1.5 Conclusion
2.1.2 Description du condensat
2.1.2.1 Effet des interactions
Afin de d´ecrire correctement les condensats [144] que nous obtenons exp´e- rimentalement, il est n´ecessaire de prendre en compte l’effet des interactions4.
Celles-ci sont dues aux collisions entre atomes.
Le traitement des collisions et leur influence sur la description statistique d’un gaz est en g´en´eral un probl`eme compliqu´e. Heureusement, travailler avec des atomes ultra-froids permet de simplifier consid´erablement le probl`eme [146, 147]. Les atomes ayant une ´energie cin´etique faible, nous ne consid´erons que les collisions de plus basse ´energie (dites dans l’onde s). Nous prenons de plus pour l’amplitude de diffusion f (k) la limite lorsque k → 0 (k est le vecteur d’onde atomique relatif entre 2 atomes). On a alors
f (k → 0) ≈ −a , (2.14)
o`u a est la longueur de diffusion. Ainsi, cette grandeur est suffisante pour carac- t´eriser la collision. Pour le87Rb, a = 5.3 nm. Le signe positif de a signifie que les
interactions sont r´epulsives.
De plus, nous travaillons avec des gaz suffisamment dilu´es (na3 1) pour
faire une approximation suppl´ementaire, de type champ moyen, consistant `a d´e- crire l’effet des interactions s’exer¸cant sur un atome par un potentiel dˆu aux N − 1 ≈ N autres atomes. Ce potentiel s’´ecrit alors5 :
Uint(r) = gcolln(r) , (2.15)
o`u gcoll= 4π~2a/m est la constante de couplage due aux collisions.
2.1.2.2 Equation de Gross-Pitaevskii´
Prenons un condensat pur, `a T = 0, contenant N atomes. On consid`ere alors que les atomes ont tous la mˆeme fonction d’onde φ et que l’´etat |ψi repr´esen-
tant le condensat s’´ecrit comme le produit des fonctions d’onde individuelles
4Outre la description du condensat, les interactions changent ´egalement la valeur de T c, en
la rabaissant de quelques pourcents (8 % avec nos param`etres) [144, 145].
5L’expression donn´ee n’est valable que dans le cas d’interactions entre atomes condens´es
ou ayant des degr´es de libert´e internes diff´erents. Le terme d’interaction est multipli´e par un facteur 2 dans le cas d’atomes indiscernables non condens´es [97].
(approximation de Hartree-Fock [144, 147]). Il s’´ecrit donc :
|ψi =√N |φ(0)i |φ(1)i ... |φ(N )i , (2.16)
o`u chaque |φ(i)i est la fonction d’onde `a une particule, normalis´ee `a 1 (|ψi est donc normalis´ee `a N ). Cela revient `a consid´erer le champ atomique comme clas- sique. On a alors l’´evolution temporelle
ψ(r, t) = φ0(r) e−iµt/~, (2.17)
et φ0v´erifie l’´equation de Schr¨odinger non-lin´eaire, ou ´equation de Gross-Pitaevskii,
− ~ 2 2m∆ + U + gcoll|φ0| 2 φ0 = µ φ0, (2.18)
avec |φ0(r)|2 = n(r) et µ le potentiel chimique du condensat. Contrairement au
cas du gaz parfait, celui-ci est non nul et positif. C’est l’augmentation d’´energie du syst`eme due `a l’ajout d’une particule,
µ = ∂E
∂N . (2.19)
`
