Simulation ` a haut nombre de Reynolds

Les nombres de Reynolds ´etudi´es dans cette section font partie de la gamme des Reynolds rencontr´es dans les pluies naturelles (500 6 Re6 27000). Les grandeurs physiques utilis´ees sont celles de l’eau avec ρ_l = 1000 kg m⁻³, µl = 0.001 kg m⁻¹s⁻¹ et la tension de surface entre l’eau et l’air estγ = 0.02 N m⁻¹. Le diam`etre des gouttes de pluie consid´er´ees varie de 0.5 mm pour la plus petite `a 6 mm pour la plus grande. La vitesse de chute de chaque goutte est fix´ee `a sa vitesse terminale, calcul´ee avec la formule de Uplinger (1981) suivante :

V_f = 4.854Dexp(−0.195D) 3.2.2.1 Choix du maillage

Les nombres de Reynolds ´elev´es rendent la convergence num´erique en maillage difficile. La figure 3.10 montre la difficult´e d’obtenir une bonne description du cisaillement pour deux valeurs deRediff´erentes.

La convergence est obtenue `a partir de n<sub>max</sub> = 11 pour Re = 2000 tandis qu’il faut un niveau plus ´elev´e de n<sub>max</sub> = 12 pour Re = 6500. Plus les gouttes sont grandes, plus leur nombre de Reynolds l’est aussi. La description du cisaillement qu’elles cr´eent lors de leur impact n´ecessite donc plus de mailles dans le domaine. Ainsi, pour des gouttes dont le diam`etre est sup´erieur `a 2 mm, len<sub>max</sub>n´ecessaire pour obtenir une bonne description est tr`es grand (> 12). Cela n´ecessite un temps de calcul tr`es long avec un pas de temps de plus en plus petit.

Au vu du grand nombre de simulations `a effectuer par la suite (plusieurs tailles de gouttes impactant chacune plusieurs hauteurs de lame d’eau), le niveau de description du cisaillement est fix´e `an_max= 11. Ce niveau de raffinement d´ecrit tr`es bien l’impact des gouttes en dessous de 1 mm de diam`etre (avecRe <2000). Il donne aussi une description assez satisfaisante de la dynamique d’impact des gouttes jusqu’`a 6 mm (Re= 27000) mais sous-estime le pic maximal

t' 'p

nmax=12 n_max=11 nmax=10

(a)

'p

t'

nmax=13 n_max=12 nmax=11 n_max=10

(b)

Figure 3.10 – Convergence en maillage du maximum du cisaillement pour (a)D = 1 mm, V_f = 4 m s⁻¹ et h = 0.25 mm (Re= 2000) (b) D = 2 mm V_f = 6.57 m s⁻¹ et h = 1 mm (Re= 6500) (b). Param`etres de Gerris :D^′= 0.1, nmin= 3.

du cisaillementτmaxcr´e´e durant l’impact. Les autres processus mis en jeu comme le maximum de la pression P_max^′ et la position radiale du maximum du cisaillement r_τ^′_p atteignent leur convergence num´erique beaucoup plus tˆot. Les figures 3.11 montrent une convergence `a partir den<sub>max</sub>= 9 pour la pression etn<sub>max</sub> = 7 pourr<sub>τ</sub><sup>′</sup><sub>p</sub>. Comme pour le cas `a bas Reynolds et les films de liquide minces, r^′_τp suit une ´evolution en racine carr´ee du temps.

(a) (b)

Figure 3.11 – Convergence en maillage `a Re = 27000 (a) du maximum de la pression et (b) la position radiale du maximum du cisaillement r<sub>τ</sub><sup>′</sup><sub>p</sub> pour D= 6 mm, V<sub>f</sub> = 9.04 m s<sup>−1</sup> et h= 3 mm. Param`etres de Gerris :D^′ = 0.1, n_min= 3.

Par ailleurs, les travaux de Legu´edois (2003) (figure 3.12) montrent que les particules pr´ef´erentiellement soumises `a la d´esagr´egation par les gouttes de pluie ont une taille sup´erieure

`

a 10➭m. Le niveaunmax = 11 d´efinit des mailles dont la taillel(donn´ee par l’´equation (3.14)) croˆıt avec la taille de la goutte. Plus pr´ecis´ement, la taille des mailleslvarie de 2➭m pour une goutte de 0.5 mm de diam`etre `a 30➭m pour une goutte de 6 mm de diam`etre (avecD^′= 0.1).

