Echange avec terme source

a ce jour, ´et´e mis en ´evidence par des ´etudes exp´erimentales. Cependant, les fonctionsg_nl+et g_nl− pourraient permettre de mieux comprendre le m´ecanisme d’´echange de s´ediments entre l’´ecoulement et la couche de red´epˆot et d’am´eliorer la pr´ediction de certains mod`eles d’´erosion.

5.3.1 Echange avec terme source´

Le ph´enom`ene d’´erosion mod´elis´e est celui de la figure 5.1. La couche de red´epˆot ´echange ses s´ediments avec l’´ecoulement qui est ´egalement aliment´e par le sol initial.

5.3.1.1 Mod`ele d’´erosion diffuse de Hairsine et Rose Mise sous forme non dimensionnelle

Le syst`eme (5.7) du mod`ele de Hairsine et Rose (1991) peut ˆetre utilis´e pour mod´eliser l’´erosion diffuse. Dans ce cas, l’´ecoulement n’´etant pas un agent ´erosif, les coefficients rri, K_ei et r_ei sont tous nuls. Seule la pluie d´etache les particules du sol initial qui approvi-sionne l’´ecoulement en s´ediments. Le m´ecanisme d’´echange se fait entre la couche de r´ed´epˆot, constitu´ee de particules qui ont s´ediment´e et l’´ecoulement. Pour s’affranchir des param`etres li´es au sol, nous utilisons la forme non dimensionnelle du syst`eme (5.7) pr´esent´ee par Sander et al. (1996) : sont respectivement les valeurs moyennes de la hauteur de la lame d’eau et du d´ebit, tous deux ind´ependants de x et t. Dans ce mod`ele, le terme source de d´etachement est repr´esent´e par (1−md<sub>T</sub>α/κ)/I. Avec cette formulation, on consid`ere que la source de s´ediments provenant du sol initial est in´epuisable. Pour prendre en compte l’´epuisement de ces s´ediments, on modifie le terme source en le multipliant par un taux d’alimentation E(τ) ; il s’´ecrit alors :

1 I

1− α κmd_T

E(τ). (5.23)

De plus, comme nous l’avons vu dans le syst`eme (5.6), la fonction d’´echange dans ce mod`ele est lin´eaire, de la forme g_l(md_i) =K_imd_i avecK_i =α/ν_i. Nous allons ´etudier l’effet des non-lin´earit´es obtenues grˆace aux fonctionsg_nl+etg_nl−. Deux classes (I = 2) de s´ediments sont consid´er´ees, avec comme vitesses de s´edimentation caract´eristiques v1 = 10⁻⁴ m s⁻¹ et v₂= 10⁻² m s⁻¹ pour la premi`ere et la deuxi`eme classes respectivement. L’intensit´e de pluie est prise ´egale `aP = 100 mm h⁻¹, ε= 3.6 etL= 1 m. L’´evolution temporelle des diff´erentes

concentrations dans la couche de red´epˆot et dans le fluide est analys´ee `a la sortie du domaine d’´etude.

Influence du param`etre de d´etachabilit´e a_d et du taux d’alimentation

En consid´erant une alimentation in´epuisable,E(τ) = 1 pour tout τ >0, les non-lin´earit´es g_nl+(mdi) et g_nl−(mdi) dans le mod`ele de Hairsine et Rose (1991) ont principalement pour effet d’obtenir, `a l’´etat stationnaire, des concentrations de s´ediments dans le fluide et dans la couche de red´epˆot plus ou moins ´elev´ees que celles obtenues pour une fonction lin´eaire (figure 5.5). L’amplitude de la diff´erence par rapport `a la fonction lin´eaire d´epend des pa-ram`etres α et κ pr´esents dans le syst`eme (5.22) et dans les fonctions via Ki. Par exemple, le cas o`u α = 100 et κ = 100 (figures 5.5c, 5.5d) montre une diff´erence beaucoup plus im-portante, particuli`erement au niveau de la couche de red´epˆot et pour la seconde classe, que le cas o`uα= 100 et κ= 10 (figures 5.5a, 5.5b). La concentration dans cette couche et pour cette classe de s´ediments est plus importante avec g_nl+qu’avec la fonction lin´eaire g_l de pr`es de 20 %. Par contre, la fonction gnl− induit une concentration moins ´elev´ee que celle de gl

d’environ 15 %. Cela montre que plus la couche de red´epˆot est sensible `a l’´erosion (param`etre de d´etachabilit´ea_d´elev´e), plus l’effet des non-lin´earit´es est important. Dans tous les cas, c’est la fonction g_nl− qui ´erode le plus la couche de red´epˆot et donc la surface du sol tandis que gnl+ est celle qui a tendance `a moins ´eroder et par cons´equent `a moins charger l’´ecoulement en s´ediments.

