Document 10 : La fête du jour cent

L’analyse de ce document nous a permis d’identifier deux types de matériels qui constituent des ressources dans le travail de cette enseignante en lien avec le développement du sens du nombre. Il s’agit premièrement, de 100 bâtonnets et deuxièmement, d’une grille qui contient les nombres écrits jusqu’à 100.

2.10.2 Dimension schème d’utilisation

2.10.2.1 Favoriser les apprentissages en lien avec le dénombrement 1 par 1 et 10 par 10

Dans cette classe de maternelle, la journée numéro 100 d’école est soulignée avec une célébration qui s’appelle la « Fête du jour 100 ». Afin de savoir quel jour aura lieu cette fête, tous les matins des premières 100 journées d’école, l’enseignante demande à l’ami du jour de mettre un bâtonnet dans une boîte. Chacun de ces bâtonnets représente un jour d’école. Une fois l’enfant a déposé le bâtonnet correspondant à la journée, il devra dire combien de jours d’école se sont écoulés jusqu’à cette date-là. Lorsque dans la boîte il y a suffisamment de bâtonnets pour former un groupe de 10, l’ami du jour devra aussi faire un paquet à l’aide d’un élastique.

La description que l’enseignante a réalisée nous a permis d’identifier deux tâches en lien avec les nombres auxquelles l’ami du jour se voit confronté.

Premièrement, il devra savoir si la quantité de bâtonnets qui ne sont pas attachés avec un élastique est inférieure ou égale à 10. Ainsi, cette tâche favoriserait la construction d’apprentissages en lien avec la comparaison de deux quantités. S’il s’agit d’une petite quantité, il est possible que l’enfant puisse reconnaître qu’il y a très peu de bâtonnets pour en réunir 10 sans besoin de les dénombrer. Toutefois, si le nombre de bâtonnets détachés est de 7, 8 ou 9, par exemple, il et fortement possible que l’enfant les dénombre pour savoir s’il y en a 10 ou moins. Dans ce dernier cas, cette tâche favoriserait la construction d’apprentissages en lien avec le schème de dénombrement un par un.

Deuxièmement, l’enfant devra identifier la valeur cardinale de la collection de bâtonnets qui sont dans la boîte et dire le mot-nombre correspondant. Durant les premières journées, quand la quantité de bâtonnets est inférieure à 10, l’enfant pourra les dénombrer un par un. Mais après, lorsque la quantité de jours écoulés permet de faire des paquets de 10, le fait de les regrouper de cette façon susciterait l’utilisation du dénombrement 10 par 10. C’est-à dire, s’il y a 4 paquets et 3 bâtonnets détachés par exemple, il pourrait dire 10, 20, 30, 40 et continuer avec 41, 42 et 43.

L’analyse de ces deux tâches nous permet d’inférer qu’elles sont demandées par l’enseignante afin de favoriser la construction d’apprentissages en lien avec la fonction cardinale des nombres, car il s’agit de la représentation d’une quantité, la

comparaison de nombres, la dénomination orale des nombres jusqu’à 100 et le schème de dénombrement un par un et 10 par 10.

Nous avons alors, énoncé les composantes d’un premier schème d’utilisation qui fait partie du document La fête du jour 100. Nous avons formulé premièrement trois règles d’actions : 1) Demander de mettre dans une boîte un bâtonnet qui représente un jour d’école; 2) Demander d’en faire un paquet de 10 à l’aide d’un élastique, si possible; 3) Demander de dire combien de jours d’école se sont écoulés jusqu’à présent. Ces trois règles ont pour but Que les enfants identifient la quantité de jours d’école écoulés jusqu’à 100. Le théorème-en-acte qui oriente ces règles est celui selon lequel Dénombrer et regrouper par 10 les bâtonnets qui représentent les 100 premiers jours d’école favorise la construction d’apprentissages en lien avec la fonction cardinale du nombre, la comparaison de nombres, la dénomination orale des nombres jusqu’à 100 et le schème de dénombrement 1 par1 et 10 par 10. Le concept- en-acte peut être formulé comme Réalisation de tâches en lien avec l’identification de la valeur cardinale d’une collection.

Voici le tableau qui présente ce schème d’utilisation.

Tableau 26

Schème d’utilisation 10 a) : Favoriser les apprentissages en lien avec le dénombrement un par un et 10 par 10

Règles d’action Demander de mettre dans une boîte un bâtonnet qui représente un jour d’école et de dire combien il y en a

Demander d’en faire un paquet de 10 à l’aide d’un élastique, si possible.

Demander de dire combien de jours d’école se sont écoulés jusqu’à présent

But Que les enfants identifient la quantité de jours d’école écoulés jusqu’à 100

Théorème-en-acte Dénombrer et regrouper par 10 les bâtonnets qui représentent les 100 premiers jours d’école favorise la construction d’apprentissages en lien avec :

- La fonction cardinale du nombre - La comparaison de nombres

- La dénomination orale des nombres jusqu’à 100 - Le schème de dénombrement 1 par 1 et 10 par 10

Concepts-en-acte Réalisation de tâches en lien avec l’identification de la valeur cardinale d’une collection

2.10.2.2 Guider les enfants pour dénombrer 10 par 10

Comme nous l’avons dit, l’enseignante demande de faire de paquets de 10 bâtonnets, quand il y en a une quantité suffisante, afin de susciter l’utilisation du dénombrement 10 par 10.