Mˆeme si la simulation des gouttes de 6 mm ne permet pas d’utiliser des mailles inf´erieures `a

30➭m, ces gouttes sont assez rares dans la pluie. Ainsi, le niveau de raffinement utilis´e permet de d´ecrire le d´etachement d’une grande majorit´e des particules soumises `a l’action des gouttes individuelles composant la pluie et la totalit´e des particules de plus de 30➭m.

Figure 3.12 – S´electivit´e granulom´etrique des processus ´erosifs. Particules issues de la d´esagr´egation (calibre initial 3–5 mm) sous l’action de l’impact des gouttes de pluie, mises en mouvement par les gouttes et export´ees par le ruissellement pour le limon moyen sableux.

Source : Legu´edois (2003), figure 6.7 (a). Les particules soumises `a la d´esagr´egation par l’im-pact des gouttes de pluie ont aussi une taille sup´erieure `a 10 ➭m pour l’argile et l’argile limoneuse (voir figures 6.7 (b) et (c) de Legu´edois (2003)).

3.2.2.2 Description spatio-temporelle du cisaillement sur le plan d’impact A haut nombre de Reynolds, le comportement du cisaillement cr´e´e sur le plan d’impact est` similaire au comportement de celui-ci `a bas Reynolds. Une simulation faite `aRe= 27000 sur une hauteur de lame d’eau de h = 3 mm montre l’´emergence, aux temps courts, du mˆeme profil auto-similaire que celui du cas `a bas Reynolds (figure 3.13). De plus, on observe la mˆeme loi d’´evolution temporelle que celle `a bas Reynolds comme le montre la figure 3.14. Ici aussi la comparaison avec les formules de Hartley et Julien (1992) est satisfaisante avec des coefficients ajust´es. Les facteurs utilis´es sont 1.6 et−0.035λau lieu de 1.4 et−λrespectivement dans les

´equations (3.17) et (3.19). Ces auteurs ont d’ailleurs montr´e que leurs ´equations pouvaient ˆetre extrapol´ees aux cas `a haut Reynolds.

Remarque 3.1. On peut noter qu’aux temps longs, le cisaillement ne converge pas forc´ement vers une valeur nulle. Effectivement, dans des cas peu fr´equents, on observe la formation d’une bulle d’air qui persiste tr`es longtemps apr`es l’impact. Cette bulle maintient un frottement sur le plan d’impact empˆechant la d´ecroissance du cisaillement. D’autres pics du cisaillement

'(r',z'=0,t')/

' p

(r',z'=0,t')

r'/r'

p

t'=0.03 t'=0.04 t'=0.05 t'=0.06 t'=0.07 t'=0.08

Figure3.13 – Profil normalis´e du cisaillement pourh=D/2 et pourt^′<0.1 avecRe= 27000 (D= 6 mm, V_f = 9.04 m s⁻¹). Param`etres de Gerris : D^′= 0.1, n_min= 7 et n_max= 11.

t' '

Figure 3.14 – Comparaison de l’´evolution temporelle des cisaillements obtenus avec Gerris et des formules (3.18) et (3.19) (mises sous forme non dimensionnelle) pour h = D/2 avec Re = 27000 (D = 6 mm, Vf = 9.04 m s⁻¹). Param`etres de Gerris : D^′ = 0.1, nmin = 7, n_max= 11.

peuvent mˆeme apparaˆıtre longtemps apr`es l’impact. La figure 3.15a met en ´evidence la for-mation d’une bulle d’air pour une goutte de 1 mm de diam`etre impactant une lame d’eau d’´epaisseur h = 2 mm `a un temps t<sup>′</sup> = 1.5 apr`es l’impact. Dans ce cas, le cisaillement converge vers une valeur limite d’environ 0.01 comme l’illustre la figure 3.15b.

'

(a)

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

' p

t' (b)

Figure3.15 – Simulation de l’impact d’une goutte `a Re= 2000 (D = 1 mm,V<sub>f</sub> = 4 m s<sup>−1</sup>) sur une lame d’eau deh= 2 mm d’´epaisseur (a) champs de vitesse et de cisaillement `at^′= 1.5 et (b) ´evolution temporelle du maximum du cisaillement sur le plan d’impact pourD= 6 mm, Vf = 9.04 m s⁻¹ et h= 3 mm. Param`etres de Gerris :D^′ = 0.1,nmin= 3,nmax= 11.