Distribution de vitesse des sources atomiques

Analyse des signaux de temps de vol

Il est possible d’utiliser le signal de temps de vol obtenu à la détection pour évaluer la largeur de la distribution de vitesse initiale des atomes. En effet, au niveau de la détection, à l’issu d’un temps de vol balistique de 360 ms, la dispersion en position initiale dans les pièges est négligeable devant l’expansion due nuage du à la distribution des vitesse atomiques. Il convient néanmoins de tenir compte de la hauteur du faisceau de détection (environ 5 mm). Si on suppose que la distribution de vitesse à une forme gaussienne du type :

g_σv,v1(v) = √ ¹ 2πσ_v^e  −^(v−v1)2 2σ2_v 

où σv est la demi largeur de la distribution à √¹ e

Le signal temporel enregistré par le système de détection est alors un produit de convolution de la forme :

s_g(t) = Z

g(v)u_sonde(h(t, v)) dv

où h(t, v) est la hauteur d’un atome de la classe de vitesse comprise entre v et v + dv à l’instant t et u_sonde(h) une fonction valant 1 si h est à la hauteur de la sonde et zéro sinon. Cette fonction h décrit ainsi le caractère impulsionel de la détection. Il est alors possible d’ajuster les signaux de temps de vol par cette fonction sg afin d’accéder à la largeur de la distribution de vitesse initiale σv.

La figure 4.19 représente un signal de temps de vol obtenu avec la source V à la descente. Un ajustement de ce signal par la fonction s_g par une méthode de type moindre carré fournit une valeur de σv ≈ 3.7 v_rec. Ce chiffre est bien supérieur à celui attendu d’environ 2 vrec. De plus, la fonction d’ajustement obtenue ne rend pas correctement compte de l’allure des ailes du signal de temps de vol et elle est légèrement décentrée.

FIG. 4.19 – Signal de temps de vol pour la source V à la descente ainsi que l’ajustement de ces données par les fonctions Gaussienne et Lorentziennesg(t) et f (t). L’utilisation de la fonction sg(t) ne rend pas correctement compte de la forme du signal. L’origine des temps est ici choisie au moment du lancement des atomes.

Des études menées sur les horloges à atomes froids ont montrées qu’en réalité la distribution de vitesse obtenue à l’issu du processus de refroidissement est mieux décrite par une fonction de type Lorentzienne [Bize 2001, Sortais 2001] :

L_∆v,b(v) = ^N

(1 + _∆v^v )b (4.2)

où v est la vitesse radiale d’un atome par rapport au centre du nuage, ∆v la vitesse caractéristique de la dispersion en vitesses radiales et b un paramètre proche de 2 [Sortais 2001].

Nous réalisons alors figure 4.19 l’ajustement des courbes de temps de vol par une fonction du type :

u(t) = ^u(t0) (1 + ^(t−t0)

∆t )2

Nous remarquons que cet ajustement n’est pas tout a fait satisfaisant notamment au niveau des ailes du temps de vol et que la courbe obtenue est légèrement décentrée par rapport aux données expérimentales. De plus, la distribution tridimensionnelle de l’équation 4.2 n’étant pas factorisable contrairement à une distribution de type gaussienne, il demeure plus complexe de remonter au para-mètre ∆v à partir de la valeur ∆t obtenue avec l’ajustement des données.

Nous utiliserons alors par la suite un modèle approchant la distribution de vitesse des sources F et V ; obtenu en sommant deux distributions Gaussienne décalées en vitesse moyenne. Intuitivement, ce modèle doit permettre de compenser la dissymétrie des signaux de temps de vol. Comme nous le verrons par la suite, ce modèle permet également de prendre aisément en compte l’effet de filtrage de la distribution de vitesse qui est différent suivant les directions horizontales et verticales (cet aspect est discuté dans la section suivante).

