D´ efinitions de base

Dans tout ce qui suit, nous allons consid´erer les images num´eriques sous la forme d’un graphe G ={VG, AG}. Les coordonn´ees de chacun des pixels d´eterminent les points de la grille

VG:Z × Z, tandis que les relations de voisinage d´efinissent l’ensemble des arˆetes AG∈ Z2.

Ainsi, nous pouvons introduire la notion de voisinage d’un point p dans la grille VGcomme

l’ensemble de pixels qui sont directement connect´es `a lui,

∀ p, q ∈ VG, p et q sont voisins⇔ (p, q) ∈ AG

o`u le paire ordonn´e (p, q) est l’arˆete qui relie les points p et q. Plus formellement nous dirons que le voisinage du pixel p, NG(p), d´efinit un sous ensemble de VG de taille quelconque, tel

que

∀ p ∈ VG, NG(p) ={ q ∈ VG, (p, q)∈ AG}

Nous allons supposer toujours NG(p) ´etant invariant par translation et sym´etrique par

rapport au point p. Ainsi, d´efinir un voisinage revient `a d´efinir la connexit´e des pixels sur la grille num´erique. En pratique, les relations de connexit´e les plus utilis´ees dans Z2 _sont

du type hexagonal (6 voisins par nœud), ou carr´e (4 ou 8 voisins par nœud). Notons tout simplement que la trame hexagonale est pr´ef´er´ee du point de vue algorithmique pour ses bonnes propri´et´es de sym´etrie, tandis que la trame carr´ee `a 4 ou 8 connexit´es est largement plus appropri´ee car elle correspond `a la position des capteurs des cam´eras.

Connexit´e 4 Connexit´e 8 Connexit´e 6

Fig. 3.1 – Diff´erents types de connexit´e pour des images num´eriques.

Sur cette base nous allons d´efinir les termes suivants :

D´efinition 1 (Chemin) Soient (x,y) deux pixels dans la trame VG. Nous dirons qu’il existe

un chemin reliant (x,y) si, et seulement si, il existe un n-uplet de pixels (p0, p1, . . . , pn) tel

que p0 = x et pn= y et

pi∈ NG(pi−1) ∀i = 1, . . . , n

A partir de la d´efinition du chemin, nous allons consid´erer des groupements de pixels sous la notion de composante connexe,

D´efinition 2 (Composante connexe) Soit A un ensemble de pixels inclus dans VG, et soit

p un pixel de A. La composante connexe de A qui contient p, Cp(A), est l’union de tous les

Il serait alors possible de d´efinir une zone plate comme la plus large composante connexe dont la fonction est constante, ou bien comme nous l’avons fait, en l’exprimant directement par la notion de chemin,

D´efinition 3 (Zone plate) Deux pixels (x,y) appartiennent `a la mˆeme zone plate de la fonc- tion f si, et seulement si, il existe un n-uplet de pixels (p0, p1, . . . , pn) tel que p0 = x et pn= y,

et pour tous les i, (pi, pi+1) sont voisins et ont la mˆeme valeur : fpi = fpi+1.

Remarquons seulement qu’une zone plate peut ˆetre r´eduite `a un seul pixel de l’image. Ce- pendant, le crit`ere qui caract´erise les zones plates dans un sens strict peut ˆetre assoupli afin de cr´eer des partitions de plus en plus grossi`eres. Nous parlerons donc des zones quasi-plates, d´efinies comme suit,

D´efinition 4 (Zone quasi-plate) Deux pixels (x,y) appartiennent `a la mˆeme zone quasi- plate de la fonction f si, et seulement si, il existe un n-uplet de pixels (p0, p1, . . . , pn) tel que

p0 = x et pn = y, et pour tous les i, (pi, pi+1) sont voisins et leurs valeurs v´erifient une

relation sym´etrique tel que :

∀i R(pi, pi+1) = R(pi+1, pi)

Parmi tout l’´eventail de possibilit´es qu’une telle d´efinition permet d’envisager, nous nous sommes int´eress´es aux relations sym´etriques du type :

kfpi− fpi+1k ≤ λ

Ainsi nous dirons que deux pixels appartiennent `a la mˆeme zone quasi-plate s’il est possible d’´etablir un chemin parmi eux dont la pente maximale soit inf´erieure ou ´egale `a λ. Sous ce crit`ere les zones strictement plates sont obtenues en prenant λ = 0. Pour des valeurs de λ > 0 il est important de remarquer que dans une mˆeme zone quasi-plate il peut y avoir des chemins de pente sup´erieure `a λ. Ceci s’illustre parfaitement dans la Figure 3.2 sur un exemple synth´etique. Si on prend λ = 0 il existe autant de zones plates que de pixels. Si on prend λ = 1 l’image est divis´ee en deux zones quasi-plates. Notons que la pente entre deux pixels de la mˆeme zone peut ˆetre plus forte que celle existante entre deux pixels de zones diff´erentes. 1 2 3 4 7 8 6 5 10 11 12 13 17 16 15 14

La Figure 3.3 montre un exemple de la diff´erence entre le nombre de zones plates ob- tenues en appliquant la d´efinition stricte ou en permettant une l´eg`ere pente (λ = 1). On observe dans ce dernier cas que les zones finement textur´ees se sont regroup´ees dans de plus larges r´egions, r´eduisant jusqu’`a 50% le nombre de r´egions. Mais, par ailleurs l’exp´erience nous montre qu’une relaxation excessive de ce crit`ere peut entraˆıner une perte d’information significative au niveau des contours.

Image originale _kfpi− fpi+1k = 0 kfpi− fpi+1k = 1

Fig. 3.3 –Caract´erisation des zones quasi-plates.