A l’inverse, il s’agit de l’´energie qu’il faut fournir au syst`eme pour extraire un atome du condensat. Pour ces raisons, on qualifie souvent le potentiel chimique d’´energie du condensat. Pour autant, ce n’est pas l’´energie par particule car `a cause des interactions r´epulsives, le potentiel chimique est sup´erieur `a l’´energie moyenne. En effet, lorsqu’on ajoute une particule, on apporte non seulement l’´energie correspondante, mais en plus l’´energie d’interaction de toutes les autres particules est augment´ee. Plus pr´ecis´ement, comme l’´energie d’interaction par particule est proportionnelle au nombre total d’atomes, on a [144], avec des no- tations ´evidentes,
µ = Ecin+ Epot+ 2Eint
N . (2.20)
2.1.2.3 Approximation de Thomas-Fermi
Lorsqu’on travaille avec un nombre d’atomes important, l’´energie d’interac- tion peut ˆetre tr`es sup´erieure `a l’´energie cin´etique. On peut alors n´egliger la contribution de cette derni`ere dans l’´equation de Gross-Pitaevskii (2.18) [148]. Celle-ci devient alors alg´ebrique :
U (r) + gcoll|φ(r)|2 = µ . (2.21)
Ainsi, dans ce que l’on appelle le r´egime de Thomas-Fermi, la fonction d’onde pour le condensat prend la forme
|φ0(r)| = s µ − U (r) gcoll pour U (r) ≤ µ , = 0 sinon. (2.22)
2.1 Condensation de Bose-Einstein 37
Dans le cas d’un pi`ege harmonique (Eq. 2.2), le profil de densit´e a la forme d’une parabole invers´ee [Fig. 2.1] :
n(r) = n0 max " 1 − x Rx 2 − y Ry 2 − z Rz 2 , 0 # , (2.23)
o`u les rayons de Thomas-Fermi sont donn´es par
Ri = s 2µ mω2 i , i = x, y, z. (2.24)
Le potentiel chimique se calcule en normalisant la fonction d’onde `a N :
µ = ~¯ω 2 15aN ¯ σ 2/5 , (2.25)
o`u ¯σ = p~/m¯ω est la taille du mode fondamental de l’oscillateur harmonique associ´ee `a ¯ω. La densit´e au centre vaut
n0 = µ gcoll = 15N 8πRxRyRz . (2.26)
La condition de validit´e du r´egime de Thomas-Fermi s’´ecrit N a σi ou
encore µ ~ωi. Ceci est largement v´erifi´e quelque soit la direction pour les
nombres d’atomes avec lesquels on travaille, et nous utiliserons l’approximation de Thomas-Fermi dans toute la suite du manuscrit6.
Remarquons que ces conditions de validit´e impliquent ´egalement que l’on a Ri σi : outre une modification de la forme de la fonction d’onde de l’´etat
fondamental (parabolique au lieu de gaussienne), sa taille caract´eristique est ´egalement substantiellement modifi´ee. Les interactions r´epulsives font augmenter la taille du condensat et diminuer sa densit´e, comme on peut le voir en figure 2.1.
Enfin, il est `a noter que l’approximation de Thomas-Fermi n’est plus valable sur les bords du condensat, puisque la densit´e tend vers 0. La fonction d’onde comporte en r´ealit´e de petites ailes, au niveau desquelles la densit´e d´ecroˆıt expo- nentiellement sur une taille caract´eristique [149]
di = σi
σi
2Ri
1/3
< σi Ri. (2.27)
6Avec des configurations de pi´egeage tr`es anisotropes, il se peut que le r´egime de Thomas-
4 3 2 1 0 1 2 3 4
y, z (µm) |f0|2
(u.a.)
Fig. 2.1 – Densit´e |φ0|2 dans le r´egime de Thomas-Fermi (trait continu), pour
l’une des directions y ou z (les fr´equences de pi´egeage sont les mˆemes dans ces directions, voir §2.5.2). Nous avons repr´esent´e en tiret´e une gaussienne correspon-
dant au mode fondamental sans interaction. Les deux courbes ont la mˆeme norme
`
a une dimension. En r´ealit´e, `a trois dimensions, le rapport entre la densit´e pic
dans le mode fondamental sans interaction et dans le r´egime de Thomas-Fermi
est encore beaucoup plus grand que sur la figure.