Nous avons pu constater au paragraphe précédent que le « bruitage » des conditions aux limites expérimentales appliquées aux simulations numériques, reproduisant l’imprécision expérimentale, influence peu la valeur de la fonction coût déterminée à l’issue du calcul sous réserve de déterminer cette dernière non plus sur le maillage complet mais sur une sous-partie explicitée précédemment. Un nouveau point auquel nous allons nous intéresser à présent porte sur l’influence de la troisième dimension sur la valeur de la fonction coût. En effet, les résultats expérimentaux sont des résultats issus d’analyses d’une surface qui servent ensuite de maillage 3D pour les simulations numériques. Au cours du processus d’identification, le maillage utilisé est un maillage très fin ; sa dimension dans la troisième direction correspond à la taille d’un pixel dans l’imagerie MEB soit environ 130nm. Deux nœuds du maillage correspondent à deux croisements d’une microgrille dans l’image MEB : ils sont donc espacés de 15±1 pixels.
Afin d’estimer l’influence de la troisième dimension du maillage sur les résultats issus des simulations numériques, les résultats de 3 simulations numériques utilisant des maillages différents ont été comparés aux résultats issus d’une simulation numérique nommée simulation numérique de référence. La surface maillée pour cette étude de l’influence de la troisième dimension est plus petite que celle utilisée au paragraphe précédent (cf. : figure 4.24) :
- Mail1 : le maillage est extrudé dans la direction normale à la surface d’une épaisseur e de 15 pixels (nous obtenons alors des éléments quasiment cubiques), 10176 ddl : e=2µm.
- Mail2 : trois couches identiques à Mail1 sont ajoutées dans la direction normale à la surface ; nous obtenons alors un maillage d’une épaisseur de 60 pixels ayant un nombre de points d’intégrations quadruplé, 25215ddl : e=8µm.
- Mail3 : trois couches identiques au maillage de référence sont ajoutées dans la direction normale à la surface ; nous obtenons alors un maillage d’une épaisseur de 4 pixels ayant un nombre de points d’intégrations quadruplé, 25215ddl : e=0,5µm.
Figure 4. 24 : Surface utilisée pour l’étude de l’influence de l’épaisseur du maillage (40x40 éléments ce qui correspond à 80x80µm2)
Les paramètres utilisés au cours des différents calculs sont identiques et correspondent à ceux utilisés au paragraphe précédent (cf. : tableaux 4.2 et 4.11). Les CL utilisées sont les CL expérimentales qui ont été appliquées sur les nœuds du contour en conservant des CL identiques suivant la direction normale à la surface. Les surfaces supérieures (visualisées sur la figure 4.24) et inférieures sont des surfaces libres. Les comparaisons entre les résultats des différentes simulations sont réalisées de la façon suivante :
- à l’échelle macroscopique, les contraintes et déformations sont moyennées sur l’ensemble du maillage
- à l’échelle locale, les contraintes et déformations sont comparées aux nœuds du maillage de la surface (z=0).
Figure 4. 25 : Courbes de traction issues des différentes simulations numériques et de l’expérience
Nous pouvons constater sur les courbes macroscopiques (cf. : figure 4.25) de faibles écarts entre les résultats issus des différentes simulations. Ces écarts se retrouvent dans le calcul de l’erreur macroscopique (cf. : tableau 4.16) et atteignent au maximum une valeur de 4% (valeur obtenue pour le maillage Mail2) ce qui est négligeable vis-à-vis de la variation obtenue au cours de l’identification. Nous remarquons que l’utilisation de couches de maillage supplémentaires d’épaisseur très fine (1 pixel) n’a pas d’influence sur l’erreur macroscopique. L’augmentation forte (plus d’un ordre de grandeur) de la profondeur du
maillage n’entraîne pas de variation significative de cette erreur. La plus forte variation est obtenue pour le maillage Mail2 qui combine augmentation du nombre d’éléments suivant la normale à la surface et augmentation de la taille de l’élément suivant la même direction.