Une fois l’arrˆet de l’alimentation en s´ediments par le sol activ´e `a τ = 1.8, les concen-trations d´ecroissent toutes vers z´ero pratiquement de la mˆeme mani`ere ind´ependamment de la fonction d’´echange (figure 5.6). Tous les s´ediments fournis par le sol initial sont ainsi sor-tis du domaine d’´etude. Cependant le param`etre κ influence cette d´ecroissance. En effet, pour κ = 10, la forme des courbes `a partir de l’´etat d’´equilibre jusqu’`a la valeur nulle est concave alors que pourκ= 100, ces courbes sont plus ou moins rectilignes. De plus, le temps de suspension de l’alimentation (τ = 1.8) correspond bien au d´ebut de la d´ecroissance des concentrations. Les particules les plus fines (premi`ere classe) ont aussi une concentration dans le fluide qui d´ecroˆıt plus rapidement que celle des particules grossi`eres. L’´ecoulement emporte donc les particules les plus fines en premier.

Arrˆet de l’´echange

Pour le syst`eme (5.22), l’arrˆet de la mise en suspension revient `a arrˆeter la pluie. La fonc-tion d’´echange et le terme source deviennent alors nuls. Cette fois, la chute de la concentrafonc-tion dans le fluide se fait de mani`ere lin´eaire pour les deux classes de s´ediments et ind´ependamment de κ(figure 5.7). Les fonctions non-lin´eaires n’ont quasiment pas d’effet sur la d´ecroissance.

En outre, la chute de concentration de la premi`ere classe est aussi moins brutale que celle de la deuxi`eme (o`u les particules sont plus lourdes) et donc s´edimentent plus rapidement.

Compar´e au cas o`u seul le taux d’alimentation a ´et´e annul´e, la premi`ere classe s’annule plus rapidement que la seconde. Quant `a la couche de red´epˆot, sa concentration en s´ediments augmente et atteint un nouveau niveau d’´equilibre. Cette fois, la valeur de κ change l’´etat d’´equilibre, ce qui influence beaucoup le nouveau niveau d’´equilibre pour la deuxi`eme classe alors que celui de la premi`ere classe reste le mˆeme.

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Concentration dans la couche de redépôt

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Concentration dans la couche de redépôt

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Figure 5.5 – Variations temporelles des concentrations (sans dimension) dans le fluide et dans la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´echange, avec P = 100 mm h⁻¹, ε= 3.6, L= 1 m, I = 2,v₁ = 10⁻⁴ m s⁻¹ et v₂ = 10⁻² m s⁻¹ et un terme source in´epuisable.

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Concentration dans la couche de redépôt

g

Concentration dans la couche de redépôt

g

Figure 5.6 – Variations temporelles des concentrations (sans dimension) dans le fluide et dans la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´echange, avec P = 100 mm h<sup>−1</sup>,ε= 3.6, L= 1 m,I = 2,v<sub>1</sub>= 10<sup>−4</sup>m s<sup>−1</sup> etv<sub>2</sub>= 10<sup>−2</sup> m s<sup>−1</sup> et annulation du terme source `aτ = 1.8.

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Concentration dans la couche de redépôt

g

Concentration dans la couche de redépôt

g

nl-g_nl+

g_l

(d) α= 100,κ= 100

Figure 5.7 – Variations temporelles des concentrations (sans dimension) dans le fluide et dans la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´echange, avec P = 100 mm h<sup>−1</sup>, ε= 3.6,L= 1 m,I = 2,v<sub>1</sub>= 10<sup>−4</sup> m s<sup>−1</sup> et v<sub>2</sub> = 10<sup>−2</sup> m s<sup>−1</sup> et arrˆet de la pluie (et donc des ´echanges) `a τ = 1.8.

5.3.1.2 Transport par charriage Mise sous forme non dimensionnelle

Dans le cadre des hypoth`eses du mod`ele de Lajeunesse et al. (2013), le transport par charriage des grains marqu´es (figure 5.3) est mod´elis´e par les ´equations (5.14). Sa version sans dimension est :

avecT etXles variables sans dimension repr´esentant le temps et l’espace d´efinies parT =t/ts et X = x/(V ts). En r´e´ecrivant ces ´equations sous la forme des ´equations de transfert, la fonction d’´echange est g_l(ψ) =ψ. Le processus d’´echange entre ces deux couches de grains est activ´e par le cisaillement de l’´ecoulement.

