif o`u X serait le poids d’un individu et Y sa taille (en cm). La loi de X sachant (Y = 170) serait en quelque sorte, par analogie avec les fr´equences rela-tives, la distribution des poidsparmiles personnes mesurant 170 cm. On peut

´

etablir la fonction de r´epartition conditionnelle par un raisonnement limite. La probabilit´e de (X≤x) sachant que (y−^h₂ ≤Y ≤y+^h₂) se calcule par :

P(X ≤x , y−^h₂ ≤Y ≤y+^h₂) P(y−^h₂ ≤Y ≤y+^h₂)

= P(X ≤x , Y ≤y+^h₂)−P(X ≤x , Y ≤y−^h₂) P(y−^h₂ ≤Y ≤y+^h₂)

= F_X,Y(x , y+^h₂)−F_X,Y(x , y−^h₂) F_Y(y+^h₂)−F_Y(y−^h₂) . Pour le num´erateur, on a utilis´e le fait que : (X ≤x, Y ≤y+h

2) = (X≤x, y−h

2 ≤Y ≤y+h

2)∪(X ≤x, Y ≤y−h 2) et que ces deux derniers ´ev´enements sont incompatibles. En faisant tendre h vers 0, on obtient la fonction de r´epartition conditionnelle de X sachant (Y =y),soit, moyennant une division du num´erateur comme du d´enominateur parh:

F_X|Y=y(x) = lim

h→0

F_X,Y(x , y+^h₂)−F_X,Y(x , y−^h₂) /h

F_Y(y+^h₂)−F_Y(y−^h₂) /h

o`u le d´enominateur tend vers la densit´e marginale deY eny (voir section 1.4) et le num´erateur tend vers la d´eriv´ee partielle<sup>1</sup> de F<sub>X,Y</sub> par rapport `a y, au point (x, y).Cette derni`ere ´etant ´egale `a _x

−∞f_X,Y(u, y)du, on a finalement : F_X|Y=y(x) =

_x

−∞f_X,Y(u, y)du f_Y(y) .

Par d´erivation par rapport `a x,on obtient la densit´e conditionnelle : f_X|Y=y(x) =f_X,Y(x, y)

f_Y(y)

dont l’expression rappelle celle de la fonction de probabilit´e conditionnelle du cas discret.

1Tout comme en section 1.4 il a ´et´e dit queF_X est d´erivable partout sauf peut-ˆetre sur un ensemble d´enombrable de points,F_X,Y sera d´erivable par rapport `axet `aypartout sauf

´

eventuellement sur une partie deR²de probabilit´e nulle.