Jusqu’ici nous avons d´efini les zones plates sur les images monochromes comme ´etant des zones homog`enes en niveaux de gris. A pr´esent, si nous voulons ´etendre ce concept aux images couleur de fa¸con coh´erente, nous dirons qu’une zone de couleur plate est la composante connexe la plus grande ayant tous les vecteurs de couleur identiques. Par contre, lorsqu’il s’agit d’´etablir une ´equivalence avec les zones quasi-plates, le choix est beaucoup plus large car les in´egalit´es prennent un sens vectoriel.

Etant donn´e l’absence d’ordre total dans un espace vectoriel, nous avons class´e les diff´eren- tes approches selon qu’elles traitent chacune des composantes s´epar´ement (approche margi- nale) ; de fa¸con conjointe (approche vectorielle) ; ou de fa¸con mixte (par exemple, le traitement s´epar´e de la luminance par rapport `a la chrominance). Plus formellement nous avons d´efini les zones de couleur quasi-plate comme,

D´efinition 5 (Zone de couleur quasi-plate) Soit ~cp = {c0p, c1p, c2p} le vecteur de couleur

associ´e au pixel p. Nous dirons que deux pixels (x, y) appartiennent `a la mˆeme zone de cou- leur quasi-plate, si et seulement si, il existe un ensemble de pixels (p0, p2, . . . , pn) tel que

p0 = x et pn = y, et pour tous les i, (pi, pi+1) sont voisins et leur vecteurs de couleur, ~ci et

~

ci+1, v´erifient une relation sym´etrique du type :

− marginale : ∀i R(cn

i, cni+1) = R(cni+1, cni) n = 0, 1, 2

− vectorielle : ∀i R(~ci, ~ci+1) = R(~ci+1, ~ci)

L’approche marginale est l’extension la plus directe des crit`eres utilis´es en une dimension, car les r´egions sont g´en´er´ees par intersection des zones homog`enes de chacune des compo- santes. Remarquons seulement que pour les images couleur, le crit`ere peut changer d’une composante `a l’autre pour tenir compte des caract´eristiques particuli`eres de l’espace des cou- leurs consid´er´e.

Les approches purement vectorielles se basent exclusivement sur la d´efinition d’une fonc- tion distance, ´etablissant un ordre r´eduit parmi les vecteurs de l’espace.

Finalement, `a cheval sur ces deux cat´egories se trouvent les m´ethodes mixtes, qui traitent d’un cot´e une des composantes, et de l’autre cot´e le groupement des autres dans un plan vectoriel. En guise d’exemple, les lambda zones plates d´efinies auparavant sur une dimension, peuvent s’´etendre `a l’espace des couleurs YUV sous une des approches suivantes,

− marginale : L1(yi, yi+1)≤ λy et L1(ui, ui+1)≤ λu et L1(vi, vi+1)≤ λv

− vectorielle : L2(~ci, ~ci+1)≤ λc

dont L1 et L2 ´equivalent aux distances de Minkowski d’ordre 1 et 2 respectivement.

Dans le premier cas il est envisageable de fixer des valeurs de λ diff´erents pour chacune des composantes. Couramment nous prendrons λy ≥ λu = λv car, comme nous avons vu

dans le chapitre pr´ec´edent, l’espace YUV n’est pas uniforme (les variations de luminance sont beaucoup plus fortes que celles de la chrominance).

La Figure 3.4illustre un exemple de la d´etection de zones de couleur quasi-plate par ex- tension marginale du crit`ere d´efini en une dimension. Dans (a) l’application du crit`ere strict de zone plate limite le groupement des pixels, tandis que dans (b), en permettant une certaine pente, les r´egions tr`es homog`enes, comme le ciel ou la mer deviennent facilement reconnais- sables. Par contre, si on prend des seuils encore plus larges pour homog´en´eiser les r´egions plus textur´ees, on risque de fusionner des objets ind´ependants. Ainsi, dans (c), en permettant de fortes variations de luminance afin d’unifier les ombres parmi les herbes, nous avons ´egalement fusionn´e les r´egions repr´esentant le ciel et de la mer.

En concordance avec la d´efinition que nous avons faite auparavant, nous dirons que deux pixels appartiennent `a la mˆeme zone s’il est possible d’´etablir un chemin parmi eux de pente inf´erieure `a λ. Pour des valeurs de λ ´equivalents, l’approche vectorielle permet des variations plus fortes. Par cons´equent, il est alors logique d’esp´erer que les zones plates ainsi g´en´er´ees seront encore plus larges que les marginales. Mais il est int´eressant de remarquer que,

− l’approche marginale permet d’´etablir des chemins diff´erents pour chacune des compo- santes `a l’int´erieur d’une mˆeme zone plate. Par contre,

− les approches vectorielles ne peuvent cr´eer une zone plate que s’il existe au moins un chemin commun `a toutes les composantes de l’espace consid´er´e.

Image couleur

(a)λy= λu= λv= 0 (b)λy= 4, λu= λv= 2 (c)λy= 6, λu= λv= 3

Fig. 3.4 – Caract´erisation des zones de couleur quasi-plate.

Nous avons vu jusqu’ici que la pr´esence de bruit ainsi que de textures ne permet pas de d´etecter les zones plates comme le fait l’œil humain. Bien que beaucoup d’autres approches soient possibles dans le but d’´elargir les zones plates, l’´evaluation des crit`eres propos´es met d´ej`a en ´evidence une dichotomie : plus on tol`ere de d´erives pour surmonter les textures, plus on risque de fusionner des objets proches en couleur. Par contre, nous verrons par la suite qu’il existe des op´erateurs capables de simuler cette r´eponse visuelle en homog´en´eisant les petites variations du signal.