Pr´ec´edemment, les relations d’´equilibre suivantes ont ´et´e d´etermin´ees : (
n0eℓe+ n0fxℓ1 = n0aℓ0+ n0fxℓ2 n0eℓe+ n0fyℓ1 = n0aℓ0 + n0fyℓ2
et ont conduit aux expressions relatives aux d´ephasages des ondes lors de leur par- cours dans les diff´erents bras de l’interf´erom`etre :
(
φx0(σ) = 4πσ [βx(σ)ℓe− βa(σ)ℓa+ βf(σ)(ℓ1− ℓ2)] φy0(σ) = 4πσ [βy(σ)ℓe+ Bℓe− βa(σ)ℓa+ βf(σ)(ℓ1− ℓ2)]
(2.38) Ce sont ces d´ephasages qui contiennent l’information sur la bir´efringence et la dis- persion chromatique de l’´echantillon sous test. En effet :
∆φ = φy0(σ)− φx0(σ)
= 4πσℓe[βy(σ)− βx(σ) + B]
(2.39) Exp´erimentalement, il est possible de v´erifier que nous sommes ´eloign´es des zones d’absorption. Cela permet de simplifier le d´eveloppement limit´e donn´e par l’´equation
1.12 en : βx(σ) = dny(σ) dσ σ0 (σ− σ0) = ˜βx(σ− σ0) βy(σ) = dny(σ) dσ σ0 (σ− σ0) = ˜βy(σ− σ0) (2.40)
En int´egrant ces termes `a l’´equation 2.39, ∆φ s’exprime par :
∆φ = 4πℓe(B− ∆β σ0)σ + 4π∆βℓeσ2 (2.41)
avec ∆β = ˜βy− ˜βx. On s’attend ainsi `a ce que la diff´erence de phase suivant les lignes neutres de l’´echantillon ´evolue en fonction du nombre d’onde comme un polynˆome du second degr´e. Pour d´eterminer les caract´eristiques de l’´echantillon, il est donc n´ecessaire d’ajuster la diff´erence de phase mesur´ee avec une fonction parabolique : a0+ a1σ + a2σ2. Il est alors possible d’identifier chacun des termes en fonction des param`etres de la fibre : ∆β = a2 4πℓe B = a1+ a2σ0 4πℓe (2.42)
En pratique, la r´eelle difficult´e provient du fait que la relation 2.36 donne acc`es `a cos ∆φ et non pas ∆φ. Cela implique qu’il faut utiliser une fonction trigonom´etrique inverse pour d´eterminer ∆φ, avec les probl`emes de repliement des donn´ees dans l’intervalle [-π ;π] que cela comporte. Pour exploiter les mesures, il est donc n´ecessaire de proc´eder `a un red´eploiement de la phase, ce qui fait l’objet du chapitre suivant.
2.4
En r´esum´e
L’objectif de ce chapitre ´etait la mise en œuvre d’une m´ethode de d´etermination des param`etres caract´eristiques d’un ´echantillon sous test avec le minimum de me- sures possibles. Le formalisme de Jones nous a permis d’int´egrer la polarisation `a la th´eorie du r´eflectom`etre et de d´eterminer les intensit´es obtenues pour trois pola- risations diff´erentes inject´ees dans le composant. L’orientation des axes propres de l’´echantillon ainsi que le param`etre permettant d’acc´eder `a la bir´efringence et `a la diff´erence de dispersions chromatiques ont alors ´et´e exprim´es en fonction de ces trois polarisations.
Chapitre
3
´
Etude num´erique
Sommaire
3.1 M´ethodologie . . . 64 3.2 Production des interf´erogrammes . . . 66 3.3 Extraction des param`etres . . . 68 3.3.1 Probl`eme de normalisation . . . 68 3.3.2 D´etermination des param`etres . . . 69 3.3.3 D´eroulement de la phase . . . 71 3.4 R´esultats . . . 74 3.4.1 Sans dispersion chromatique . . . 74 3.4.2 Avec dispersion chromatique . . . 77 3.5 En r´esum´e . . . 91
Dans le chapitre pr´ec´edent, la polarisation a ´et´e introduite dans la th´eorie du r´eflectom`etre et une m´ethode permettant d’obtenir les diff´erents param`etres remar- quables de la fibre test´ee en injectant diff´erents ´etats de polarisation a ´et´e expos´ee. Pour se donner une premi`ere id´ee de la validit´e de cette m´ethode et estimer les erreurs commises, nous avons adopt´e une approche num´erique et statistique du probl`eme. Des interf´erogrammes ont ´et´e simul´es, puis bruit´es pour prendre en compte le bruit pr´esent lors des mesures effectu´ees avec le r´eflectom`etre. Le programme permettant de calculer la bir´efringence a alors ´et´e appliqu´e `a l’analyse de ces interf´erogrammes bruit´es. Les r´esultats de cette ´etude sont pr´esent´es dans ce chapitre.
