1.5 Conclusion
2.1.1 Un effet de la statistique quantique
Le ph´enom`ene de condensation est une cons´equence directe de la statistique quantique des bosons. Celle-ci ne s’´ecarte significativement de la statistique clas- sique de Boltzmann qu’`a tr`es basse temp´erature.
Un premier crit`ere pour savoir si la statistique classique est capable de d´ecrire correctement le gaz est de v´erifier que chaque particule peut bien ˆetre consid´e-
r´ee comme ponctuelle et ind´ependante des autres. Il s’agit donc de comparer la distance moyenne entre particule `a la “taille quantique” d’une particule, c’est-`a- dire sa longueur d’onde de de Broglie. Quand celle-ci n’est plus n´egligeable, les effets quantiques commencent `a se faire sentir. Ainsi, en notant n la densit´e du gaz, nous pouvons d’ores et d´ej`a ´etablir un premier crit`ere d’apparition des effets quantiques sur la statistique du gaz :
nΛ3T ' 1. (2.1)
La mise en ´equation plus rigoureuse de la transition de Bose-Einstein se trouve dans les livres de physique statistique, dans le cas d’un gaz dans une boˆıte prin- cipalement, par exemple dans [141]. Le cas d’un gaz pi´eg´e est trait´e en d´etail dans [142]. Nous ne donnons que l’essentiel ici.
Consid´erons un gaz parfait (sans interaction) de N atomes `a temp´erature T
dans un pi`ege harmonique tridimensionnel. Nous verrons dans la suite que ceci
constitue une bonne repr´esentation des pi`eges que nous utilisons. Le potentiel de pi´egeage s’´ecrit, `a une constante pr`es,
U = 1 2m (ω 2 xx 2+ ω2 yy 2+ ω2 zz 2). (2.2)
Nous prenons l’´energie du niveau fondamental comme ´etant le z´ero d’´energie. Dans ce cas, la distribution de Bose s’´ecrit de la fa¸con suivante :
f (Ei) = 1 e(Ei−µ)/kBT − 1 avec N = X i f (Ei) , (2.3)
o`u f (Ei) est le nombre moyen d’occupation de l’´etat quantique i d’´energie Ei et µ
le potentiel chimique. Afin que f (Ei) soit toujours positif, le potentiel chimique1
doit ˆetre inf´erieur `a Ei et ce pour tout i. Par cons´equent, celui-ci est toujours
n´egatif. De plus, lorsque T tend vers 0, µ tend n´ecessairement vers 0 sans quoi aucun ´etat ne serait peupl´e. Notons z = eµ/kBT la fugacit´e du syst`eme, alors comprise entre 0 et 1.
On suppose T Ei+1− Ei. Alors, le taux d’occupation varie peu d’un niveau
`
a l’autre et on peut ´ecrire la somme de l’´equation (2.3) sous forme continue : N =
Z ∞
0
f (E) ρ(E) dE , (2.4)
1Par d´efinition, µ = −T (∂S/∂N )
2.1 Condensation de Bose-Einstein 33
o`u ρ(E) est la densit´e d’´etat. Dans un pi`ege harmonique, elle vaut :
ρ(E) = E
2
2(~¯ω)3 avec ω = (ω¯ xωyωz)
1/3. (2.5)
Le calcul de l’int´egrale (2.4) donne alors le r´esultat suivant : N = kBT ~¯ω 3 g3(z) avec gα(z) = ∞ X l=1 zl lα. (2.6) Or la fonction2 g
3 est born´ee sur l’intervalle [0, 1], et il semblerait donc que le
nombre d’atomes le soit aussi ! La valeur maximale est atteinte pour z → 1, c’est- `
a-dire quand µ → 0. `A cette limite, le taux d’occupation du niveau fondamental (´equation (2.3) avec Ei = 0 et µ → 0) tend vers l’infini. Or en ´ecrivant (2.4),
on a pond´er´e chaque niveau par ρ(E), qui est nul en E = 0. On a donc n´eglig´e l’´etat fondamental, qui pourtant joue un rˆole pr´epond´erant. Ainsi, on doit cal- culer s´epar´ement la contribution de l’´etat fondamental N0, le passage `a la limite
continue ne pouvant ˆetre valable que pour les ´etats excit´es Ne. L’´equation (2.6)
se r´e´ecrit alors en utilisant (2.3) pour N0 :
N = N0 + Ne = z 1 − z + kBT ~¯ω 3 g3(z). (2.7) Au del`a de Nemax = g3(1) kBT ~¯ω 3 ' 1.202 kBT ~¯ω 3 , (2.8)
tout atome suppl´ementaire devra se trouver dans l’´etat fondamental, dont la
population peut alors devenir macroscopique : c’est la condensation de Bose- Einstein. Ce ph´enom`ene de saturation des ´etats excit´es apparaˆıt ´egalement si on baisse la temp´erature `a nombre d’atomes constant. La relation (2.8) donne alors la temp´erature critique3
Tc = 0.94~¯
ω kB
N1/3 (2.9)
en-dessous de laquelle on observe la condensation.
