L’´ecoulement traite du comportement du fluide comme une quantit´e homog`ene. Les ´equations qui y sont rattach´ees portent sur la vitesse v d’un volume infinitesimal de fluide.
3.2.1 Equation de Stokes
Dans le cas de fluides newtoniens incompressibles, les ´equations d’´ecoulement, c’est-`a-dire portant sur la vitesse v donnent :
– pour la conservation de la masse :
∇.vloc= 0 (3.5)
– pour la conservation de la quantit´e de mouvement (´equation de Stokes) : ∂vloc
∂t + (vloc.∇)vloc= − 1
ρ∇p + ν∆vloc+ f (3.6)
o`u p d´esigne la pression, et f les forces massiques ext´erieures.
3.2.2 Equation de Darcy
L’´equation de Darcy, ´etablie exp´erimentalement (Darcy [25]), permet une simplification de l’´equation de Stokes. Celle-ci est ´etablie en consid´erant que les effets d’inertie sont faibles par rapport aux effets visqueux, ce qui est souvent v´erifi´e dans les milieux poreux pour de faibles vitesses.
En r´egime stationnaire (∂vloc
∂t = 0), si l’on n´eglige le terme d’inertie ((vloc.∇)vloc = 0),
en consid´erant une force massique ext´erieure ´egale `a l’acc´el´eration gravitationnelle (f = g), l’´equation de Stokes (3.6) devient :
∆vloc=
1
µ(∇p − ρg) (3.7)
La r´esolution de cette ´equation via une proc´edure d’homog´en´eisation (Allaire [3]) permet le passage de l’echelle locale (vloc) `a l’´echelle macroscopique (vmacro) et donne la loi de Darcy :
q = vmacro.Φ = −
k
µ(∇p − ρg) (3.8)
Celle-ci fait intervenir le tenseur de perm´eabilit´e k, qui dans le cas sph´erique isotrope peut ˆ
etre r´eduit `a sa forme scalaire. Dans la suite, v d´esignera vmacro
Cette ´equation est ´etablie sous r´eserve que les effets d’inertie soient n´egligeables par rapport aux effets visqueux. Le crit`ere discriminant pour l’utilisation de la loi de Darcy est fonction du type d’´ecoulement. La limite en dessus de laquelle la loi de Darcy n’est plus valable est donc ´
etablie en fonction du nombre de Reynolds (Bear [6]) : Re = v ¯¯d
ν (3.9)
o`u ¯v est la norme du vecteur vitesse et ¯d est une longueur caract´eristique du milieu poreux. Dans le cas des milieux granulaires, ¯d peut ˆetre pris ´egal au diam`etre des grains de surface moyenne.
La limite sup´erieure d’applicabilit´e de la loi de Darcy est donn´ee pour un nombre de Rey- nolds compris entre 1 et 10. Notons toutefois que l’importance des effets visqueux est li´ee `a l’organisation du milieu poreux, et, en particulier, `a la surface sp´ecifique. Cette limite est donc ´
etablie sur un intervalle pour des milieux poreux “standard”, de type granulaire par exemple. Au-del`a de cette limite, la prise en compte des effets d’inertie s’effectue via l’introduction d’un terme en ¯v2 dans l’´equation liant v `a ∇p. Cette op´eration conduit `a une formulation du type de l’´equation d’Ergun [34] ou de l’´equation de Forchheimer [37].
Certaines mentions sont faites concernant une limite inf´erieure (faible perm´eabilit´e) de validit´e de la loi de Darcy (Scheidegger [99]).
3.2.3 Perm´eabilit´e
L’information sur la perm´eabilit´e, ou toute autre grandeur corr´el´ee comme la conductivit´e hydraulique ou le facteur de friction, est cruciale pour la mod´elisation d’un ´ecoulement en milieu poreux.
De nombreuses ´etudes ont ´et´e conduites afin de caract´eriser les perm´eabilit´es des diff´erents types de formations rocheuses. Ces ´etudes r´ev`elent, entre autres, que les ´echelles de perm´eabilit´e varient sur une grande plage de valeurs. Par ailleurs, les ´etudes r´ealis´ees en laboratoire conduisent fr´equemment `a des perm´eabilit´es inf´erieures, parfois de plusieurs ordres de grandeurs, `a celle mesur´ees sur terrain. Ces ´ecarts sont g´en´eralement attribu´es aux h´et´erog´en´eit´es `a moyenne ou grande ´echelle difficilement reproductibles en laboratoire. L’anisotropie de la perm´eabilit´e,
souvent observ´ee sur le terrain, est ´egalement un param`etre d´elicat `a maˆıtiser dans le cadre d’exp´eriences de laboratoire.
