2.4 Modèle électrique du système physique
2.4.2 Description des composants électriques du circuit équivalent
L’objectif de cette partie est de définir les composants électriques qui seront utilisés dans la modélisation par circuit équivalent.
2.4.2.1 Résistance R et constante de cellule
Nous avons vu qu’une résistance R modélise un conducteur parfait (2.2.1). Considérons donc un
conducteur parfait, de conductivité σ (S.m-1), de longueur l (m) et de section surfacique S (m2). Sa résistance R se détermine suivant la formule :
𝑅 =1𝜎𝑆𝑙 (2.27)
Expérimentalement, cette formule dépend cependant des électrodes avec lesquelles cette mesure est faite. Si celles-ci présentent par exemple une large section surfacique S par rapport à leur longueur l, cette
formule peut être utilisée. Plus généralement, celle-ci n’est valable que dans le cas idéal où la forme géométrique du système électrode-matériau (ou électrode-électrolyte) vérifie les hypothèses suivantes :
• Le champ électrique est uniforme sur la longueur du matériau (ou électrolyte) • Les effets de bord aux électrodes peuvent être négligés.
Or, les éléctrodes interdigitées coplanaires avec lesquelles nous effectuons nos mesures d’impédance ne vérifient ni l’hypothèse d’uniformité du champ, tel que l’illustre la figure 2.16, ni l’hypothèse de l’absence d’effets de bord (Olthuis et al., 1995).
Figure 2.16 : Comparaison des champs électriques induits par des électrodes interdigitées coplanaires avec deux doigts, qui est fortement hétérogène (a), et par deux électrodes l’une en face de l’autre, uniforme (b). En conséquence, afin de pouvoir calculer la résistance du matériau/de électrolyte en utilisant des électrodes aux géométries complexes, il est nécessaire d’introduire un facteur géométrique dépendant des dimensions du capteur appelé constante de cellule et noté К (m-1). R peut alors se déterminer suivant la formule :
𝑅 =𝜎κ (2.28)
La valeur de К peut être déterminée de 2 façons :
• Expérimentalement : la valeur de la résistance mesurée est multipliée par la valeur de conductivité du matériau/de électrolyte mesuré avec un conductimètre, suivant ainsi l’équation (2.28).
• Théoriquement : Van Gerwen et al. ont établi une formule basée sur une transformée conforme dite de Schwarz-Christoffel (Olthuis et al., 1995). Une transformée conforme
consiste à modifier la forme d’un plan pour simplifier certains calculs en utilisant des rotations, des redimensionnements, des étirements ou des courbures. En l’occurrence, la transformée de Schwarz-Christoffel permet de changer le demi-plan au-dessus des électrodes présenté dans la figure 2.16a en un rectangle tel que présenté dans la figure 2.16b dans lequel les calculs de résistance et de capacité sont simplifiés. Cette formule a été développée pour être appliquée à un réseau circulaire d’électrodes interdigitées par Houssin et al. (Houssin et al., 2010) :
𝜅 = 1 2 ∑ 𝑅�1 − �𝑠(𝐿𝑒𝑒+ 𝐸𝑒𝑒) 𝑅 � 2 𝑁 2−1 𝑖=1 𝐾(𝑘) 𝐾(√1 − 𝑘2) (2.29)
Avec К la constante de cellule (en m-1), N le nombre de doigt, R le rayon du réseau circulaire (en m), Lel la largeur de chaque doigt (en m) et Eel l’espacement entre eux (en m). K(k) et k désignent respectivement l’intégrale elliptique complète du 1er ordre et le module et ne doivent pas être confondus avec la constante de cellule К (kappa). Le
module k a pour expression :
K(k) n’a pas de solution analytique mais il peut être utile d’en avoir des approximations
numériques afin d’obtenir une valeur de constante de cellule. Hilberg en décrivait plusieurs méthodes, dépendante de la valeur de k2 (Hilberg, 1969). Introduisons la variable k’ telle que :
𝑘′ = 𝑠𝑠𝑠 �𝜋2𝐿 𝐿𝑒𝑒
𝑒𝑒+ 𝐸𝑒𝑒� (2.31)
Ainsi, pour 0 < k2 < 0,5, nous obtenons l’approximation suivante : 𝐾(𝑘) 𝐾(𝑘′) = 𝜋 𝑙𝑠 �2 1 + √𝑘′ 1 − √𝑘′� (2.32) Et pour 0,5 < k2 < 1 : 𝐾(𝑘) 𝐾(𝑘′) = 1 𝜋 𝑙𝑠 �2 1 + √𝑘 1 − √𝑘� (2.33)
2.4.2.2 Condensateur de capacité C
D’un point de vue fondamental, un condensateur d’une capacité C est un élément capable de stocker
des charges. Un condensateur est créé dès que deux conducteurs sont séparés par un diélectrique. L’unité de C est le Farad (F).