Le schème de dénombrement « n’en comporte pas moins une organisation invariante » (Vergnaud, 1996). Par exemple, il faudra toujours énoncer une série numérique coordonnée et savoir que le dernier mot-nombre représente la valeur cardinale de la collection. Cependant, dans cette organisation invariante on peut reconnaître des processus d’accommodation basés dans certains cas, sur l’ « adjonction d’éléments cognitifs » (Ibid.). Ainsi, afin de réaliser un dénombrement 10 par 10 efficace, il faudra énoncer une série numérique distincte à celle utilisée dans le dénombrement un par un. Il s’agira d’énoncer les mots-nombres correspondants à chaque dizaine dans le bon ordre et de faire coïncider chacun de ces mots-nombres avec chaque paquet de 10 et non avec un seul élément.

L’enseignante nous a expliqué qu’à travers son expérience, elle a observé que le dénombrement 10 par 10 est une tâche très difficile pour la plupart des enfants de 5 ans. Elle nous a dit que lorsqu’elle observe qu’ils ne sont pas encore capables de dénombrer 10 par 10, elle les aide en disant les mots-nombres correspondants à chaque dizaine pendant qu’ils prennent ou indiquent chacun des paquets.

Nous inférons que de cette façon l’enseignante présente non seulement la dénomination des dizaines mais aussi l’ordre dans lequel elles se succèdent, connaissances essentielles dans ce type de dénombrement. En les faisant coïncider avec chacun des paquets de 10 elle présente aussi l’utilisation de la série ordonnée de ces mot-nombres pour respecter le principe de bijection du schème de dénombrement 10 par 10.

Basées sur cette analyse nous avons formulé la règle d’action Dire les mots- nombres correspondants à chaque dizaine pendant que l’enfant prend ou indique chacun des paquets de 10 dont le but est celui de Guider les enfants pour dénombrer 10 par 10. Le théorème-en-acte qui soutient cette règle peut être formulé comme Dire les mots-nombres de chaque dizaine pendant que l’enfant prendre ou indique chacun des paquets de 10 favorise la construction d’apprentissages en lien avec le schème du

dénombrement 10 par 10. Nous énonçons le concept-en-acte construit en étroite relation avec cette proposition comme Guidage pour le dénombrement 10 par 10.

Le tableau ci-dessous montre les composantes de ce dernier schème identifié.

Tableau 27

Schème d’utilisation 10 b) : Guider les enfants pour dénombrer 10 par 10 Règles d’action Dire les mots-nombres correspondants à chaque dizaine pendant

que l’enfant prend ou indique chacun des paquets de 10 But Guider les enfants pour dénombrer 10 par 10

Théorème-en-acte Dire les mots-nombres de chaque dizaine pendant que l’enfant prendre ou indique chacun des paquets de 10

favorise la construction d’apprentissages en lien avec : - Le schème du dénombrement 10 par 10

Concepts-en-acte Guidage pour le dénombrement 10 par 10

2.10.2.3 Favoriser les apprentissages et les relations en lien avec la notation conventionnelle et la série numérique

Une fois l’enfant a dit combien de bâtonnets il y a dans la boîte, il doit colorier le nombre correspondant sur la grille qui contient les nombres ordonnés jusqu’à 100.

Ainsi, l’ami du jour se voit aussi confronté à la tâche d’identifier l’écriture conventionnelle du nombre qui représente la quantité de jours d’école écoulés.

Le fait que les enfants colorient un nombre chaque jour pourrait provoquer qu’ils n’utilisent pas leurs connaissances en lien avec les nombres afin de repérer celui qui corresponde, car ils pourront chercher la case blanche située après le dernier nombre colorié. Cependant, ils pourront également construire des liens entre les mots-nombres de 1 à 100 et l’écriture conventionnelle de ces nombres qui représentent la valeur cardinale d’une collection.

Nous pouvons alors, énoncer les composantes du schème d’utilisation qui est en lien avec cette dernière tâche demandée aux enfants. La règle d’action Demander de colorier sur la grille le nombre correspondant à la quantité de jours d’école écoulés a pour but Que les enfants identifient l’écriture du nombre de jours d’école écoulés. La proposition qui oriente cette règle peut être formulée comme Colorier sur la grille le nombre correspondant à la quantité de jours d’école écoulés favorise la construction

d’apprentissages en lien avec la notation conventionnelle des nombres jusqu’à 100 et la série numérique. Le concept-en-acte qui aussi guide cette partie du travail de l’enseignante est celui de Réalisation de tâches en lien avec la localisation des nombres à un et à deux chiffres sur la séquence ordonnée.

Ces composantes sont présentées dans le tableau suivant.

Tableau 28

Schème d’utilisation 10 c) Favoriser les apprentissages et les relations en lien avec La notation conventionnelle et la série numérique

Règles d’action Demander de colorier sur la grille le nombre correspondant à la quantité de jours d’école écoulés

But Que les enfants identifient l’écriture du nombre de jours d’école écoulés

Théorème-en-acte Colorier sur la grille le nombre correspondant à la quantité de jours d’école écoulés favorise la construction d’apprentissages en lien avec :

- La notation conventionnelle des nombres jusqu’à 100 - La série numérique

Concepts-en-acte Réalisation de tâches en lien avec la localisation des nombres à un et à deux chiffres sur la séquence ordonnée

2.11 Document 11 : L’atelier des mathématiques

2.11.1 Dimension ressource

Lors de notre première visite à la classe, nous avons repéré d’autres matériels qui pourraient constituer des ressources potentielles pour cette enseignante dans son travail en lien avec le développement du sens du nombre. Il s’agit d’un dé géant et d’un boulier qui se retrouvaient sur une table. En voici l’image de ces matériels.