Description du modèle

Le modèle est à deux dimensions, dans le plan radial-axial (__@ , __°). Les électrons sont considérés comme un fluide tandis que les ions et les neutres ont une description particulaire. On supposera également que les électrons sont décrits par une fonction de distribution maxwellienne. Nous résumons dans cette partie les étapes de calcul successives de ce modèle se déroulant à chaque pas de temps.

Chaque pas de temps débute avec la connaissance du champ électrique F, de la température électronique et de la position des ions et des neutres, donc de leurs densités (respectivement 1_* = 1 , et 1 ). Le nombre d’ions produits par ionisation par unité de volume et par unité de temps, 1 1 T_*M( ) est calculé en supposant la fonction distribution des vitesses électroniques Maxwellienne. La nouvelle position des ions est calculée à partir du champ électrique en prenant en compte le terme de production des ions par ionisation et les pertes aux parois. La densité électronique 1 et le flux d’ions H = 1 8 (8 étant la vitesse moyenne des ions) sont donc connus à l’issu du pas de temps. La position des atomes est également calculée en prenant en compte les collisions avec les parois, l’ionisation et la création de neutres aux parois due aux recombinaisons en surface des ions avec les électrons.

Connaissant la densité électronique et le champ électrique, la température électronique est calculée en intégrant l’équation d’énergie pour les électrons (équation (I.28)) sur un pas de temps. En posant 7 =^NT , l’énergie moyenne des électrons, l’équation de l’énergie peut s’écrire, dans notre cas de figure :

91 7

9 +⁵3 < ∙ (H^{h7 ) + < ∙ p = −F ∙ Hh+ 1 IÁÃ− 1 Π − 1 u (V.1)} I_ÁÃ est la puissance absorbée par électron due au couplage inductif dans la chambre d’ionisation. u représente les pertes d’énergie aux parois. H_J s’exprime à partir de l’équation

de dérive-diffusion (I.13) :

H_h= −1 V F − V <(1 ) (V.2)

< ∙ (H − H_h) = 0 (V.3)

Les équations (V.2) et (V.3) permettent d’exprimer le potentiel électrique comme : < ∙ (1 V <Φ) = −< ∙ (H − V <(1 )) (V.4)

La mobilité V est une grandeur tensorielle. Comme nous l’avons montré dans le chapitre I, la mobilité V_∥ le long des lignes de champ magnétique est très grande devant la mobilité V_a dans la direction perpendiculaire aux lignes de champ. L’équation du potentiel électrique (V.4) est donc fortement anisotrope. Pour faciliter sa résolution, les directions perpendiculaires et parallèles aux lignes de champ magnétique sont traitées séparément.

Direction parallèle aux lignes de champ magnétique :

Dans la direction parallèle aux lignes de champ magnétique, on utilise « l’approximation de Morozov » [Morozov 2000] qui suppose que la force due au champ électrique est compensée par la force due au gradient de pression cinétique. On a donc :

H_J,∥ = −1 V _,∥F_∥− V _,∥<_∥(1 ) ≈ 0 (V.5)

L’équation (V.5) permet d’exprimer le potentiel comme :

Φ(e, •) = Φ∗(Œ) + (Œ)ln (1 (e, •)/1 ) (V.6)

avec 1 , une densité de référence, et Φ∗(Œ) et (Œ) dépendant uniquement de la fonction de courant Œ (constante le long des lignes de champ magnétique).

Direction perpendiculaire aux lignes de champ magnétique :

Dans la direction perpendiculaire aux lignes de champ magnétique, le problème devient uni-dimensionnel si l’on intègre les équations le long des lignes de champ magnétique. Le flux des électrons dans cette direction H_h,a peut alors s’écrire comme :

H_h,a= edV_a1<_aΦ − edV_a<_a(1 ) (V.7)

avec ∇_a, l’opérateur gradient à travers les lignes de champ magnétique. L’intégration de cette équation le long des lignes de champ magnétique et l’utilisation de l’équation de continuité du courant permettent d’obtenir une équation différentielle du premier ordre pour le potentiel Φ.

