Le but du processus d’´evaporation est d’accroˆıtre le param`etre de d´eg´en´ e-rescence D. Ce param`etre pr´esente la d´ependance en nombre d’atomes et en temp´erature suivante :
D ∝N T−(3/2+δ) (4.13)
Rappelons queδ d´epend de la forme du pi`ege et que, dans notre cas, le pi`ege est harmonique pour des temp´eratures inf´erieures `a 150 µK auquel cas δ vaut 3/2, et semi-lin´eaire pour des temp´eratures sup´erieures auquel cas δ vaut 5/2 [voir Eq. (3.29) pour la d´efinition de δ et Eq. (1.2) pour la d´efinition de la temp´ era-ture caract´eristique de changement de forme du pi`ege]. L’´evaporation conduisant
`
a une diminution de la temp´erature au d´etriment du nombre d’atomes pi´eg´es N (on ´elimine les particules les plus chaudes pour diminuer la temp´erature globale des atomes pi´eg´es), on a des variations qui vont en sens contraire pour le pa-ram`etre de d´eg´en´erescence. Il existe donc une condition `a remplir pour que le processus d’´evaporation soit efficace et que la perte en nombre d’atomes soit plus que compens´ee par l’abaissement de temp´erature. C’est cette condition que nous cherchons `a d´eterminer dans ce paragraphe.
La seule variable physique ajustable par l’exp´erimentateur, une fois le pi`ege magn´etique fix´e, est la hauteur de troncature en ´energie du pi`ege T que nous
´ecrirons aussi sous la forme T =ηkBT. Chaque particule qui s’´echappe du pi`ege emporte une ´energie au moins ´egale `a T que nous noterons de mˆeme sous la forme (η+κ)kBT avec κ > 0. On constate que plus l’´energie de troncature est choisie ´elev´ee, plus l’´energie emport´ee par une particule s’´echappant du pi`ege est grande et plus le processus semble ˆetre efficace. Cependant, consid´erons le cas id´eal suivant : on choisitT´egal `a l’´energie totale des atomes pi´eg´es, il suffit alors d’attendre qu’un atome acqui`ere spontan´ement cette ´energie et soit expuls´e du pi`ege pour arriver `a temp´erature nulle, mais ceci correspondrait `a un temps de l’ordre de 1010 fois l’ˆage de l’univers, ce qui est bien sup´erieur au 80 secondes de dur´ee de vie des atomes dans le pi`ege ! Cet exemple sert `a montrer de fa¸con flagrante qu’on a une contrainte suppl´ementaire pour le syst`eme li´ee `a la dur´ee de vie finie des atomes dans le pi`ege. Pour connaˆıtre quelle valeur donner `a l’´energie de troncature T, il faut donc ´etudier la dynamique de l’´evaporation.
4.2.1 Dynamique d’´ evaporation et ´ evaporation forc´ ee
Pour connaˆıtre le nombre d’atomes ´evapor´es par unit´e de temps, ˙Nev, il faut calculer le flux d’atomes atteignant une ´energie sup´erieure `aTsuite aux collisions
´elastiques entre atomes. Ce flux correspond `a : N˙evap =
Z ∞ T
ρ(E) ˙f(E)dE (4.14)
Il peut ˆetre obtenu `a l’aide de l’´equation cin´etique de Boltzmann qui d´ecrit la variation temporelle de la fonction de distribution dont l’´evolution est d´etermin´ee par le mouvement des particules et par les collisions ´elastiques binaires entre particules. On se place dans toute cette ´etude au-dessus du seuil de la transition de Bose-Einstein, le terme de champ moyen est donc n´egligeable devant le terme de pression cin´etique (deuxi`eme terme de l’´egalit´e centrale ci-dessous) et le terme de confinement (troisi`eme terme de l’´egalit´e centrale). L’´equation de Boltzmann s’´ecrit donc : p3 et p4 sont les impulsions de deux particules apr`es collision et p1 et p2 sont les impulsions avant collision. Les collisions consid´er´ees sont ´elastiques et on a donc p1+p2 =p3+p4. En multipliant chaque membre de l’´equation (4.16) par d3rd3p4/h3, on constate que le premier terme sous l’int´egrale de l’´equation (4.15) correspond au nombre de particules entrant dans le volume d3rd3p4 par unit´e de temps sous l’effet des collisions et le second terme au nombre de particules sortant du volume d3rd3p4 par unit´e de temps [76].
