Reptation

On supprime le premier monom`ere d’une chaˆıne puis on le reconstruit au bout de la chaˆıne 11.3.2 Mouvements de pivot

1. On choisit, au hasard un monom`ere P de la chaˆıne

2. On choisit suivant une r´epartition uniforme un vecteur unitaire ˆudans un angle solide centr´e autour du segment defini par le monom`ere P et le suivant (P + 1)

3. On choisit un angle φsuivant une loi uniforme sur le segment [0,2π]

4. On effectue une rotation en bloc d’un angle φ autour de ˆu de la partie du polym`ere comprise entre le monom`ere (P + 1) et le dernier monom`ere.

11.4 “Reconstruction biais´ ee”

La m´ethode du “pivot” que nous avons d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent est efficace pour un ensemble de polym`eres “dilu´es i.e. pas trop proches les uns des autres. Pour un syst`eme

Fig. 11.3 – Mouvement de Pivot

dense, lorsqu’on tente de bouger un grand nombre de monom`eres par la m´ethode du pivot, par exemple, on a de grandes chances que dans la nouvelle configuration d’essai certains

“coeurs durs” se recouvrent, auquel cas le mouvement est rejet´e.

En 1954, les ´epoux Rosenbluth[14] ont propos´e une technique astucieuse consistant `a supprimer une chaˆıne de polym`res pour la reconstruire monom`ere par monom`ere `a un autre endroit en utilisant un “biais” pour ´eviter le recouvrement de couers durs. Cette m´ethode a ´et´e perfection´ee[15] et est maintenant couramment utilis´ee sous le nom anglais de “configurational-bias Monte-Carlo algorithm”

1. Dans la configuration initiale x, on choisit une chaˆıne Γ^a comprenant N monom`eres Γ^a_i

2. On supprime cette chaˆıne pour la reconstruire ailleurs, pas `a pas de la mani`ere suiv-ante :

– On choisit le premier monom`ere Γ<sup>b</sup><sub>1</sub> de mani`ere uniforme.

– On suppose ici, pour simplifier que les segments joignant deux monom`eres ne peu-vent prendre que k orientations discr`etes, ce qui est le cas si on travaille sur un espace discr´etis´e, mais la m´ethode s´etend facilement au cas continu[15].

On choisit pour le second monom`ere Γ^b₂de la cha ˆıne une deskorientations possibles avec la probabilit´e :

u^b_2,j repr´esentant l’energie d’interaction du monom`ere Γ<sup>b</sup><sub>2</sub> avec toutes les autres particules du syst`eme.

– On construit le second monom`ere de la mˆeme mani`ere, etc.. jusqu’au N^iememonom`ere.

– A la fin du processus de construction, la conformation finale Γ^b du polym`ere a ´et´e g´en´er´ee avec une probabilit´e :

P_gen^b = Π^N_i=2exp(−u^b_i/kT)

“nouvelle chaˆıne”, dans sa nouvelle conformation Γ^b `a l’energie totale du syst`eme.

Et on peut `crire :

P_gen^b = exp(−U^b/kT) W^b W^b est appel`e le “facteur de Rosenbluth”

11.4 “Reconstruction biais´ee” 83 – Pour satisfaire la condition de microreversibilit´e, il faut calculer le facteur de

Rosen-bluth :

W^a= exp(−u^a₁/kT)Π^N_i=2Z_i^a de la chaˆıne dans sa conformation initiale Γ^a et on a :

P_gen^a = exp(−U^a/kT) W^a

U^a repr´esentant la contribution de la chaˆıne dans son ancienne conformation Γ^a `a l’energie totale du syst`eme.

3. On accepte la nouvelle conformation Γ^b avec la probabilit´e : M in

1,exp[−(U^b−U^a)/kT]P_gen^a P_gen^b

=M in[1, W^b/W^a]

12 Monte-Carlo quantique

12.1 Monte-Carlo Variationnel

Pour calculer l’energie fondamentale E₀ (`a temp´erature nulle) d’un syst`eme quantique d´ecrit par un Hamiltonien H, on utilise couramment l’approximation variationnelle. Cette approximation consiste `a :

– Partir d’une fonction d’onde |ψ_{λ,µ,···,ν}i cens´ee repr´esenter un bonne approximation de l’´etat fondamental du syst`eme (on n’exigera pas forc´ement que la norme de cette fonction soit 1), et d´ependant d’un certain nombre de param`tres ajustablesλ, µ,· · · , ν

– Calculer :

E= hψ_{λ,µ,···,ν}|H|ψ_{λ,µ,···,ν}i hψ_{λ,µ,···,ν}|ψ_{λ,µ,···,ν}i

On montre (th´eor`eme de Rietz ou principe variationnel) l’in´egalit´e E₀ < E

– Le principe variationnel nous dit que la meilleure fonction d’essai est celle qui minimise l’energieE. On ajustera donc les param`etresλ, µ,· · · , ν pour obtenir l’´energie minimale.