3.1
M´ethodologie
Pour tester la validit´e de la m´ethode et la sensibilit´e du programme que nous avons mis au point, il est n´ecessaire de r´ealiser une ´etude statistique. Les inter- f´erogrammes d’entr´ee du programme vont donc ˆetre simul´es num´eriquement. Un bruit blanc va ˆetre appliqu´e sur ces interf´erogrammes num´eriques afin de simuler des r´esultats exp´erimentaux. Les valeurs n´ecessaires `a la construction des interf´ero- grammes seront not´ees valeurs th´eoriques par la suite et serviront de r´ef´erence pour calculer les erreurs sur les variables.
Lors de campagnes de mesures, une succession d’acquisitions sont effectu´ees sur un mˆeme ´echantillon afin d’estimer la r´ep´etabilit´e des mesures. Nous devons repro- duire ce processus dans nos simulations. Dans le programme mis au point, nous int´egrons une proc´edure permettant de cr´eer un millier de fichiers suivant l’algo- rithme d´ecrit figure 3.1. Les trois interf´erogrammes correspondant aux trois ´etats de polarisation de la formule 2.36 sont cr´e´es et leurs maxima sont d´etermin´es. Ces derniers sont alors bruit´es une dizaine de fois pour obtenir ainsi dix mesures exp´erimentales simul´ees, le calcul des transform´ees de Fourier appliqu´e sur ces dif- f´erents r´esultats. La moyenne de ces dix transform´ees de Fourier obtenues pour les trois polarisations sont calcul´ees et rentr´ees dans les relations 2.36 pour donner αexp, Bexpet ∆φexp. Cette proc´edure est appliqu´ee une centaine de fois avec le mˆeme pour- centage de bruit, ce qui donne lieu `a une centaine de valeurs pour chaque param`etre calcul´e αexp, Bexp et ∆φexp.
Calcul de
Transformées de Fourier calculées sur x10 x100 ∆φj Redéploiement et ajustement de ∆βj puis calcul de B j et αj ∆φj Calcul de et δα
σ , σ
δB etσ
δ∆βδ
Bjδ
∆β jδ ,
αj<δ >,
α j<δ >
B j<δ >
∆β j Ajout du bruit à chaque valeur de I(z)Calcul de la tranformée de Fourier moyenne des 10 TF précédemment calculées
j+1 Simulation des trois
interférogrammes I(z)
et de
Calcul de et
et les trois interférogrammes bruités
interf´erogrammes sont rentr´ees dans le programme et permettent de calculer les erreurs δ pour chacun des param`etres :
δα = | αth− αexp | δB = | Bth− Bexp | δ∆β = | ∆βth− ∆βexp | (3.1)
Les r´epartitions de la centaine de valeurs obtenues sur chacun des param`etres sont trac´ees. Si ces r´epartitions suivent une loi normale, cela implique que, si une mesure bruit´ee prise au hasard parmi la centaine de valeurs obtenues est consid´er´ee, celle-ci a 99 % de chance d’ˆetre comprise dans l’intervalle d´efini par trois fois l’´ecart type σδ autour de sa valeur moyenne. Par la suite cet intervalle sera utilis´e comme d´efinition de l’erreur, avec :
σδα = q
< (δα)2 >100 − (< δα >100)2 (3.2) o`u < (δα)2 >100 repr´esente la valeur moyenne de (δα)2 pour la centaine d’it´erations effectu´ees. Les erreurs sur les autres variables du probl`eme seront d´efinies de mani`ere analogue.