Considérons deux armatures conductrices, de surface S (m2) et séparées d’une distance d (m) par un diélectrique parfait, de permittivité relative εr. La valeur de C se détermine à partir de la formule suivante :
𝜔 = 𝜀0𝜀𝑟𝑆𝑑 (2.34)
Où ε0 correspond à la permittivité du vide (8,54187.10-12 F.m-1). Similairement au calcul d’une résistance, cette formule n’est valable que dans le cas où les armatures présentent une géométrie permettant de considérer un champ électrique uniforme et de négliger les effets de bord. Pour les géométries plus complexes auxquelles ces hypothèses ne s’appliquent pas, la formule (2.34) peut être adaptée pour inclure la constante de cellule К (m-1) définie au 2.4.2.1 :
𝜔 = 𝜀0𝜀𝑟1𝜅 (2.35)
2.4.2.3 Inductance L
D’un point de vue général, l’inductance d’un circuit électrique traduit le fait qu’un courant le traversant crée un champ magnétique à travers la section entourée par ce circuit. L’inductance est ainsi égale au quotient de ce flux magnétique par l’intensité du courant le traversant. L’unité de l’inductance est le Henry (H).
Par extension, une inductance désigne tout composant électrique qui par sa construction à une valeur d’inductance. Ces composants peuvent être des bobines (ou selfs) mais également des câbles.
L’impédance d’une inductance ZL se détermine à partir de la formule suivante :
2.4.2.4 Elément à phase constante CPE
Comme nous l’avons vu, les composants électriques standards que sont la résistance, le condensateur et l’inductance modélisent des comportements électriques idéaux. Ils sont ainsi souvent inadaptés pour reproduire la réponse en impédance de matériaux réels ou d’objets biologiques à toutes les fréquences. Une meilleure corrélation peut souvent être obtenue en utilisant des composants empiriques non-idéaux, i.e. dont le comportement dépend de la fréquence. Plus particulièrement, cette dépendance fréquentielle peut être modélisée de sorte que la phase de la fonction d’impédance soit indépendante de la fréquence. Un tel élément est appelé Elément à Phase Constante (CPE).
Son origine remonte aux travaux qui ont été faits pour développer le modèle dit de Debye concernant les phénomènes de relaxation se produisant dans un matériau diélectrique. Celui-ci se base sur l’hypothèse que les phénomènes de polarisation (voir 2.2.2.2) ne sont gouvernés que par des cinétiques de premier ordre, sans prendre en compte les forces de rappel visqueuses, et présentent donc un unique temps de relaxation. Ceci se traduit par la formule de Debye :
𝜀(𝜔) − 𝜀∞ =1 + 𝑗𝜔𝜏𝜀𝑠− 𝜀∞ (2.37)
Où εS est la permittivité statique du matériau (en F.m-1), ε∞ sa permittivité en hautes fréquences (en F.m-1) et τ son temps de relaxation (en s) (voir définitions dans le paragraphe 2.2.2.2).
En pratique, peu de systèmes vérifient cette équation avec exactitude. Des efforts ont ainsi été effectués pour étendre le modèle de Debye à des matériaux présentant plusieurs temps de relaxation. Ainsi, en utilisant une distribution de temps de relaxation appropriée, il est possible de modéliser la réponse plus complexe de la plupart des matériaux diélectriques réels.