Que l’on parte d’une repr´esentation de |ψ_{λ,µ,···,ν}i dans l’espace r´eel `a 3N dimensions, N repr´esentant le nombre de particules, ou d’une repr´esentation dans l’espace r´eciproque (vecteurs d’ondes K), chacune des quantit´es D

ψ^∗_{λ,µ,···,ν}|H|ψ_{λ,µ,···,ν}E et D

ψ^∗_{λ,µ,···,ν}|ψ_{λ,µ,···,ν}E repr´esente une int´egrale multidimensionnelle. Dans l’espace r´eel :

E =

R ψ_λ,µ,^∗ _···,ν(r₁, r₂, ..., r_N)Hψ_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)dr₁dr₂...dr_N R ψ^∗_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)ψ_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)dr₁dr₂...dr_N

D’ou l’id´ee de calculer directement ce rapport de deux int´egrales par la m´ethode de Monte-Carlo.

Il est alors naturel de choisir pour densit´e de probabilit´e :

p(r₁, r₂, ..., r_N) = ψ^∗_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)ψ_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)dr₁dr₂...dr_N R ψ^∗_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)ψ_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)dr₁dr₂...dr_N

On ´echantillonne cette densit´e de probabilit´e par la m´ethode de Metropolis, par exemple.

Une estimation de E est donn´ee par l’esp´erance de :

ψ_λ,µ,^∗ _···,ν(r1, r2, ..., rN)Hψ_{λ,µ,···,ν}(r1, r2, ..., rN) ψ^∗_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)ψ_{λ,µ,···,ν}(r₁, r₂, ..., r_N)

12.2 “Diffusion Monte-Carlo”

Nous allons d´ecrire un algorithme qui permet de trouver, sans approximation, l’´energie et l’´etat fondamental de l’´equation de Schr¨odinger :

H|Ψ>=E|Ψ>

Par souci de simplicit´e, nous consid´erons une particule de massem, soumise `a un potentiel V(x), se d´epla¸cant sur un axe x. La m´ethode est bien-sˆur g´en´eralisable `a un syst`eme `a plusieurs dimensions.

L’Hamiltonien s’´ecrit donc simplement : H =−~²

2m

∂²

∂x² +V(x)

et l’´evolution de la fonction d’onde Ψ(x, t) en fonction du temps est gouvern´ee par l’´equation de Schr¨odinger :

i~∂|ψ >

∂t =H|ψ >

12.2.1 Op´erateur d’Evolution

Soit {|φ_n>} une base orthonorm´ee de fonctions propres associ´ees aux energiesE_n, c’est `a dire :

Alors on peut ´ecrire en d´eveloppant la fonction d’onde|Ψ(x,0)>, au tempst= 0 sur cette base :

12.2 “Diffusion Monte-Carlo” 87 L’´evolution de la fonction d’onde Ψ(x, t) en fonction du temps est r´egie par l’´equation :

i~∂Ψ(x, t) En d´eveloppant Ψ(x, t) sur la base de fonction propres, on a :

Ψ(x, t) = X∞

n=0

cn(t)φn(x)

On d´eduit des deux ´equations pr´ec´edentes : i~dcn(t)

En combinant cette ´equation avec la relation 12.1 on obtient, apr`es permutation des signes somme et int´egrale :

On obtient donc|Ψ(x, t)>sous forme d’une ´equation int´egrale :

|Ψ(x, t)>=

appel´eop´erateur d’´evolutionrepr´esente la probabilit´e pour une particule se trouvant enx₀

`a l’instant t= 0 de passer en x`a l’instant t.