Pour se rapprocher de la configuration de la figure 5.1, on ajoute au syst`eme (5.24) un terme source du mˆeme type que celui de Hairsine et Rose (1991) donn´e `a l’´equation (5.23) :

source= (1−H)E(T)

avec H la proportion de surface que repr´esente la couche de r´ed´epˆot contenant les grains qui ´echangent avec l’´ecoulement et E(T) un taux d’alimentation qui d´epend du temps. Par analogie avec les travaux de Hairsine et Rose (1991), on d´efinit H comme ´etant le rapport entre la proportion totale de grains dans la couche de r´ed´epˆotψet celle n´ecessaire `a recouvrir compl`etement le sol ψ^∗. Le terme source assure `a lui seul l’alimentation en grains dans le fluide. Ainsi, le nouveau syst`eme d’´equations sans dimension mod´elisant ce type de transport est repr´esent´e par : K= 1, pour souligner l’influence des ´echanges non-lin´eaires. Nous nous int´eressons plus par-ticuli`erement au casψ^∗= 0.5 etα= 0.3 parce qu’il met bien en ´evidence les diff´erences entre les fonctions.

Influence du taux d’alimentation

Consid´erons tout d’abord que l’apport en grains `a travers le terme source est continu et in´epuisable avecE(T) = 1. Les r´esultats montrent que les non-lin´earit´es changent notablement l’´etat transitoire par rapport `a la fonction lin´eaire comme illustr´e sur la figure 5.8. Cette diff´erence est plus remarquable dans l’´ecoulement avec la fonction g_nl− (figure 5.8a), pour laquelle l’´etat transitoire pr´esente une ´evolution plus lente vers le niveau d’´equilibre. En revanche, dans le cas des fonctions gl etgnl+, les proportions suivent un ´etat transitoire sous forme de cloche. L’´etat d’´equilibre de la proportion de grains dans le fluide est, de plus, plus ´elev´ee avec la fonction g_nl−. Le fluide est alors plus charg´e en grains. Dans la couche de r´ed´epˆot, avant d’atteindre la valeur d’´equilibre ψ^∗ impos´ee, la fonction g_nl+ est celle qui

´erode le plus cette couche, suivie degl puis degnl−.

Dans un second test, on arrˆete l’alimentation du terme source apr`es un certain temps.

Cette situation correspond `a l’´epuisement du stock de grains disponible. Par cons´equent, les proportions de grains dans la couche de red´epˆot et dans le fluide `a la sortie du domaine doivent s’annuler, ce qui est bien v´erifi´e pour les trois fonctions d’´echange test´ees (figure 5.9).

Le terme source est arrˆet´e apr`es un temps d’alimentation d’environ T = 20. Ce temps est suffisant pour permettre aux proportions de grains dans les deux couches d’atteindre leur niveau d’´equilibre. Lors de cette premi`ere phase, les courbes sont identiques `a celles de la figure 5.8. Ensuite, on observe une d´ecroissance vers des proportions de grains nulles. Cette d´ecroissance commence plus tˆot et est plus lente avecg<sub>nl</sub>−, dans les deux couches. La fonction g<sub>nl+</sub> quant `a elle, a pour effet de retarder l’annulation des proportions de grains mais elle provoque une chute plus brutale. Les deux fonctions gl et gnl− atteignent la valeur nulle quasiment en mˆeme temps, contrairement `a g<sub>nl+</sub>. En outre, l’annulation des proportions de grains d´ebute apr`es un temps de retard tr`es long et qui d´epend de la fonction d’´echange. Ce retard peut ˆetre dˆu `a la condition de stationnarit´e impos´ee dans le mod`ele (5.14).

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Figure5.8 – Variations temporelles des proportions de grains marqu´es dans (a) le fluide et (b) la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´echange et un terme source in´epuisable, avec ψ^∗= 0.5, α= 0.3.

Arrˆet de l’´echange

Ici nous consid´erons le cas o`u l’on arrˆete la mise en suspension des grains. Dans le cas du syst`eme (5.25), cela revient `a arrˆeter l’´echange entre les deux couches en annulant la fonction d’´echange et l’alimentation au travers du terme source. Les particules en suspension dans le fluide vont alors se d´eposer. Cela provoque une chute brutale vers z´ero des proportions de grains dans le fluide (figure 5.10a). Cette chute est similaire pour les trois fonctions ´etudi´ees.

Ainsi, au niveau de la couche de red´epˆot, la s´edimentation des grains provoque une aug-mentation de la proportion de particules dans cette couche. La proportion de grains dans la couche de r´ed´epˆot va donc croˆıtre pour ensuite se stabiliser (figure 5.10b). De plus, le temps de r´eponse est instantan´e entre l’arrˆet des ´echanges et le d´ebut de la s´edimentation des grains (figure 5.10).

0.0

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

g

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

gnl- gl gnl+

(b)

Figure 5.9 – Variations temporelles des proportions de grains marqu´es dans (a) le fluide et (b) la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´echange et

´epuisement du terme source `a T=20, avecψ^∗ = 0.5,α= 0.3.

Figure 5.10 – Variations temporelles des proportions de grains marqu´es dans (a) le fluide et (b) la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´echange, avec arrˆet du terme source et de toute mise en suspension `a T=20, ψ^∗= 0.5, α= 0.3.