Transport des électrons à travers les lignes de champ magnétique :

Comme nous l’avons vu dans le chapitre I, le coefficient de mobilité dans la direction perpendiculaire au champ magnétique V_a≈ ./(ℎ R _†-) n’est pas suffisant pour expliquer les résultats expérimentaux. Dans la plupart des modèles hybrides de propulseur de Hall, on utilise une fréquence de collision effective empirique pour décrire le rôle des turbulences ou des interactions électron-paroi sur le transport à travers les lignes de champ magnétique.

On peut ainsi réécrire l’expression du coefficient de mobilité anormale (équation (I.71)) comme :

V _a ≈ _.d^{R CC} (V.8)

R _CC, la fréquence de collision effective, s’écrit :

R _CC = R _†-+ R_%+ R + R_• (V.9)

avec R_%, la fréquence de collision coulombienne électron-ion, R , la fréquence de collision décrivant les effets des interactions « électron-paroi », et R_•, la fréquence de collision représentant l’effet des turbulences. R et R_• s’expriment respectivement comme :

R = • × 10¤ †m et R_• = ₁₆^{g .d} (V.10)

En accord avec la plupart des simulations déjà effectuées ([Hagelaar 2002] [Bareilles 2004] [Boeuf 1998] [Hagelaar 2003]), les paramètres ajustables • et g sont choisis tels que : • = 1 et g = 0 à l’intérieur du canal et dans la chambre d’ionisation ; • = 0 et g = 1 en dehors du propulseur. En suivant ces hypothèses, la fréquence de collision effective et la mobilité des électrons en dehors du propulseur sont plus grandes qu’à l’intérieur du canal avec une discontinuité à l’entrée du canal.

Dans l’équation de l’énergie pour les électrons (V.1), le terme de perte d’énergie lié aux collisions des électrons avec les parois s’écrit sous la forme 1 u avec u = 7 R et R , une fréquence de perte d’énergie. Cette fréquence de perte d’énergie peut être déduite des modèles de gaine prenant en compte l’émission secondaire d’électrons aux parois (discuté dans [Boeuf 2017]). Il y a encore des questions quant à la validité de ces modèles [Boeuf 2017], et nous préférons utiliser un modèle plus simple, empirique, dans lequel la fréquence de perte d’énergie est supposée être de la forme R = 2 × 10m¤exp (−M/7 ) avec 2 = 0.5 à l’intérieur du canal et dans la chambre d’ionisation, 2 = 0 en dehors du propulseur, et M = 20 . . Les valeurs des coefficients permettant de modéliser le transport anormal (•, g, et 2) sont cohérentes avec les valeurs déjà utilisées pour les simulations des propulseurs de Hall simple étage. Cependant, elles n’ont pas encore été ajustées pour reproduire au mieux les mesures expérimentales sur le propulseur ID-HALL.

Couplage inductif :

Le couplage inductif dans la chambre d’ionisation est décrit dans ce modèle par l’ajout d’une puissance globale _ÁÃ transmise aux électrons, avec une densité de puissance absorbée par électron notée I_ÁÃ (terme apparaissant dans l’équation de l’énergie des électrons (V.1)). Le profil spatial de I_ÁÃ utilisé dans ces simulations suit une fonction gaussienne en e et •. La Figure V.1 reprend la vue en coupe du propulseur ID-HALL sur laquelle est notamment représenté le profil spatial de I_ÁÃ (demi-plan supérieur).

Cette distribution est compatible avec l’épaisseur de peau d’environ 5 mm attendue dans un plasma d’une densité de 10m ³ †N. I_ÁÃ est normalisé après chaque pas de temps de la simulation de sorte à conserver une puissance totale RF absorbée constante. Cette puissance, notée _ÁÃ s’exprime par :

ÁÃ = N I_ÁÃ(e, •)1 (e, •)2ve e •

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