On peut ´ecrire formellement :

K(x, t|x₀,0) = X∞

n=0

φ_n(x)e^−i~tHφ^∗_n(x₀)

12.2.2 R´esolution de l’´equation int´egrale

Pour r´esoudre l’´equation int´egrale par Monte-Carlo, on a besoin de fonctions r´eelles posi-tives, et on va se d´ebarrasser du facteur imaginaire par le changement de variable :

τ =it

D’autre part on va effectuer une translation arbitraire de l’origine des ´energies : E_n→E_n−E_R

V(x)→V(x)−E_R L’´equation de Schr¨odinger devient :

~∂Ψ(x, τ)

∂τ = ~² 2m

∂²Ψ(x, τ)

∂x² −[V(x)−E_R]Ψ(x, τ)

Le premier terme du second membre correspond `a une ´equation de diffusion o`u Ψ repr´esente la densit´e de particules qui diffusent. Une telle ´equation peut ˆetre simul´ee avec une marche al´eatoire de particules dans l’espace de configuration.

Le second terme est semblable `a une ´equation d´ecrivant un processus de mort et de naissance d’individus dans une population.

L’´equation globale peut ˆetre simul´ee par la combinaison d’un processus de diffusion et d’un processus de branchement, dans lequel le nombre de particules diffusant augmente ou diminue de fa¸con `a r´eduire la densit´e de probabilit´e dans les r´egions o`u V(x) est grand et

`a l’augmenter dans les zones d’´energie potentielle favorables.

On a : (E₀−E_R), E₀ repr´esentant l’energie fondamentale :

– ER< E0 : |Ψ(x, τ)>→0 pour τ → ∞

– E_R=E₀ : |Ψ(x, τ)>→c₀|φ₀(x)>pourτ → ∞ – E_R> E₀ : |Ψ(x, τ)>→ ∞ pour τ → ∞

Sous forme int´egrale, Ψ(x, τ) ob´eit `a l’´equation :

|Ψ(x, τ)>= que l’on peut ´ecrire formellement :

K(x, τ|x0,0) = X∞

n=0

φn(x)e^{−( ˆT+ ˆ~V)τ}φ^∗_n(x0)

12.2 “Diffusion Monte-Carlo” 89 Les op´erateurs ˆT et ˆV ne commutent pas, donc en g´en´eral :

e^{−( ˆT+ ˆ~V)τ} 6=e^−T~ˆτe^−V~ˆτ Cependant, pour δτ petit, on a :

e^{−( ˆT+ ˆ~V)δτ} =e^−T~ˆτe^−Vˆ~δτ[1−(δτ²/2)[ ˆT ,Vˆ] +O(δτ³) (12.3)

est connu exactement car il correspond `a la propagation d’une particule libre (potentiel constant).

Consid´erons une particule de masse m dans une boite unidimensionnelle de longueur L.

Les fonctions propres sur l’intervalle [-L/2,L/2] sont, en prenant des conditions aux limites p´eriodiques : soit apr`es int´egration et substitution deit parτ :

K_{dif f}(x, τ|x₀,0) =h m 2π~τ

i1/2

e^{−2m~τ(x−x0)2} (12.4) On va donc diviser τ en N petits intervalles δτ = τ /N et pour δτ petit approximer K(x, t|x₀,0) en utilisant la relation pr´ecedente :

K(x, δτ|x₀,0) =e^{−2~mδτ(x−x0)2}e^{−δτ~(V(x0)−ER)} (12.5) L’erreur commise est enδτ²

Et en it´erant N fois la relation int´egrale 12.2 on obtient :

et l’erreur commise est N fois δτ² soit τ δτ. Elle d´ecroit en 1/N et tend encore vers zero lorsque le nombre de pas N tend vers l’infini.

La fonction : P(x_n, x_n−1) repr´esente une densit´e de probabilit´e car : Z _∞

−∞

P(x, y)dy= 1 ∀x

ceci va nous permettre de construire une chaine de Markov ayant pour loi de transition P(x, y).

Les poidsW(x_n) d´ependant uniquement du potentiel V(x) et de l’´energie de r´ef´erenceE_R vont ˆetre traduits par un processus de naissance-mort de particules. C’est `a dire qu’au lieu de raisonner sur une seule trajectoire de la particules, on va suivre en parall`ele l’´evolution de N trajectoires.

