Choix adopt´ es

Lorsqu’on d´ecide de traiter le probl`eme de la mise en correspondance de partitions comme un probl`eme de mise en correspondance de graphes, un certain nombre de pr´ecisions doivent ˆetre apport´ees. Nous allons les d´etailler par la suite, tout l’ensemble ´etant r´esum´e dans le Tableau6.1. Cette caract´erisation nous permettra en mˆeme temps de situer notre approche par rapport `a des variantes possibles. Les choix `a faire concernent :

Type d’application : on doit commencer en pr´ecisant si les algorithmes vont ˆetre con¸cus pour donner des solutions vis-`a-vis d’une application pr´ecise, ou bien s’ils devront s’appliquer `a plusieurs domaines. Nos algorithmes se rangent dans la deuxi`eme de ces

cat´egories, et ¸ca ne sera que dans le chapitre suivant qu’ils seront optimis´es au probl`eme du suivi d’objets au long d’une s´equence.

Type de graphe : ensuite, on doit sp´ecifier `a quelle classe appartient le graphe de voisinage utilis´e pour d´ecrire la partition. Nous allons construire un graphe de voisinage par adja- cence de r´egions `a partir d’une partition fournie de l’image. Il existera une ´equivalence un-`a-un parmi les nœuds et les r´egions, et une arˆete parmi chaque paire de nœuds ayant un contour en commun sur la partition.

Contraintes sur la structure du graphe : en fonction du type de graphe, il se peut qu’au- cune contrainte ne soit impos´ee sur la structure, mais il se peut aussi qu’on soit forc´e de pr´eserver une certaine topologie. En consid´erant la six connexit´e, notre graphe de voisinage sera, par d´efinition, un graphe planaire. C’est-`a-dire, la structure du graphe pourra toujours se repr´esenter sur un plan sans que deux de ses arˆetes ne se croisent. Type d’attributs : s’il s’agit d’un graphe pond´er´e, on doit encore pr´eciser le type d’attributs

utilis´es. Il faut noter qu’agir sur un graphe pond´er´e augmente la fiabilit´e de la mise en correspondance, car le poids d’une assignation ne reposera pas exclusivement sur le bon assemblage des structures, mais aussi sur la co¨ıncidence des propri´et´es du graphe. Pour cette raison, nous travaillerons avec des graphes pond´er´es. Cependant, afin de garder le principe de g´en´eralit´e de notre approche, nous ne pr´eciserons pas ici les valeurs abstraites sur la partition ; or celles-ci d´ependent nettement de l’application vis´ee.

Taille du graphe : nous allons classer les graphes en trois cat´egories en fonction du nombre de nœuds : petits (moins de 100 nœuds), moyens (de 100 `a 1000 nœuds) ou grands (plus de 1000 nœuds). Il est fortement recommand´e de travailler avec des graphes aussi petits que possible. Autrement, leur mise en correspondance, mˆeme en ayant recours `a des techniques approximatives, peut donner des temps de traitement trop ´elev´es pour la plupart des applications. Afin de pouvoir traiter des images r´eelles dans un d´elai acceptable, nous allons apparier des partitions n’ayant qu’une cinquantaine de r´egions. Cette valeur d´etermine la pr´ecision du syst`eme, ´etant en relation avec la taille des objets par rapport `a la taille du support de l’image.

Densit´e d’arˆetes : de la mˆeme fa¸con nous parlerons d’une densit´e d’arˆetes faible (du mˆeme ordre que le nombre de nœuds), moyenne ou haute (d’ordre quadratique par rapport au nombre de nœuds). Notons que la taille des voisinages varie en fonction de la densit´e d’arˆetes. Par cons´equent, si d’un cˆot´e une forte densit´e d’arˆetes permet une mise en correspondance plus robuste, elle cause aussi un incr´ement du nombre d’op´erations n´ecessaires. Dans un graphe de voisinage planaire, le nombre d’arˆetes est limit´e `a 3n−6, o`u n≥ 3 est le nombre de nœuds.

Type de mise en correspondance : un autre point important correspond au choix de l’al- gorithme de mise en correspondance de graphes. Bien que toute technique de mise en correspondance de graphes puisse ˆetre adopt´ee, on doit pr´eciser s’il s’agit d’un algo- rithme exhaustif, qui cherche la solution optimale (isomorphisme de graphes), ou s’il s’agit d’une m´ethode approximative (clique maximale, ´edition du graphe, ou inclusion de nœuds fictifs). Les algorithmes exacts sont les moins complexes mais sont difficilement

Type d’application √Pr´ecise G´en´erique Type de graphe Triangulation de Delaunay Graphe de Gabriel √

Voisinage par adjacence de r´egions Autres Contraintes sur la structure du graphe Aucune √ Planaire Arbre Autres Type d’attributs Aucun Symbolique Num´erique √ Structures Taille du graphe √

Petit (moins de 100 nœuds) Moyen (de 100 `a 1000 nœuds) Grand (plus de 1000 nœuds)

Densit´e d’arˆetes

Faible (du mˆeme ordre que le nombre de nœuds) √

Moyenne

Haute (d’ordre quadratique par rapport au nombre de nœuds)

Type de

mise en correspondance

Exacte :

Isomorphisme Inexactes :

Recherche de la clique maximale Isomorphisme par ´edition des graphes √

Isomorphisme par inclusion de nœuds fictifs

Cat´egorie de l’algorithme

Optimal, avec ou sans heuristique Approximatif :

R´eseaux neuronaux Algorithmes g´en´etiques √

Relaxation probabiliste Autres

Tab. 6.1 –Choix concernant la mise en correspondance de graphes. Les options coch´ees

applicables aux probl`emes r´eels. Notre m´ethode cherchera `a ´etablir une correspondance mˆeme s’il n’existe pas d’isomorphisme parmi les graphes, capable de g´erer la pr´esence de nœuds non-communs par inclusion de nœuds fictifs.

Cat´egorie de l’algorithme : plus en d´etail, on doit sp´ecifier la cat´egorie de l’algorithme choisi, diff´erenciant ceux qui incluent des heuristiques, de ceux qui font appel `a de tech- niques r´ecursives (processus de relaxation, r´eseaux neuronaux, algorithmes g´en´etiques, etc.). Nous avons choisi un algorithme de relaxation probabiliste, nous permettant d’in- clure certaines contraintes heuristiques pour augmenter la performance au niveau du temps de calcul.