Remarquons que, si N est grand, cette temp´erature est bien telle que kBT
~¯ω, ce qui justifie a posteriori le passage `a la limite continue pour calculer la
2Les fonctions g
α sont les fonctions polylogarithmes [143]. Un cas particulier est gα(1) =
ζ(α), o`u ζ est la fonction de Riemann.
3L’expression donn´ee n’est rigoureusement valable qu’`a la limite thermodynamique. Le
nombre fini de particules entraˆıne une correction sur Tc, de l’ordre du pourcent pour N ∼ 5×106
population des ´etats excit´es, et insiste sur le fait que la condensation n’est en aucun cas un ph´enom`ene purement thermique, mais est bien dˆu aux propri´et´es quantiques des bosons.
Des ´equations (2.7) et (2.9) on peut ´egalement d´eduire la proportion d’atomes dans l’´etat fondamental, ou fraction condens´ee, en fonction de la temp´erature :
N0 N = 1 − T Tc 3 . (2.10)
Un condensat est donc “pur” `a T = 0. Lien avec le crit`ere intuitif
Cherchons maintenant `a ´ecrire la distribution spatiale du gaz de Bose pi´eg´e pour T ≥ Tc. Il faut pour cela r´e´ecrire l’int´egrale (2.4) mais en fonction de la
position r et de l’impulsion p, avec E(r, p) = p2/2m + U (r). L’int´egration sur p donne alors la distribution spatiale
n(r) = 1
Λ3 T
g3/2 z e−U (r)/kBT . (2.11)
Au seuil de la condensation, z ' 1 et on peut ´ecrire
n(0)Λ3T = g3/2(1) ' 2.612 . (2.12)
Nous noterons D = n(0)Λ3
T et l’appellerons “densit´e dans l’espace des phases”
ou “param`etre de d´eg´en´erescence”. C’est le taux d’occupation d’une cellule de l’espace des phases, de volume h3, dont l’interpr´etation physique est celle donn´ee au premier paragraphe de cette partie : lorsque D ∼ 1, les fonctions d’onde ato- miques commencent `a se recouvrir. C’est donc bien le param`etre pertinent pour situer la transition.
Remarques :
– Si nous avions trait´e la condensation de Bose-Einstein dans une boˆıte, nous aurions abouti au mˆeme crit`ere, avec la densit´e au centre n(0) chang´ee en densit´e moyenne, celle-ci ´etant de toute fa¸con uniforme en l’absence de potentiel.
– Lorsque x → 0, gα(x) ∼ x. Pour un gaz classique, z → 0, et l’expression
(2.11) redonne bien une distribution de Boltzmann. De plus, le param`etre de d´eg´en´erescence se confond alors avec la fugacit´e z. Dans le cas d’un pi`ege harmonique, il est ais´e de donner son expression,
DT Tc = N ~¯ω kBT 3 , (2.13)
2.1 Condensation de Bose-Einstein 35
particuli`erement transparente : pour chaque dimension, les atomes se r´e- partissent sur un nombre d’´etats de l’ordre de kBT /~ω.