On suppose ici que f(r,v) ne d´epend que de l’´energie E = 2Mp2 +U(r) des particules et que le mouvement des particules est suffisamment ergodique pour que la probabilit´e de trouver la particule aux points (r,p) correspondant `a une
´energie E donn´ee soit uniforme. Dans ce cas, on peut montrer que, pour des collisions dans l’ondes(σ isotrope et ind´ependant de l’´energie), l’´equation (4.15) peut se r´e´ecrire sous la forme [76] : les ´energies de ces particules avant collision, min est la plus petite de ces quatre
´energies [Fig .4.5(a)]. En combinant les ´equations (4.17) et (4.14), on trouve que la variation d’atomes pi´eg´es due au processus d’´evaporation est :
N˙evap =− M
Energie
Fig. 4.5 – (a) Collisions ´elastiques entre deux particules d’´energies initiales 1 et 2 et finales 3 et4. (b) Le pi`ege magn´etique est tronqu´e `a une ´energie T et on a repr´esent´e le processus d’´evaporation associ´e aux collisions ´elastiques entre atomes. (c) Le pi`ege magn´etique est tronqu´e avec une ´energieTd´ecroissante dans le temps et on a repr´esent´e le processus d’´evaporation associ´e `a un d´eversement.
partition la fonction de Boltzmann tronqu´ee `a l’´energieT2 :
f(E) = z e−kB TE H(T−E) =n0λ3dBe−kB TE H(T−E) (4.19) o`uH est la fonction d’Heaviside, on obtient :
N˙evap≡ − N
n0T et VT repr´esentent respectivement la densit´e et le volume effectif associ´es
`
a la distribution tronqu´ee et Vevap le volume effectif associ´e aux collisions ´ elas-tiques qui entraˆınent une ´evaporation. Le taux d’´evaporation 1/τevap peut ˆetre facilement interpr´et´e `a partir de l’´equation (4.20) comme le produit du taux de collisions ´elastiques,n0Tσ¯v, par la probabilit´e qu’une collision ´elastique conduise
`
a un atome poss´edant une ´energie sup´erieure `a T,e−η vVev
e.
2Des calculs num´eriques ont d´emontr´e que la fonction de partition obtenue en r´esolvant l’´equation (4.17) avec la condition suivante : f(E) = 0 si E > T ´etait tr`es proche d’une distribution de Boltzmann tronqu´ee `a l’´energieT, voir [87].
Pour des valeurs de η ´elev´ees (η 1), on peut montrer que le rapport des volumes Vevap/VT varie lin´eairement en η [76] :
N˙evap ≡ − N τevap
2
πηexp(−η) (4.21)
La d´ecroissance exponentielle en η devient donc pr´edominante quand η croˆıt.
Dans ces conditions, pour une ´energie de troncature T donn´ee, le taux d’´ evapo-ration chute au cours de l’´evaporation (T diminue⇒ηaugmente) et le processus est de moins en moins efficace. Pour conserver l’efficacit´e de l’´evaporation, il faut donc diminuer progressivement la hauteur T de troncature du pi`ege durant le temps de l’´evaporation, autrement dit diminuer progressivement la fr´equence du signal radio-fr´equence rayonn´e sur les atomes. On est alors dans un r´egime qua-lifi´e d’´evaporation radio-fr´equence forc´ee. Une solution pour se trouver dans ce r´egime est de garder la valeur de η constante tout au long de l’´evaporation.
4.2.2 Condition sur l’´ energie de troncature
On cherche `a savoir `a quelle ´energie tronquer le pi`ege pour initier une ´ evapo-ration efficace sans se soucier pour le moment de maintenir cette efficacit´e.