Nous réalisons alors un ajustement des mesures par une fonction temporelle s_g(2) prenant en compte une distribution initiale de la forme :

g_σ⁽²⁾ v1,σv2,∆v(v) = √^A1 2πσ_v1^e  − v2 2σ2_v1  +√^A2 2πσ_v2^e  −^(v−∆v)2 2σ2_v2 

où A₁ et A₂ sont les amplitudes des deux distributions gaussiennes, σ_v1et σ_v2 leurs demi-largeurs à 1/√

e et ∆v leurs différence de vitesse centrale. Ce paramètre ∆v peut ainsi rendre compte de la différence du temps d’arrivée moyen des atomes des deux distributions. L’ajustement des données expérimentales par la fonction s_g(2)(t) est représenté figure 4.20.

FIG. 4.20 – Ajustement du temps de vol pour la source vanille à la descente par la fonction s_g(2)(t) prenant en compte une distribution initiale de vitesse doublement gaussienne. Nous représentons également les signaux de temps de vol obtenus si les deux distribution de vitesse initiale étaient lancées indépendamment. Nous observons ainsi que le temps de vol peut être décrit par environ40% d’atomes froids (σ_v1≈ 2,5 v_rec) et environ60% d’atomes moins froids (σ_v2 ≈ 5,3 v_rec).

Cette fonction rend très bien compte de l’allure de l’ensemble du temps de vol. Les paramètres d’ajustement de sg2(t) révèlent que 40 % des atomes détectés peuvent être décrits par une distribution initiale de largeur ≈ 2, 5 v_rec et 60 % par une distribution de largeur ≈ 5, 3 v_rec. Notons que dans cet approche, les atomes plus chauds arrivent en avance par rapport aux autres ce qui indique qu’ils sont lancés avec une vitesse initiale moins importante (différence de vitesse 2,3 mm.s⁻¹). Nous sup-posons que ces atomes décrochent lors de l’étape de refroidissement adiabatique dans le référentiel en mouvement.

Utilisation de transitions Raman

Il est possible de mesurer directement la distribution de vitesse des atomes en utilisant des transi-tions Raman π contre-propageantes sélectives en vitesse. En diminuant l’intensité du faisceau d’inter-rogation, nous obtenons des durées d’impulsions τπ permettant de sélectionner une classe de vitesse très étroite du nuage. En balayant la fréquence du faisceau Raman, nous obtenons ainsi un profil directement relié à la distribution de vitesse des atomes.

Cette mesure est tout d’abord réalisée avec des faisceaux Raman verticaux afin de pouvoir com-parer avec les résultats obtenus par temps de vol. La figure 4.21 montre le résultat de cette expérience avec des impulsions d’une durée de τ_π = 180 µs sur la source V.

FIG. 4.21 – Probabilité de transition en fonction de la fréquence pour une interrogation des atomes par une impulsionπ contre-propageante de 180 µs réalisée environ 13 ms avant l’apogée de la tra-jectoire sur la source V (en configuration verticale). Nous observons plusieurs résidus de transitions copropageantes : l’un correspondant à une transition∆M_f = 0 à une fréquence prise comme réfé-rence, les autres correspondants à des transitions∆M_f 6= 0. Les deux transitions contre-propageantes reflètent la distribution de vitesse des atomes.

Dans cette configuration Raman, nous réalisons l’impulsion π décalée d’environ 13 ms par rapport au sommet de la trajectoire afin de séparer les transitions Raman associées à k_{ef f}⁺ et k_{ef f}⁻ . Ceci permet également d’éloigner ces transitions contre-propageantes des résidus de transitions copropageantes (0,0) et (0,1) (transitions magnétiques) visibles figure 4.21.

Comme précédemment, nous utilisons le modèle de distribution doublement gaussienne afin d’ex-pliquer l’allure de ces données. L’obtention du signal de probabilité de transition à partir d’un atome de classe de vitesse v est ici plus complexe que dans le cas d’un signal de temps de vol car il convient de tenir compte de la forme gaussienne du faisceau Raman d’interrogation.

