Calcul de l’image gradient

Dans les chapitres pr´ec´edents, nous avons introduit la notion de zone plate ainsi que celle des filtres connexes, dont le but ´etait de rendre l’image aussi lisse que possible. A pr´esent, en partant de l’image simplifi´ee, nous allons nous int´eresser `a la d´etection des contours. Pour cela, commen¸cons en regardant de plus pr`es la distribution des zones plates par rapport au contenu de l’image. On remarque ais´ement que :

− les zones plates les plus larges, ´etant des r´egions homog`enes `a niveau de gris, se placent normalement `a l’int´erieur des objets. Au contraire,

− les zones plates les plus petites entourent les fortes variations du signal.

Ces derni`eres, nous les nommerons zones de transition, car c’est sur elles que se trouvent les fronti`eres parmi les r´egions.

Dans le but de rehausser les zones de transition par rapport aux zones plates, nous allons utiliser le gradient morphologique d´ecrit originalement par Beucher dans [10]. Cet op´erateur, s’appliquant `a l’image `a niveau de gris, rend comme r´esultat une image o`u les zones plates

deviennent des minima et les contours des maxima. Plus une valeur sur l’image gradient est haute, plus la transition de l’image originale `a ce point-l`a est contrast´ee. Pour calculer le gradient morphologique d’une image, il suffit d’assigner `a chacun des pixels la plus grande diff´erence entre les valeurs de son voisinage.

En termes morphologiques, l’image gradient est la diff´erence entre l’image dilat´ee et l’image ´erod´ee :

∆(f ) = δ(f )− ε(f) (4.1)

L’image ´erod´ee ´etant en dessous de l’image dilat´ee, le gradient morphologique est toujours positif. Il ne refl`ete pas le signe des transitions, d’autant que cette information n’est pas re- quise pour les algorithmes de segmentation morphologiques. Pour illustrer la fa¸con dont cet op´erateur agit, nous avons pr´esent´e trois exemples sur une dimension :

A B C

fonctions

gradients

element structurant

Fig. 4.2 – Gradient morphologique calcul´e sur trois signaux en une dimension.

Nous avons commenc´e avec un exemple tr`es simple A, pour montrer comment les pics du gradient suivent parfaitement avec les transitions du signal. La hauteur de chacun des pics refl`ete la valeur du contraste. De fa¸con plus g´en´erale, on peut affirmer que le gradient morphologique est non-nul sur toute transition de l’image de d´epart.

N´eanmoins, `a cause de la taille des ´el´ements structurants, il n’a pas la pr´ecision suffisante pour d´etecter les transitions entre des petites zones plates comme celle de B. Finalement dans C, nous avons ´etudi´e le comportement du gradient sur les zones de l´eg`ere pente. Celles-ci nous int´eressent sp´ecialement car elles sont produites en nombre par les lambda nivellements.

Ainsi, on se rend compte que le gradient classique traite ces zones comme ´etant des tran- sitions, et non pas comme des zones quasi-plates dans le sens de nos d´efinitions.

Afin d’assurer la coh´erence dans la chaˆıne du traitement, nous allons calculer le gradient morphologique en reprenant les d´efinitions de lambda ´erosion et lambda dilatation pr´esent´ees dans le chapitre pr´ec´edent (´equations 3.8 et 3.9). Dans tout ce qui suit, nous calculerons le lambda gradient comme,

Nous verrons dans les paragraphes qui suivent que le processus de segmentation, agissant exclusivement sur le gradient, sera identique pour les images couleur ainsi que pour les images monochromes. La seule diff´erence, au niveau des r´esultats obtenus, va r´esider dans la fa¸con de g´en´erer le gradient couleur. Or, `a cause de la diversit´e d’espaces de couleur, il n’existe pas une d´efinition unique.

Pour ce qui concerne l’espace YUV, la composante de luminance Y est la plus discriminante vis-`a-vis de la segmentation. N´eanmoins, dans certains cas, les composantes de chrominance seront les seules `a s´eparer deux r´egions de teintes diff´erentes. Par cons´equent, nous proc´ederons au calcul du gradient sur des images couleur par recombinaison des gradients calcul´es sur chacune des composantes,

∆λ(Y U V ) = wy∆λ(Y ) + wu∆λ(U ) + wv∆λ(V ) (4.3)

Car l’espace YUV n’est pas uniforme, un vecteur de poids (wy, wu, wv) est n´ecessaire pour

tenir compte des diff´erents ordre de valeurs des composantes.

En prenant cette derni`ere d´efinition, la Figure 4.3 montre le comportement du gradient lorsqu’il est calcul´e sur des images r´eelles.

Image originale Zones quasi-plates Image gradient

Image nivel´ee Zones quasi-plates Image gradient

Fig. 4.3 – D´etection des zones de transition par calcul du gradient morphologique.

Sur ces exemples il est facile d’observer comment les zones de transition ont ´et´e fortement rehauss´ees par rapport aux zones plates. Cependant, et contrariant une premi`ere impression, les contours ne peuvent pas ˆetre d´etect´es par simple seuillage puisque,

− mˆeme apr`es avoir simplifi´e fortement l’image, sur le gradient restent de nombreuses transitions li´ees aux textures,

− sur les r´egions peu contrast´ees on obtient des contours non-ferm´es et impr´ecis.

Le calcul du gradient ´etant insuffisant pour obtenir une partition de l’image, nous allons rentrer dans le domaine des algorithmes de segmentation. Ces techniques cherchent `a diviser l’image en r´egions par un certain crit`ere d’homog´en´eit´e.