Fig. 12.1 – Processus de diffusion + naissance-mortalit´e

12.3 “Path Integral Monte-Carlo” 91 – On part de N points distribu´es suivant une probabilit´e proportionnelle `a |Ψ(x0,0)|² – A chaque ´etape τ_n = nδτ on tire N nouvelles abscisses suivant la loi de probabilit´e

P(x_n, x_n−1)

– on prend la partie enti`ere du poids W(x_n) :

m_n= IntW(x_n)

Si m_n est ´egale `a z´ero, on continue la marche al´eatoire avec pour probabilit´eW(x_n) et on l’arrˆete avec la probabilit´e (1−W(x_n))

Si m_n est diff´erent de z´ero, on cr´ee m_n particules au mˆeme endroit, avec probabilit´e 1, plus une suppl´ementaire avec probabilit´e (W(x_n)−m_n). Toutes ces particules cr´ees continuent la marche.

Au cours de l’´evolution, on ajuste E_R pour obtenir une “population” stable, on a alors E₀=E_R=< V >

Donc, en pratique on ajuste `a chaque ´etape (ER)n `a < V >n Lorsque le processus a converg´e, la densit´e de points sur l’axe x repr´esente le module au carr´e de la fonction d’onde correspondant `a l’´etat fondamental.

On peut aussi d´ecider d’imposer une borne sup´erieure au nombre ν de particules cr´ees (ν ≈ 3−4) Le rˆole de ν est d’´eviter au d´ebut un trop grand nombre de branchements. Il n’intervient pas dans le r´esultat final, car lorsque l’´equilibre est atteint, la probabilit´e pour que W(x) soit sup´erieur `a ν est faible.

12.3 “Path Integral Monte-Carlo”

12.3.1 Valeur moyenne d’une grandeur physique

En m´ecanique quantique, un syst`eme est d´ecrit par un hamiltonien H. Soit |Φ_i > un ensemble de vecteurs propres orthonorm´es associ´es respectivement aux valeur propresE_i :

H|Φ_i>=E_i|Φ_i >

Une grandeur physique est repr´esent´ee par un op´erateur O. Dans l’ensemble canonique la probabilit´e du syst`eme de se trouver dans l’´etat |Φ<sub>i</sub> > est proportionnelle `a exp(−E_i/kT) et la valeur moyenne de la grandeur physique correspondante est :

<O>=

P

i<Φ_i|O|Φ_i >exp[−βE_i] Z

Z =X

i

exp[−βEi] est la fonction de partition et β= 1/kT

Cette valeur moyenne peut encore s’´ecrire sous la forme plus g´en´erale, ind´ependante de la repr´esentation (base othonorm´ee de l’espace de Hilbert) choisie :

<O>=T r Oexp[−βH]

Z (12.6)

avec Z =T r exp[−βH]. La trace “T r” d’un op´erateurs ´etant invariante, quelle que soit la repr´esentation choisie..

12.3.2 La Matrice Densit´e

On choisit, en g´en´eral pour repr´esentation non pas une base de vecteurs propres telle que {|Φ_i >} mais une base d’´etats orthonorm´es {|R >} d´ecrivant les positions dans l’espace des particules. Cette base est continue et les sommes discr`etes relatives `a la base discr`ete {|Φ_i >} consid´er´ee pr´ec´edemment sont remplac´ees par des int´egrales. En particulier, la trace d’un op´erateur, somme de ses valeurs propres de vient une int´egrale :

T r A= Z

dR⁰ < R⁰|A|R⁰>

Alors la relation g´en´erale 12.6 s’´ecrit :

<O>=

R dR⁰< R⁰|Oexp(−βH)|R⁰ >

Z (12.7)

En utilisant l’orthonormalit´e de la base{|R >}qui se traduit par la relation “de fermeture”

Z

dR|R >< R|= 1 (12.8) on peut rendre plus explicite le produit des deux matrices O et exp(−βH) pour arriver `a l’expression :

<O>=

R dRdR⁰ < R⁰|O|R >< R|exp(−βH)|R⁰>

Z (12.9)

En introduisant la “Matrice Densit´e :

ρ(R, R⁰;β) =< R|exp(−βH)|R⁰> (12.10)

Pour calculer l’int´egrale ci-dessus par la m´ethode de Monte-Carlo, nous allons donc g´en´erer de configurations{R, R⁰}suivant une probabilit´e proportionnelle `aρ(R, R<sup>0</sup>;β) et la moyenne des ´elements de matrice< R<sup>0</sup>|O|R >correspondant `a ces configurations nous donnera acc`es