Simulation
numérique Référence Mail1 Mail2 Mail3 SM/S 0,1042 0,1038 0,1001 0,1042
Tableau 4. 16 : Influence du maillage sur la valeur de l’erreur macroscopique
Nous avons tracé les histogrammes des écarts entre les contraintes axiales et transversales obtenues pour les maillages testés vis-à-vis du maillage de référence (cf. : figure 4.26). Nous constatons qu’ils sont centrés sur zéro et que l’écart le plus prononcé est obtenu pour le maillage Mail2.
Figure 4. 26 : Distributions des écarts en surface entre les contraintes issues de la simulation numérique de référence et celles issues des simulations réalisées sur les maillages Mail1,
Mail2 et Mail3
Les cartographies d’écarts présentées sur la figure 4.27 montrent qu’ils sont particulièrement prononcés aux bords du maillage et proches de zéro au centre. Ainsi, afin de s’affranchir des effets de maillage, même s’ils sont très faibles, une possibilité pourrait consister à supprimer, au cours de l’identification, les résultats issus des premières couches d’éléments de frontière, comme ce qui est déjà envisagé à la suite de l’étude précédente sur l’effet des conditions aux limites.
Mail1 Mail2 Mail3
Figure 4. 27 : Cartographies des écarts entre les contraintes axiales issues de la simulation de référence et celles issues des différentes simulations testées
(Pa) (Pa)
300MPa
Les distributions des écarts sur les déformations vis-à-vis des résultats expérimentaux obtenus pour les différentes simulations ont la même allure générale quelle que soit la simulation considérée (cf. : figure 4.28). Néanmoins, les valeurs d’erreur locale obtenues pour les différents maillages testés sont toujours supérieures à celles obtenues sur le maillage de référence (cf. : tableau 4.17). De plus, nous constatons que, si le maillage Mail2 permet d’obtenir une erreur macroscopique SM/S inférieure à celle obtenue sur le maillage de référence, l’erreur locale est quant à elle augmentée de 4%, ce qui est très important vis-à-vis de la variation obtenue au cours de l’identification et ce d’autant plus que le poids alloué à l’erreur locale est relativement plus grand.
Figure 4. 28 : Distributions des écarts de déformations vis-à-vis de l’expérience pour les différentes simulations numériques
Simulation
numérique Référence Mail1 Mail2 Mail3 eL/e 0,4430 0,4467 0,4623 0,4432
Tableau 4. 17 : Influence du maillage sur la valeur de l’erreur locale
Enfin, ces résultats se retrouvent lorsque l’on examine l’influence du choix du maillage sur la valeur de la fonction coût (cf. : tableau 4.18). La valeur minimale est obtenue pour la simulation réalisée sur le maillage de référence.
Simulation
numérique Référence Mail1 Mail2 Mail3 E 0,7166 0,7219 0,7435 0,7169
Tableau 4. 18 : Influence du maillage sur la valeur de la fonction coût
Nous pouvons donc conclure que l’utilisation d’un maillage très fin (épaisseur égale au quinzième de la largeur), dans les conditions pour lesquelles les simulations numériques sont réalisées dans cette étude (CL expérimentales, trajet de chargement non linéaire non proportionnel), permet une meilleure description du comportement du matériau que l’utilisation d’un maillage extrudé sur une épaisseur relativement importante de 8µm.
Néanmoins, nous avons pu constater au cours de l’identification des paramètres de la loi de comportement que les simulations numériques qui ont été proposées ne permettent pas de retrouver toutes les zones déformées. Se pose alors la question suivante : les conditions aux limites expérimentales semblent permettre d’intégrer dans la simulation numérique des données concernant l’influence de la microstructure granulaire de surface voisine de la zone
d’étude sur celle-ci ; toutefois, quelle est l’influence de la microstructure située sous la surface sur les réponses mécaniques observées en surface et cette influence est–elle intégrée dans l’utilisation de conditions aux limites expérimentales ? De premiers éléments de réponses ont déjà été proposés et nous nous proposons de discuter plus complètement de cette question dans le paragraphe suivant.