Maintenant que nous connaissons le taux de particules ´evapor´ees en fonction de T, ´evaluons `a quelle baisse de temp´erature celui-ci correspond. Les dNevap particules ´echapp´ees du pi`ege emportent une ´energie ´egale `a (η +κ)kBT. La variation de l’´energie pour les N −dNevap particules restantes vaut donc :
dE =−dNevap[(η+κ)kBT −(3/2 +δ)kBT] (4.22) o`u (3/2 +δ)kBT est l’´energie moyenne par particule. La conservation de l’´energie pour ces particules restantes impose apr`es rethermalisation :
(N −dNevap)(3/2 +δ)kBT −dE = (N −dNevap)(3/2 +δ)kB(T +dT)
⇒ dT
T =αdNevap
N avec α= η+κ
3/2 +δ −1 (4.23) Des ´equations (4.20) et (4.23), on en d´eduit la variation temporelle relative du param`etre de d´eg´en´erescence :
D˙ D =
N˙
N −(δ+ 3/2) T˙ T
= − 1
τevap − 1
τ + (δ+ 3/2) α
τevap (4.24)
o`uτ est la dur´ee de vie du pi`ege.αetτevap ont ´et´e d´efinis respectivement dans les
´equations (4.23) et (4.20). La condition pour que le param`etre de d´eg´en´erescence augmente au cours de l’´evaporation est donc la suivante :
D˙ e-g´es (voir chapitre 3) impose une certaine gamme de valeurs deη pour permettre au processus d’´evaporation d’ˆetre efficace.
Pour un pi`ege harmonique les valeurs que peut prendre η au cours de l’´ eva-poration en fonction deγ0τ sont repr´esent´ees sur la figure (4.6). Pour des valeurs typiques de dur´ee de vie (τ de l’ordre de la minute) et de taux de collisions (γ0 de l’ordre d’une dizaine de collisions par seconde), si η est inf´erieur `a ∼ 3 ou sup´erieur `a ∼ 10, le processus d’´evaporation sera entrav´e. En effet, si η est pris trop faible, la temp´erature diminue fortement mais au d´etriment d’un trop grand nombre de particules ´echapp´ees du pi`ege et siη est pris trop fort, le taux d’atomes ´evapor´es n’est pas suffisant pour contrer le taux d’atomes perdus par le pi`ege.
4.2.3 R´ egime d’emballement
Comme vu ci-dessus, deux grandeurs interviennent dans la dynamique d’´ eva-poration : η et γ0 = n0σv¯ le taux de collisions ´elastiques au centre du pi`ege. A
´energie de troncature donn´ee, on a vu que η augmentait au cours de l’´ evapora-tion puisque la temp´erature des atomes pi´eg´es diminuait. Le sens de variation des collisions ´elastiques, quant `a lui, n’est pas imm´ediat : on peut en effet trouver un r´egime o`u la diminution de la vitesse moyenne ¯v r´esultant de la diminution de temp´erature est contrebalanc´ee par l’augmentation locale de la densit´e. Le taux de collisions augmente alors et l’´evaporation se produit de plus en plus vite.
Ceci est possible parce que nous utilisons des pi`eges inhomog`enes : le nuage en se refroidissant se concentre au fond du pi`ege et ceci peut accroˆıtre la densit´e malgr´e la diminution du nombre d’atomes qui accompagne ce refroidissement.
Ce r´egime est appel´e r´egime d’emballement (Fig. 4.6). Pour trouver sous quelle condition ce r´egime est atteint, ´ecrivons la variation temporelle relative du taux de collisions : Le taux de collisions augmentera donc durant l’´evaporation si :
dγ/dt
Dans le cas d’un pi`ege harmonique, la condition minimale exig´ee pour le taux de collisions ´elastique pour atteindre le r´egime d’emballement est : γ0τinel>310 (ceci est d´etermin´e en prenant κ= 1, voir Eq. 4.23). On retrouve ici la condition
´enonc´ee au chapitre 3 qui avait motiv´e la phase de compression du pi`ege magn´ e-tique (voir section 3.5).
η γ0τ
2 4 6 8 10 12
100 200 300 400 500 600 700
Evaporation non efficace Evaporation
efficace Régime
d'embal-lement
Fig. 4.6 – Les diff´erents r´egimes d’´evaporation suivant la hauteur de troncature en ´energie du pi`ege et le produit du taux de collisions ´elastiques par la dur´ee de vie du pi`ege.
Remarque :
Dans le cas d’un pi`ege semi-lin´eaire, la valeur minimale de η pour laquelle l’´evaporation est efficace est d´eplac´ee vers de plus grandes valeurs que dans le cas du pi`ege harmonique (η∼4) mais surtout, le r´egime d’emballement apparaˆıt pour des valeurs deγ0τ plus faibles, la borne inf´erieure vaut environ 200 au lieu de 310. En effet, `a taille de nuage identique, lorsque la temp´erature diminue, le pi`ege est plus comprim´e dans un pi`ege semi-lin´eaire que dans un pi`ege harmonique.