`a une approximation de <O>

12.3 “Path Integral Monte-Carlo” 93 12.3.3 Echantillonnage de ρ(R, R⁰;β)

Une particule `a une dimension

Nous illustrons d’abord la m´ethode sur le cas simple utilis´e pr´ecedemment pour l’algorithme de “Diffusion Monte-Carlo” : une particule `a une dimension, de masse m, soumise `a un potentiel V(x). L’hamiltonien s’´ecrit :

H=−~² en s´eparant la partie cin´etique :

Tˆ=−~² La matrice densit´e s´ecrit :

ρ(x, x⁰;β) =< x|exp[−β( ˆT+ ˆV)]|x⁰ >

Cette quantit´e est tr`es difficile `a calculer, alors que les quantit´es < x|exp[−βTˆ]|x⁰⁰ > et

< x⁰⁰|exp[−βVˆ]|x⁰ > sont relativement simples. Malheureusement, les op´erateurs ˆT et ˆV ne commutent pas et

exp[−β( ˆT+ ˆV)]6= exp[−βTˆ] exp[−βVˆ]

Par contre, en divisant β en M intervalles δτ =β/M, on pourra recourir `a la formule de Trotter-Suzuki (cf. Equation 12.3) Enfin, en intercalant des relations de fermeture :

Z

dx_i|x_i>< x_i|= 1 entre chaque produit d’op´erateurs, on aboutit `a la relation :

ρ(x₀, x_M;β) =

L’op´erateur ˆV est diagonal, on a donc :

< x_i−1|exp(−δτT) exp(ˆ −δτVˆ)|x_i >=< x_i−1|exp(−δτTˆ)|x_i >exp[−δτVˆ(x_i)]

Mais l’´el´ement de matrice :

< x_i−1|exp(−δτTˆ)|x_i >=h m 2π~²δτ

i1/2

exp[− m

2~²δτ(x_i−x_i−1)²] pour une particule libre a ´et´e calcul´e au paragraphe pr´ec´edent (cf. Relation 12.4)

En reportant dans l’expression pr´ec´edente, le calcul de ρ(x₀, x_M;β) se pr´esente comme une int´egrale `a M−1 dimensions :

ρ(x₀, x_M;β) =C

La somme figurant en exposant du facteur exponentiel correspond `a l’´energie d’une chaˆıne de particules de coordonn´eesx<sub>0</sub>,x<sub>1</sub>, ... ,x<sub>M</sub>, chaque particule ´etant reli´ee `a la pr´ec´edente par un ressort d’energie proportionnelle au carr´e de la distance qui les s´epare. Chaque particule i´etant soumise `a un potentiel V(x<sub>i</sub>). On obtient l’image d’un polym`ere (cf section 11.2.2) N particules discernables `a 3 dimensions

Ces calculs se g´en´eralisent facilement pour une particule `a deux ou trois dimensions... et pour un ensemble de N particules `a trois dimensions soumises `a un potentiel d´ınteraction de paires

V(|Ri−Rj|

ne d´ependant que de la distance entre paires de particules. Dans ce cas, chaque particule p est repr´esent´ee par une chaˆıne de M monom`eres de coordonn´eesR<sub>p,i</sub>. La matrice densit´e s’exprime alors comme une int´egrale `a 3N M dimensions :

ρ(R_1,0, R_2,0, ..., R_N,0, R_1,M, R_2,M, ..., R_N,M;β) = _m

Au paragraphe pr´ec´edent, nous avons raisonn´e sur des particules discernables. Or, en m´ecanique quantique, les particules sont indiscernables.

Pour des bosons, l’expression de la matrice densit´e ρ_B doit ˆetre compl`etement sym´etrique par rapport `a une permutation quelconque des particules.

12.3 “Path Integral Monte-Carlo” 95 On doit donc sommer sur toutes les permutations possibles de l’expression d’une matrice densit´e de particules discernables :

ρB(R1,0, ..., RN,0, R1,M, ..., RN,M;β) = 1 N!

X

P

ρB(R1,0, ..., RN,0, R_P(1),M, ..., R_P(N),M;β) = o`u P(1), P(2), ... ,P(N), repr´esente une permutation quelconque desN particules.