Soit G(τ) une fonction de distribution de temps de relaxation. La formule générale adaptant le modèle
de Debye pour inclure une distribution de temps de relaxation s’écrit : 𝜀(𝜔) − 𝜀∞= � 1 + 𝑗𝜔𝜏𝜀𝑠− 𝜀∞
∞
0 𝐺(𝜏)𝑑𝜏 (2.38)
Parmi les fonctions de distribution existantes, une des plus utilisées est celle proposée par Cole et Cole (Cole et Cole, 1941) pour décrire la dépression du demi-cercle du diagramme de Nyquist observée lors de mesures effectuées sur une grande variété d’électrolytes en comparaison au diagramme de Nyquist d’un circuit RC parallèle (voir 2.2.5.3), telle que l’illustre la figure 2.17.
Figure 2.17 : Illustration d’un diagramme de Nyquist d’un circuit RC parallèle et de la dépression du demi-
0 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 Circuit RC parallèle Mesures expérimentales -Z '' ( Ω ) Z' (Ω) Diagramme de Nyquist Dépression du demi-cercle de Cole-Cole
La formule de Cole-Cole décrit une distribution de type gaussienne de temps de relaxation, centrée sur un temps de relaxation τ, qui s’écrit :
𝜀(𝜔) − 𝜀∞ =1 + (𝑗𝜔𝜏)𝜀𝑠− 𝜀∞1−𝛼 (2.39)
Où le paramètre α définit la largeur de cette fonction gaussienne. Cole et Cole signalèrent alors que la réponse diélectrique décrit par cette équation peut être décomposée en un circuit équivalent. En effet, en multipliant chaque membre par la constante de cellule К, nous obtenons :
𝜔(𝜔) = 𝜔1+1 + (𝑗𝜔𝜏)𝜔2 1−𝛼 (2.40)
Avec C(ω) = Кε(ω), C1 = Кε∞ et C2 = К(εS- ε∞). Si nous définissons τ = (PC2)1/(1-α), où R désigne une constante, et que nous multiplions les deux membres par jω, alors nous obtenons :
𝑌(𝜔) = 𝑗𝜔𝜔1+1 + 𝑃𝜔𝑗𝜔𝜔2
2(𝑗𝜔)1−𝛼 (2.41)
Avec Y(ω) correspondant à l’admittance du circuit équivalent (égale à 1/Z(ω)) représenté figure 2.18,
contenant un CPE, celui-ci ayant pour impédance :
𝑍𝐶𝐶𝐶=𝑃(𝑗𝜔)1 𝑛 (2.42)
Où n (égal à α) correspond à l’indice du CPE (sans unité) et P son amplitude (en S.sn). Cet élément comprend une partie réelle Z’CPE et une partie imaginaire Z’’CPE qui ont pour forme :
𝑍′𝐶𝐶𝐶 =𝑃𝜔1𝑛cos �𝑠𝜋2� (2.43)
𝑍′′𝐶𝐶𝐶=𝑃𝜔1𝑛sin �𝑠𝜋2� (2.44)
L’indice n est compris entre -1 et 1 et nous pouvons remarquer que : • Si n = 1 : le CPE devient une capacité
• Si n = 0 : le CPE devient une résistance • Si n = -1 : le CPE devient une inductance
Enfin, nous pouvons ajouter que la loi de Fricke (Grimnes et Martinsen, 2000) permet de relier la phase φ du CPE et son indice n avec la formule :
𝜑 = 𝑠𝜋2 (2.45)
2.4.2.5 Tableau récapitulatif
Le tableau 2.2 présente pour chaque élément de circuit équivalent le symbole associé et rappelle les formules permettant le calcul de leur valeur et de leur impédance.
Elément Symbole Valeur Impédance
Résistance
𝑅 =
κ
𝜎
𝑍
𝑅(𝜔) = 𝑅
Capacité ou
condensateur
𝜔 =𝜀
0κ𝜀
𝑟𝑍
𝐶(𝜔) =𝑗𝜔𝜔 = −𝑗1
𝜔𝜔1
Inductance composant considéré Dépendante du
(Grover, 2004)
𝑍
𝐿(𝜔) = 𝑗𝐿𝜔
Elément à phase constante CPE - 𝑍𝐶𝐶𝐶= 1 𝑃(𝑗𝜔)𝑛Tableau 2.2 : Représentation et formules associées aux éléments électroniques standards. Avec : К : constante de cellule (m-1), facteur géométrique dépendant des dimensions du capteur
(voir 2.4.2.1).
σ : conductivité du système étudié (en S.m-1)
εr et ε0: respectivement la permittivité relative du système et la permittivité du vide (8,54187.10-12F.m-1).