Echantillonnage régulier

Chapitre 4 Echantillonnage irrégulier et interpolation 73

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

Chapitre 4 Echantillonnage irrégulier et interpolation 73

1.1 Echantillonnage régulier

1.1.1 Théorème de Shannon

Soit f un signal continu à une dimension, de Rdans R. La version régulièrement

échan-tillonnéef

de ce signal s’écrit comme le produit du signal par un peigne de Dirac :

f

(t) = f(t)Ø

(t) = f(t)

X

74 Chapitre 4. Echantillonnage irrégulier et interpolation

FIG.4.1: Schéma du spectre d’amplitude def

. Le spectre def est périodisé.

où T est l’intervalle entre deux échantillons. La transformée de FourierF

du signal

échan-tillonné est égale, par propriété de la transformée de Fourier (TF), au produit de convolution

entre la TF def et celle du peigne de DiracØ(t):

F

(ν) = F(ν)∗ 1

T

X

δ(ν− k

T) =

1

T

X

F(ν− k

T)

Dans le cas d’un échantillonnage régulier, le spectre def est donc périodisé. Il est répliqué tous

lesν

=

(Figure4.1).

Ainsi, si le signalfest à bande limitée (c’est-à-dire si sa TF est à support borné), alors f peut

être reconstruit sans erreur à partir de ses échantillons par l’intermédiaire d’un filtre passe-bas

idéal, à condition que la fréquence d’échantillonnageν

soit supérieure à deux fois la fréquence

maximale def. Et nous avons dans ce cas :

F(ν) = F

(ν)·rect

(ν)

où rect

est une porte centrée sur la fréquence nulle et de largeur ν

et d’amplitude T. La

FIG.4.2: Sinus cardinal (en vert) pondéré par un échantillon. Il participe à la reconstruction du signal

original (en rouge). Les échantillons sont représentés en bleu. Une condition nécessaire à la

reconstruc-tion parfaite est que l’interpolateur prenne la valeur 1 à l’instant d’un échantillon et la valeur 0 aux

instants de tous les autres échantillons.

1. Théorèmes d’échantillonnage 75

FIG. 4.3: Spectre d’amplitude def

. Le spectre def et ses réplicats se chevauchent. On ne peut pas

récupérerfpar filtrage passe-bas.

transformée inverse d’une porte étant le sinus cardinal, le signal reconstruit s’écrit :

f(t) =

X

f(kT)sinc(πν

(t−kT)) (4.1)

Ceci constitue le théorème de Shannon. La fréquenc

est appelée fréquence de Nyquist. Elle

correspond à la fréquence maximale que peut contenir le signal f si on souhaite pouvoir le

reconstruire par filtrage linéaire sans erreur.

Un signal analogique à bande limitée est donc égal à une somme pondérée de sinus

cardi-naux décalés et dont les coefficients de pondérations sont les échantillons mesurés à intervalles

réguliers. Il est à noter que si l’on veut une reconstruction sans erreur du signal, alors la fonction

d’interpolation utilisée doit valoir1en0(pour que l’on retrouve bien les échantillons mesurés)

et doit s’annuler tous lesnT (afin de ne pas perturber la valeur des échantillons mesurés). Cette

condition est remplie par la fonction sinus cardinal (Figure4.2).

Dans la pratique, la plupart des signaux ne sont pas à bande limitée, ne serait-ce que parce

que la fenêtre d’observation est nécessairement de durée limitée. Ainsi une telle reconstruction

souffre d’artefacts de reconstruction se manifestant par des oscillations le long des contours.

Cet artefact est appelé phénomène de Gibbs.

Par ailleurs le support infini de la fonction sinus cardinal rend l’implémentation exacte

irréa-lisable, puisque la somme dans l’Equation (4.1) est alors infinie. La reconstruction de signaux

à l’aide de fonctions à supports bornés, telles que les splines [Unser 99], est nettement plus

efficace. De plus la décroissance lente du sinus cardinal rend l’interpolation très sensible au

bruit.

1.1.2 Repliement spectral

Dans le cas où la condition de Shannon n’est pas repectée, c’est-à-dire lorsque ν

, la

fréquence maximale du signal, est supérieure à la fréquence de Nyquist, alors le spectre répliqué

Soit f un signal continu à une dimension, de _Rdans _R. La version régulièrement

(ν) = F(ν)∗ ¹

δ(ν− ^k

T^{) =}

F(ν− ^k

T⁾