Les permutations seront elles-mˆemes ´echantillonn´ees par un algorithme de Monte-Carlo.

Nous n’aborderons pas le probl`eme des Fermions pour lesquels l’antisym´etrisation conduit

`a une alternance de signe qui constitue un des probl`emes les plus difficiles pour l’application de la m´ethode de Monte-Carlo.

Pour en savoir plus...

Le livre de Feynman [16] est essentiel pour approfondir la formulation de la m´ecanique quantique sous forme “d’int´egrales de chemin”, que nous avons bri`evement introduite ci-dessus.

Pour une approche plus compl`ete des m´ethodes de Monte-Carlo quantique, nous conseillons les articles de revue et cours de Ceperley [17]

Annexes : Probabilit ´es et

Physique Statistique

A Rappels de th ´eorie des probabilit ´es

Nous nous contenterons de rappeler bri`evement les notions indispensables `a la justification des m´ethodes de Monte-Carlo. Pour un expos´e complet et didactique sur la th´eorie des probabilit´es, nous conseillons le livre (niveau second cycle) de J. Bass[18] ou le cours de l’Ecole Polytechnique de J. Neveu[19].

A.1 Exp´ erience, ensemble des r´ esultats possibles.

Une exp´erience al´eatoire est une exp´erience dont le r´esultat est soumis au hasard. Elle se d´ecrit par la donn´ee de l’ensemble des r´esultats possibles. Nous noterons ω un tel r´esultat et Ω l’espace form´e par tous les r´esultats possibles.

Exemple : l’espace Ω associ´e au jet al´eatoire de deux d´es est compos´e des 36 couples d’entiers ω= (x, y) tels que 1≤x, y≤6

A.2 Notion d’´ ev´ enement al´ eatoire.

Un ´ev´enement al´eatoire est repr´esent´e par l’ensemble des r´esultats ω de l’exp´erience qui le r´ealisent. Dans l’exemple pr´ec´edent du jet de deux d´es, on peut d´efinir comme ´ev´enement :

“obtenir un total de points sup´erieur `a 8”. Cet ´ev´enement est repr´esent´e par le sous ensemble de r´esultats A⊂Ω :

A={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)} Nous devons maintenant envisager des op´erations logiques sur ces ´ev´enements.

– A tout ´ev´enementAest associ´e son contraireA^crepr´esent´e par l’ensemble compl´ementaire deAdans Ω. (Le contraire deAdans l’exemple pr´ec´edent est “obtenir un total de points inf´erieur ou ´egal `a 8”).

– Pour tout couple d´ev´enements (A₁, A₂), l’´ev´enement “A₁ et A₂” est par d´efinition celui qui est r´ealis´e si les ´ev´enementsA1 etA2 sont r´ealis´es `a la fois. En langage de th´eorie des

ensembles, il correspond `a l’intersection A1∩A2. En prenant toujours le mˆeme exemple de jet de deux d´es, consid´erons, A<sub>1</sub> : “obtenir un total de points sup´erieur `a 8” et A₂ : “chacun des d´es est tomb´e sur un nombre pair”, l’´ev´enement “A₁ et A₂” est donc repr´esent´e par :

A₃ =A₁∩A₂={(4,6),(6,4),(6,6)}

– L’´ev´enement impossible sera repr´esent´e par l’ensemble vide ∅. L’´equation A₁∩A₂ =∅ signifie que les ´ev´enementsA₁ et A₂ sont incompatibles, c’est `a dire que les parties de Ω qui les repr´esentent sont disjointes

– Pour tout couple d´ev´enements (A₁, A₂), l’´ev´enement “A₁ ouA₂” est par d´efinition celui qui est r´ealis´e si l’un au moins des deux ´ev´enements A₁ ou A₂ est r´ealis´e (“ou” non exclusif). En langage de th´eorie des ensemble, il correspond `a l’unionA₁∪A₂.

– L’´ev´enement certain sera not´e Ω puisqu’il est r´ealis´e quel que soit le r´esultat ω de l’-exp´erience.

En conclusion, une exp´erience al´eatoire est d´ecrite math´ematiquement par la donn´ee d’un espace Ω et d’une classeAde parties de Ω. Chaque ´e l´ementAdeArepr´esente un ´ev´enement que l’on consid`ere relativement `a l’exp´erience. Nous exigerons de la classe A les propri´et´es suivantes :

– Elle contient l’´ev´enement certain : l’ensemble Ω lui-mˆeme.

