Caract´ eristiques du condensat et du nuage thermique

N

V soit N a

σ 1 (1.40)

o`uσ est l’extension du nuage atomique et V son volume, l’´energie d’interaction pr´edomine sur le terme d’´energie cin´etique et on peut simplifier l’´equation de Gross-Pitaevskii comme suit :

U(r) +g|φ(r)|² =µ (1.41)

Ainsi, dans ce que l’on appelle le r´egime de Thomas-Fermi, la fonction d’onde pour le condensat prend la forme suivante :

φTF(r) =

qµ−U(r)

g pour µ≥Vext(r) (1.42)

= 0 sinon

Dans nos exp´eriences, le crit`ere de l’´equation (1.40) est toujours v´erifi´e puisque la gamme en nombre d’atomes est comprise entre 10<sup>5</sup> et 10<sup>6</sup> et les tailles sont de l’ordre de quelquesµm, ce qui donne un rapport de l’ordre de 100. On peut donc se servir de la forme analytique de l’´equation (1.42) pour d´ecrire les propri´et´es du condensat. Ceci est valable tant qu’on ne s’int´eresse pas aux corr´elations `a courte port´ee entre particules car sinon, l’´equation de Gross-Pitaevskii sur laquelle re-pose l’approximation de Thomas-Fermi n’est plus appropri´ee : on ne peut plus traiter les interactions comme r´esultant de l’effet d’un champ moyen.

1.2.4 Caract´ eristiques du condensat et du nuage ther-mique

On entend par condensat la portion d’atomes se trouvant tous dans l’´etat fondamental du pi`ege et par nuage thermique les atomes restants.

1.2.4.1 Fraction condens´ee

La prise en compte des interactions modifie en fait tr`es peu le r´esultat obtenu dans l’´equation (1.14), r´esultat qui ´etait issu de la th´eorie d’un gaz parfait de bosons dans la limite thermodynamique. On pourra trouver ces corrections, de mˆeme que celles li´ees au nombre fini de particules, dans la r´ef´erence [47].

1.2.4.2 Taille

Nuage thermique

On a vu que la taille rms d’un nuage thermique au dessus de la transition

´etait donn´ee par (voir section 1.1.3) : σ_thi =

s k_BT

M ω²_i avec i=x, youz (1.43) Remarquons que cette relation peut ˆetre directement obtenue `a partir du principe d’´equipartition de l’´energie :

1

2M ω²_iσ_th²

i = 1

2k_BT (1.44)

Condensat

La taille de l’oscillateur harmonique pour un gaz parfait donne : σ_OHi =

r ~

M ω_i avec i=x, youz (1.45)

On a vu que les interactions se d´ecrivaient `a l’aide du seul param`etre a pour les faibles ´energies. Dans notre cas,aest positif, les interactions sont donc r´epulsives et vont avoir pour effet d’augmenter la taille du condensat (Fig. 1.3). Le rayon du condensat selon chaque direction est donn´e par Φ_TF(R_{T F}) = 0 (voir eq. 1.42) :

Fig.1.3 –Comparaison entre le profil de l’oscillateur harmonique|Φ_OH|² (courbe en trait pointill´e) et celui de Thomas-Fermi |Φ_TF|² (courbe en trait plein) dans le cas d’interactions r´epulsives. Ces deux profils ont ´et´e normalis´es `a l’unit´e.

Les pi`eges que nous utilisons sont anisotropes avec une sym´etrie de r´ evo-lution. On d´efinit le rapport d’aspect du pi`ege (rapport d’anisotropie) comme ω_radial/ω_axial. Notre pi`ege magn´etique a un rapport d’aspect de 40, notre pince optique de 160. Ce sont donc des pi`eges fortement anisotropes. On d´eduit de l’´equation (1.46) que le condensat pr´esente la mˆeme anisotropie que le pi`ege puisque :

R_TFaxial

R_TFradial = ω_radial

ω_axial (1.47)

Remarque :

Comparons les tailles du condensat et du nuage thermique au voisinage de la transition :

R_TF

σ_th ∼ µ

k_BT_c <1 (1.48)

On constate que le condensat et le nuage thermique forment une double struc-ture : le condensat plus petit et plus dense se trouve au centre du nuage ther-mique.

nuage thermique

condensat

Fig. 1.4 – Image d’un condensat en pr´esence d’un nuage thermique.

1.2.4.3 Energie et expansion

Nous verrons plus tard (chapitre 4, section 4.4) que les caract´eristiques du condensat et du nuage thermique sont extraites d’images des atomes apr`es un certain temps de vol (temps d’expansion du nuage apr`es la coupure du pi`ege).

Dans ce qui suit, nous comparons les ´energies respectives d’un nuage thermique et d’un condensat pi´eg´es et nous nous int´eressons donc aussi `a savoir quelle est l’´energie lib´er´ee lors de la coupure du pi`ege et comment se produit l’expansion des nuages atomiques.

Nuage thermique

Pour un nuage thermique, l’´energie d’interaction est n´egligeable devant l’´ ener-gie de pi´egeage et l’´energie cin´etique des atomes. Le principe d’´equipartition de l’´energie donne alors directement l’´energie par particule suivante (pour un pi`ege harmonique) :

E

N = 3k_BT (1.49)

La coupure du pi`ege se faisant brusquement, l’´energie de pi´egeage tombe `a z´ero et le nuage s’´etend `a cause de l’´energie cin´etique des atomes. On n´eglige les collisions durant l’expansion, celle-ci est alors purement balistique. On a :

σthi(t) = p l’expan-sion, purement r´egie par la temp´erature, se produit de fa¸con isotrope. On a alors σ_th(t)'p

k_BT /M t.

Condensat

Des ´equations (1.38), (1.42) et (1.46), on obtient dans l’approximation de Thomas-Fermi :

Pour un condensat dans l’approximation de Thomas-Fermi, l’´energie cin´etique est n´egligeable devant l’´energie d’interaction. A la coupure du pi`ege, l’´energie de pi´egeage est nulle et c’est l’´energie d’interaction qui provoque l’expansion du nuage. Plus le pi`ege est confinant, plus l’´energie d’interaction est importante et plus l’expansion est rapide. Pour un pi`ege `a sym´etrie cylindrique, comme c’est le cas dans nos exp´eriences, on peut montrer que l’expansion est une dilatation

anisotrope avec les param`etres d’´echelle λ_i suivants [48] : λ⊥ =

q

1 +ω_⊥²t² (1.54)

λ_z = 1 + ω_z

ω_⊥ 2

(ω⊥tarctan(ω⊥t))−ln(

q

1 +ω²_⊥t²) (1.55) o`uz indice la direction radiale et le symbole ⊥les deux directions radiales. Plus le condensat est anisotrope, moins sa taille axiale est modifi´ee durant l’expansion (λ_z ∼ 1), la quasi-totalit´e de l’´energie d’interaction est alors transmise dans les deux directions radiales, directions les plus confinantes.