Nous réalisons une simulation de Monté Carlo tirant au hasard des atomes dont la vitesse ini-tiale est donnée par une double loi de Maxwell Boltzmann de largeurs et d’amplitudes relatives obtenues par les mesures par temps de vol. La probabilité de transition est alors calculée en tenant compte de la position de ces atomes à l’instant de l’impulsion dans le faisceau Raman de profil gaus-sien. Le résultat de cette simulation pour l’une des deux transitions contre-propageantes de la figure 4.21 est représenté en rouge sur la figure 4.22. Nous remarquons que la courbe simulée rend alors très bien compte de la forme des données expérimentales.

Il est possible de réaliser le même type d’expérience dans la direction horizontale. La figure 4.23 représente ainsi le résultat du balayage du désaccord Raman lors d’une impulsion π contre-propageante de 135 µs réalisée à l’apogée de la source V au voisinage de la transition utilisant k_{ef f}⁺ .

Nous remarquons que dans cette configuration le résidu de transition Raman copropageante 0,1 est très proche de la transition contre-propageante et ne peut être éloigné car le désaccord de la transition contre-propageante est fixé par la valeur d’inclinaison du faisceau d’interrogation.

FIG. 4.22 – Mesure de la probabilité de transition en fonction de la fréquence pour l’une des deux transitions contre-propageantes représentées 4.21 (cercles noirs). Nous représentons également le résultat d’une simulation de Monte Carlo rendant compte de l’allure de ces données expérimentales (trait rouge). Nous utilisons comme loi de tirage une double loi de Maxwell Boltzmann de largeurs et d’amplitudes relatives obtenues par les mesures par temps de vol. La simulation rend bien compte de l’allure des résultats expérimentaux.

FIG. 4.23 – Probabilité de transition en fonction du désaccord Raman lors d’une impulsion π contre-propageante de 135µs réalisé à l’apogée de la source V. Nous utilisons ici une simulation de Monte-Carlo prenant comme loi de tirage une unique distribution de Maxwell-Boltzmann de largeur ≈ 2.1 v_rec. Cette simulation rend bien compte de l’allure du signal mesuré.

L’allure de la distribution de vitesse ainsi mesurée est différente de celle obtenue en configuration verticale. Il est en effet impossible d’ajuster le signal en utilisant la même simulation de Monte-Carlo partant d’une distribution de vitesse initiale double Gaussienne. Par contre, nous observons que le signal peut être décrit par une simulation partant d’une distribution simplement Gaussienne de largeur ≈ 2, 1 vrec.

La différence entre les résultats obtenues dans les deux directions peut s’expliquer par le fait que dans la direction horizontale, la distribution de vitesse est filtrée au niveau de la détection par la largeur finie (1 cm) du faisceau sonde. Les atomes les plus chauds ne sont ainsi pas détectés (cet aspect sera abordé dans la section suivante).

En partant de ces résultats expérimentaux, nous pouvons en conclure qu’il est possible de décrire de manière satisfaisante la distribution de vitesse initiales par une somme de deux gaussiennes, l’une représentant une part d’atomes froids de dispersion d’environ 2,5 v_rec, l’autre représentant une part d’atomes plus chauds de dispersion d’environ 5 vrec. Ce modèle permet d’expliquer aisément la diffé-rence entre les mesures de distribution de vitesses dans les directions verticale et horizontale, où seuls les atomes les plus froids sont détectés.

Température atomique.

En partant de l’hypothèse d’une distribution simplement Gaussienne pour les atomes les plus froids, il est alors possible d’obtenir la température T associée par :

T = ^{M σ}

2 v

k

où M est la masse d’un atome et k la constante de Boltzmann. Avec une valeur σ_v ≈ 2,5 v_rec on trouve une température :

T ≈ 1.2 µK

Cette valeur est comparable avec celles habituellement obtenues avec ce type de refroidissement [Bize 2001].

Dans la section suivante, nous nous intéressons au nombre d’atomes lancés et détectés à la sortie de l’interféromètre ainsi qu’a la stabilité de cette valeur.