L’une des ´equations les plus utilis´ees pour pr´edire une relation perm´eabilit´e-porosit´e est l’´equation de Kozeny-Carman. Celle-ci assimile le milieu poreux `a un r´eseau de capillaires. La vitesse moyenne dans une conduite cylindrique de diam`etre 2a est donn´ee par la solution de l’´equation de Hagen-Poiseuille :
vmoy= −
a2∇p
8µ (3.10)
Le diam`etre des capillaires peut ˆetre exprim´e en fonction de leur surface S et de la porosit´e. En introduisant un param`etre de forme des capillaires cK et le facteur de tortuosit´e τ , la
combinaison de (3.10) avec l’´equation de Darcy (3.8) donne l’´equation de Kozeny-Carman :
k = cKφ
3
τ S2
spec(1 − Φ)2
(3.11) qui inclut l’hypoth`ese de Carman : S = Sspec(1 − Φ).
L’´equation de Kozeny-Carman doit cependant ˆetre utilis´ee avec pr´ecaution dans la mesure o`u de nombreuses hypoth`eses ne sont pas syst´ematiquement v´erifi´ees pour tout type de milieu poreux.
Un autre exemple de relation perm´eabilit´e-porosit´e est l’´equation de Fair-Hatch (Bear [6]). Cette relation semi-empirique s’applique aux milieux granulaires. k est donn´e par :
k = 1 m (1 − n)2 n3 α 100 X i Pi di !2 −1 (3.12)
o`u m est un facteur d’arrangement des grains (exp´erimentalement m = 5), α est un facteur de forme (α = 6.0 pour des sph`eres, α = 7.7 pour des grains anguleux), Pi et di renvoient `a la
fraction r´ecup´er´ee entre deux tamis adjacents : Pi le pourcentage que repr´esente la fraction,
et di la moyenne g´eom´etrique des tailles de grains correspondant aux deux tamis.
Dans le cas de gr`es, Doyen [28] sugg`ere une relation porosit´e-perm´eabilit´e du type : k k0 = Φ Φ0 n (3.13) en prenant n = 3.8 comme meilleur ajustement des donn´ees.
De mani`ere g´en´erale, les relations perm´eabilit´e-porosit´e, bien qu’indispensables `a la mod´elisation de l’´ecoulement, demeurent d´elicates `a pr´evoir pour des variations importantes de la porosit´e. De plus, les trois relations ´enum´er´ees ci-dessus sont ajust´ees `a des milieux poreux dans lesquels apparaˆıt une corr´elation entre porosit´e et perm´eabilit´e. Lors d’un processus de dissolution ou de pr´ecipitation, la relation qui s’´etablit entre la variation de porosit´e et la variation induite de perm´eabilit´e peut revˆetir une forme particuli`ere, diff´erente de celles-ci.
En particulier la cr´eation de chemin pr´eferentiel subs´equente `a une dissolution peut g´en´erer, dans une structure tridimensionnelle, des variations de porosit´e, et a fortiori de perm´eabilit´e, `
a la fois tr`es importantes et tr`es localis´ees. L’echelle de mod´elisation intervient dans la prise en compte de ces ph´enom`enes (Steefel, DePaolo, Lichtner [104], Frippiat and Holeyman [38]).
3.3
Transport
Les ´equations de transport portent sur les ´el´ements ou esp`eces chimiques pr´esents dans le fluide. Les inconnues sont les ci (concentration dans le fluide de l’esp`ece i) relatives `a un
volume infinit´esimal de fluide.
3.3.1 Equation de conservation
Pour tout ´el´ement (ou esp`ece chimique) i la conservation de la masse lors d’un processus d’advection dans un milieu poreux s’´ecrit comme la conservation de la quantit´e Φci. En prenant
en compte les effets de diffusion/dispersion ainsi que les r´eactions chimiques avec la matrice ou interne `a la phase aqueuse l’´equation s’´ecrit :
∂
∂t(Φci) + ∇.(vΦci) = ∇.(ΦDi∇ci) + ΦRi (3.14) o`u Riest le terme d’apport li´e aux r´eactions chimiques trait´e dans la partie 2.2. Ditient compte
des effets de dispersion m´ecanique Ddisp,ifonction de v et des effets de diffusion Ddiff,i :
Di= Ddiff,i+ Ddisp,i (3.15)
3.3.2 Dispersion
La dispersion m´ecanique dans un milieu poreux provient des h´et´erog´en´eit´es du champ de vitesse `a l’´echelle du pore, ainsi que du fait qu’entre deux points le fluide est susceptible d’emprunter diff´erents chemins de diff´erentes longueurs.
