Construction de la hi´ erarchie de partitions

Nous verrons par la suite la fa¸con dont la construction d’une hi´erarchie de partitions peut ˆetre abord´ee avec les outils de segmentation morphologiques que nous connaissons d´ej`a.

Dans un premier temps il ne s’agit pas de segmenter l’image dans le but de produire une seule partition, mais tout un ensemble de partitions capables de repr´esenter l’image `a diff´erents niveaux de finesse. De plus, ces partitions doivent former une hi´erarchie, afin de pouvoir ´etablir un ordre d’inclusion parmi elles.

Par rapport `a cet ordre, les r´egions forment une structure pyramidale : `a la base on retrouve la partition la plus fine, contenant une multitude de petites r´egions, et au sommet la partition la plus grossi`ere qui consid`ere toute l’image comme une seule r´egion. Par ailleurs, nous dirons que la hi´erarchie est compl`ete si, `a chaque marche qu’on monte dans la pyramide, la finesse de la partition diminue d’une r´egion.

Dans la Figure4.15nous avons illustr´e un exemple. De gauche `a droite et de haut en bas, nous avons sorti quelques-unes des partitions faisant partie de la hi´erarchie associ´ee `a une image r´eelle. Elles repr´esentent l’image `a diff´erents niveaux de d´etail, allant d’une partition grossi`ere `a 10 r´egions, jusqu’`a atteindre un maximum de finesse `a plus de 1500 r´egions.

En sachant que la finesse de la partition obtenue par inondation du gradient est pro- portionnelle au nombre de sources plac´ees initialement sur le relief, on peut envisager la construction d’une hi´erarchie de partitions par inondations successives de l’image gradient.

Image originale

10 r´egions 25 r´egions 50 r´egions

100 r´egions 500 r´egions partition fine (+1500 r´eg.)

Fig. 4.15 –Exemple de la hi´erarchie de partitions associ´ee `a une image r´eelle.

La construction de la base de la pyramide revient `a l’inondation du gradient `a partir de tous les minima. Ensuite, pour obtenir les autres partitions de la pyramide, il suffit de r´ep´eter le processus d’inondation en supprimant `a chaque fois la source d’un des minima.

Bien que cela soit la fa¸con la plus intuitive d’approcher la construction d’une hi´erarchie de partitions `a partir des algorithmes de segmentation morphologiques, cette approche est tr`es coˆuteuse en temps de calcul. Car, le processus complet entraˆıne autant d’inondations qu’il y a de r´egions dans la partition fine.

Nous verrons par la suite qu’il existe des algorithmes plus performants, qui introduisent dans le processus d’inondation la notion d’un arbre d’absorptions. Ces algorithmes font une seule inondation du gradient, laissant tous les minima se propager. Cependant, le but de cette inondation est double : d’un cˆot´e on cherche `a obtenir une partition de l’image, mais de l’autre cˆot´e on cherche aussi `a ´etablir un historique des absorptions parmi les lacs.

Classiquement, l’information li´ee aux absorptions s’organise sous la forme d’un arbre nomm´e arbre de lacs critiques (voir Figure 4.16). La construction de l’arbre de lacs critiques est faite parall`element `a l’inondation du relief. Au d´ebut du processus d’inondation chacun des minima se constitue comme une feuille de l’arbre. Lorsque deux lacs se rencontrent, ils

forment ce qu’on nomme un lac critique. Sur la structure de l’arbre cet instant est repr´esent´e par un nœud sur lequel deux arˆetes s’embranchent. De cette fusion, seulement l’arˆete du lac absorbant survit. Ce processus se termine avec une unique r´egion `a la racine de l’arbre.

Fig. 4.16 –Construction de l’arbre des lacs critiques lors de l’inondation du gradient.

En proc´edant de cette fa¸con les bassins versants s´epar´es par les point cols les plus bas vont fusionner en premier, tandis que ceux qui sont s´epar´es par les lignes de crˆete les plus hautes seront les derniers `a disparaˆıtre. L’hypoth`ese sous-jacente consiste `a supposer que les contours les plus forts entourent les vrais objets, par opposition aux fronti`eres faibles qui s’´etablissent `

a l’int´erieur des zones textur´ees.

L’arbre de lacs critiques permet de classer toutes les r´egions dans un ordre hi´erarchique. Cependant, il nous reste `a faire quelques remarques concernant les crit`eres auxquels on peut avoir recours pour ´etablir le sens des absorptions, comme nous l’avons d´ej`a fait pour les mar- queurs contraints. Parmi les crit`eres possibles, mentionner :

− Crit`ere d’absorption bas´e sur la dynamique : on consid`ere que le lac le plus profond absorbe le plus superficiel. Sur la partition finale ce crit`ere retient les r´egions les plus contrast´ees que celles-ci soient grandes ou petites (Figure4.17 (a)).

− Crit`ere d’absorption bas´e sur la surface : on consid`ere que le lac ayant la surface la plus grande absorbe le plus petit. Sur la partition finale ce crit`ere donne priorit´e aux r´egions les plus larges (Figure 4.17 (b)).

− Crit`ere d’absorption bas´e sur le volume : comme m´elange des deux crit`eres ant´erieurs, celui-ci utilise le volume d’un lac comme mesure discriminante. Sur la partition finale c’est ce crit`ere qui approche le mieux le sens visuel des objets (Figure4.17 (c)).

De nombreux exemples comparant ces trois crit`eres peuvent ˆetre trouv´es dans la th`ese de Vachier [100].

(a) dynamique (b) surface (c) volume

Fig. 4.17 –S´election des 30 r´egions les plus importantes en utilisant diff´erents crit`eres d’absorption.