– SiAappartient `aA, l’ensembleA<sup>c</sup>compl´ementaire deApar rapport `a Ω (i.e. “le contraire de A”) est aussi un ´el´ement de la classe A

– Si A1 et A2 appartiennent `aA, la r´eunion et l’intersection de A1 et A2 appartiennent `a A.

– Lorsque l’espace Ω n’est pas fini, il est encore indispensable d’exiger que la r´eunion d’une infinit´e d´enombrable d’ensembles deAappartienne `a A.

On dit que Aest une “tribu de parties de Ω”, ou encore une “σ-alg`ebre construite surΩ.”

Par exemple, dans R, la tribu engendr´ee par les segments ouverts [i.e la plus petite tribu contenant les segments ouverts] est nomm´ee “tribu Bor´elienne”. D’apr`es les propri´et´es

´enonc´ees ci-dessus, elle contient aussi les segments ferm´es (compl´ementaires d’ouverts), l’intersection et la r´eunion de nombres infinis d´enombrables d’entre eux.

A.3 Notion de probabilit´ e.

A.3.1 D´efinition heuristique

Une propri´et´e essentielle d’une exp´erience est de pouvoir ˆetre r´ep´et´ee ind´efiniment. Si nous comptons, au cours de N r´ep´etitions d’une exp´erience, le nombre de fois N_A o`u un ´ev´enement A est r´ealis´e, nous observons que la fr´equence statistique N<sub>A</sub>/N tend vers une limite p≤1 lorsqueN → ∞. D’o`u l’id´ee d’associer un nombre positif ou nulP(A) =p, inf´erieur `a 1, `a tout ´ev´enement A.

Si deux ´ev´enements sont incompatibles (A1∩A2=∅, la fr´equence statistique de l’´ev´enement

A.4 Probabilit´es conditionnelles. Ev´enements ind´ependants 101 A1 ∪A2 au cours de N r´ep´etitions d’un exp´erience al´eatoire est ´egale `a la somme des fr´equences statistiques des ´ev´enements A₁ et A₂ puisque un seul des ´ev´enement, au plus, peut ˆetre r´ealis´e.

N_A1∪A2

N = N_A1

N +N_A2 N donc

P(A1∪A2) =P(A1) +P(A2) si A1∩A2=∅ A.3.2 D´efinition math´ematique

– A chaque ´ev´enement A ∈ Aest associ´e un nombre r´eel P(A) ∈[0,1] appel´e probabilit´e de A

– La probabilit´e 1 est attribu´ee `a l’´ev´enement certain :P(Ω) = 1

– Nous imposons la propri´et´e d’additivit´e pour toute suite (finie ou infinie-d´enombrable) d’´ev´enements deux `a deux ind´ependants :

P(A₁∪A₂∪ · · · ∪A_n) =P(A₁) +P(A₂) +· · ·+P(A_n) (A.1) si

A_i∩A_j =∅ ∀(i, j), i6=j

En langage math´ematique, P est une “mesure positive, de masse totale P(Ω) = 1, d´efinie sur la tribu A de parties deΩ”.

On note “espace probabilis´e”{Ω,A, P} le triplet form´e par l’ensemble des r´esultats possi-bles de l’exp´erience Ω, la tribu de parties de cet ensemble A et la mesure de probabilit´es P.

A.4 Probabilit´ es conditionnelles. Ev´ enements ind´ ependants

Consid´erons une exp´erience qui se r´ealise en deux temps. En reprenant toujours l’exemple du jet de deux d´es, on peut lancer successivement un premier d´e puis le second. On peut d´efinir des ´ev´enements relatifs aux r´esultats du premier temps (exemple B : “le r´esultat du premier d´e est pair”) et des ´ev´enement relatifs au r´esultat global apr`es le second temps

Consid´erons une exp´erience qui se r´ealise en deux temps. En reprenant toujours l’exemple du jet de deux d´es, on peut lancer successivement un premier d´e puis le second. On peut d´efinir des ´ev´enements relatifs aux r´esultats du premier temps (exemple B : “le r´esultat du premier d´e est pair”) et des ´ev´enement relatifs au r´esultat global apr`es le second temps

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