Le coefficient de dispersion m´ecanique Ddisppeut ˆetre d´ecompos´e en une partie longitudinale
DL parall`ele au vecteur vitesse, et une partie transversale DT.
L’´etude des influences respectives de la dispersion m´ecanique et de la diffusion s’effectue au travers du nombre de P´eclet d´efini par :
P e = ¯v ¯d Ddiff
(3.16) o`u ¯d, comme dans la d´efinition du nombre du Reynolds (3.9), est une dimension caract´eristique du milieu poreux.
Selon Bear [6], cinq zones peuvent ˆetre distingu´ees `a nombre de P´eclet croissant.
– Zone I : `a faible nombre de P´eclet les effets de la diffusion sont pr´edominants. La vitesse influe tr`es peu sur le coefficient D = Ddiff+ Ddisp.
– Zone II : dans cette zone, correspondant `a un nombre de P´eclet approximativement compris entre 0.4 et 5, les effets de diffusion et de dispersion m´ecanique sont d’ampleurs comparables.
– Zone III : Dans cette zone, sont pr´epond´erants la dispersion m´ecanique dans le sens longitudinal et la diffusion dans le sens transversal. Les r´esultats exp´erimentaux donnent :
DL
Ddiff
– Zone IV : la dispersion m´ecanique est pr´epond´erante dans la mesure o`u l’on reste dans le domaine de validit´e de la loi de Darcy. Exp´erimentalement :
DL
Ddiff
= βP e β ≈ 1.8 (3.18)
– Zone V : La dispersion m´ecanique est pr´epond´erante, mais les effets d’inertie et de tur- bulence ne peuvent plus ˆetre n´eglig´es.
Dans les travaux de Klotz [60] portant `a la fois sur des exp´eriences de terrain et de labora- toire, les coefficients de dispersion m´ecanique sont exprim´es en fonction de v par :
DL= αLv¯m
DT = αTv¯m
(3.19) La valeur de m est comprise entre 1.07 et 1.1 dans le cas longitudinal et transversal. Par contre, le coefficient αT obtenu est 6 `a 20 fois plus petit que le coefficient αL.
Le mod`ele de Saffman [97] est l’une des premi`eres tentatives pour pr´edire la dispersion d’un milieu poreux homog`ene. Dans ce mod`ele, le milieu poreux est vu comme un r´eseau de capillaires al´eatoirement orient´es de longueur l et de diam`etre 2a.
Dans chaque capillaire le vecteur vitesse adopte un profil parabolique solution de l’´equation de Hagen-Poiseuille. A chaque jonction de capillaire le fluide est uniform´ement m´elang´e. Enfin la vitesse est proportionnelle `a la projection du gradient de pression sur l’axe du capillaire ce qui donne, une vitesse moyenne dans les capillaires vcap orient´ee selon cet axe, dont la norme
est :
¯
vcap= 3¯v cos θ (3.20)
Les expressions du coefficient de dispersion longitudinal et transversal issues de ce mod`ele sont : DL = Ddiff 3 + 3a2v¯2 80Ddiff + l 2v¯2 4 Z π 2 0 M coth M − 1 (Ddiff+ Dcap)M2
(3 cos2θ − 1)2sin θdθ (3.21a) DT = Ddiff 3 + a2¯v2 80Ddiff + 9l 2v¯2 8 Z π 2 0 M coth M − 1 (Ddiff+ Dcap)M2 cos2θ sin3θdθ (3.21b) o`u M est donn´e par :
M = v¯cap.l 2(Ddiff+ Dcap)
(3.22) et Dcap est la dispersion de Taylor dans le capillaire calcul´ee analytiquement :
Dcap=
a2¯v2cap 48Ddiff
(3.23) l’´equation (3.21a) peut ˆetre approch´ee par les formules suivantes :
P e 1 DL Ddiff ≈ P e 15 (3.24a) 1 P e 8la22 DL Ddiff ≈ P e 6 ln 3 2P e −17 12 − a2 8l2P e (3.24b)
En prenant l = ¯d la taille moyenne des grains et a = l/5, l’expression (3.21a) donne des valeurs du coefficient de dispersion longitudinal en bon accord avec les donn´ees exp´erimentales. Cependant, pour ces mˆemes valeurs, le coefficient de dispersion transversal ne refl`ete pas les r´esultats exp´erimentaux.
Dans le cas de milieux poreux h´et´erog`enes, la mod´elisation adopte une approche diff´erente, bas´ee sur les fluctuations du champ de vitesse et de perm´eabilit´e. Le coefficient de dispersion alors pr´edit est, en principe, plus important que pour un milieu homog`ene (Frippiat and Holeyman [38]).