Caract´erisation locale des r´eseaux de Bragg

La r´eflectom´etrie en lumi`ere faiblement coh´erente est particuli`erement adapt´ee `a la caract´erisation de r´eseau de Bragg [6, 7, 8, 9, 26, 41, 56, 62, 63]. Durant ma th`ese, des mesures r´eflectom´etriques dans le cadre du stage de master 2 de N. Daher ont ´et´e r´ealis´ees. L’objet de ce stage ´etait d’´etudier les d´eformations au sein d’une pi`ece en mat´eriau composite [12].

Depuis les ann´ees quatre-vingt dix, de nombreuses recherches [32, 35, 57] ont permis de d´evelopper et de mettre au point de nouveaux syst`emes de capteurs op- tiques `a base de r´eseaux de Bragg. Ces composants sont d’excellents transducteurs : ils sont tr`es sensibles aux variations de temp´erature, de pression et de d´eformation. De plus, leur petitesse leur conf`ere une faible intrusivit´e et permet d’effectuer des mesures d´eport´ees et distribu´ees le long d’une fibre optique. Ils peuvent ´egalement ˆetre utilis´es en environnement s´ev`ere grˆace `a leur insensibilit´e aux perturbations ´electromagn´etiques et leur bonne r´esistance `a la corrosion et `a la fatigue. Grˆace `a ces nombreux avantages, les syst`emes de capteurs `a base de r´eseaux de Bragg trouvent aujourd’hui de nombreuses applications de mesure, de d´etection, de sur- veillance dans les domaines du g´enie civil [20, 21, 38], , de l’a´eronautique, de la construction marine, de l’industrie p´etroli`ere [20, 21, 33, 38, 58]...

Un r´eseau de Bragg fibr´e est obtenu en irradiant avec un laser UV une fibre op- tique pr´ealablement hydrog´en´ee pour augmenter sa photosensibilit´e [29]. Des franges

d’interf´erences produites par un dispositif interf´erentiel sont projet´ees dans le cœur de la fibre pour y inscrire une modulation longitudinale d’indice qui suit la modula- tion d’intensit´e lumineuse :

n(z) = neff + ∆ndc(z) + ∆nac(z) cos  2π Λ0 z + 2π Λ2 0 Z z 0 (Λ(z′_{)− Λ} 0) dz′  (1.32) o`u neff est l’indice effectif du mode qui se propage, ∆nac l’amplitude de modulation, ∆ndcl’indice effectif moyen et Λ(z) le pas de modulation. En cons´equence, les r´eseaux de Bragg r´efl´echissent une fraction de l’intensit´e lumineuse incidente, centr´ee sur la longueur d’onde de Bragg qui d´epend de l’indice du mode se propageant dans la fibre et du pas Λ de la modulation d’indice inscrite :

λB = 2neffΛ (1.33)

Les param`etres neff et Λ d´ependent lin´eairement de la temp´erature et de la d´eformation appliqu´ees le long du r´eseau. Pour mesurer une variation uniforme de la temp´erature ∆T et de la d´eformation longitudinale

ǫ

`a l’aide d’un r´eseau de Bragg, il suffit donc de d´eterminer le d´ecalage de la longueur d’onde de Bragg :

∆λB(∆T,

ǫ

) λB

= K∆T∆T + Kǫ

ǫ

(1.34)

K∆T et Kǫ sont des constantes qui d´ependent du coefficient d’expansion thermique, du coefficient thermo-optique, des constantes opto-´elastiques de Pockels et du coeffi- cient de Poisson de la fibre optique. Bien que l’ensemble de ces coefficients soient bien connus, ils peuvent varier l´eg`erement d’une fibre `a l’autre selon notamment sa na- ture et son proc´ed´e de fabrication. Il est donc recommand´e d’effectuer un ´etalonnage des capteurs `a base de r´eseaux de Bragg afin de d´eterminer pr´ecis´ement les coef- ficients K∆T et Kǫ. En outre, la relation 1.34 fait apparaˆıtre que les variations de temp´erature et de d´eformation ne peuvent pas ˆetre diff´erenci´ees sans l’aide d’hy- poth`eses. Dans la pratique, ∆T est en effet obtenue en s’assurant que

ǫ

est nulle et r´eciproquement. De plus, l’utilisation des capteurs `a base de r´eseaux de Bragg repose sur l’emploi d’une instrumentation de mesure capable de r´ealiser une analyse spectrale tr`es fine. En effet, pour obtenir une r´esolution de 0,1◦ _{ou de 1 µǫ, il est} n´ecessaire de mesurer un d´ecalage de la longueur d’onde de Bragg d’environ un pi- com`etre. Diff´erentes techniques [34, 75] ont ´et´e mises au point pour atteindre une telle r´esolution spectrale. Malgr´e tout, ce type d’instrumentation ne peut ˆetre utilis´e

que si la variation de temp´erature ou de d´eformation longitudinale est uniforme le long du r´eseau de Bragg car dans le cas contraire, la bande spectrale r´efl´echie par le r´eseau s’´elargit, se d´eforme et le spectre devient inexploitable. Pour mesurer des d´eformations non uniformes, il est n´ecessaire de proc´eder `a une caract´erisation locale du r´eseau. Nous allons montrer comment une telle caract´erisation peut ˆetre r´ealis´ee en associant des mesures par interf´erom´etrie en lumi`ere faiblement coh´erente (LCI) et une m´ethode inverse (algorithme du layer-peeling) [19, 56, 60, 65, 66].

Effectuer une caract´erisation locale d’un r´eseau de Bragg revient `a d´eterminer son indice effectif moyen ∆ndc(z), son amplitude de modulation ∆nac(z) et la variation de son pas de modulation Λ(z) _{− Λ}0. Les algorithmes de reconstruction mis au point pour effectuer cette tˆache sont g´en´eralement bas´es sur la th´eorie des modes coupl´es [31, 64].

En utilisant une approximation scalaire, le champ ´electrique se propageant dans la fibre ob´eit `a l’´equation d’onde s’´ecrivant :

∇2E(~r, t) = n 2_{(~r )}

c2 ∂2

∂t2E(~r, t) (1.35)

o`u n2_{(~r ) est l’indice de r´efraction et ~r(x, y, z) le vecteur position de telle sorte que} (x, y) soient les coordonn´ees transverses et z les coordonn´ees longitudinales. La fibre est suppos´ee sans pertes et monomode. Deux ondes se propageant dans des sens oppos´es peuvent alors coexister. Le champ E(~r, t) est la somme des champs de ces deux ondes :

E(~r, t) = ψ(~ρ ) e−iωt (eiβz + e−iβz) (1.36)

o`u ~ρ(x, y) est la position dans le plan transverse, β est la constante de propagation et ψ(~ρ ) le mode se propageant avec un facteur de confinement η. `A partir de l’´equation 1.35, nous obtenons :  ∇2 ⊥ −  β2₋n2eff(~r ) ω2 c2  ψ(~ρ ) = 0 (1.37) avec _∇2 ⊥= ∂2/∂x2+ ∂2/∂y2.

En supposant que les ondes se propageant dans des sens oppos´es ont des enve- loppes uf(z) et ub(z), le champ ´electrique peut alors ˆetre mis sous la forme :

E(~r , t) = φ(~ρ )e−i ωt_× nuf(z) ei[(β − δ0)z + φDC(z)] +ub(z) e−i[(β − δ0)z + φDC(z)]

o`u δ0 = β− π/Λ0 et φDC(z) = (ηπ/neffΛ0) Rz

0 ∆nDC(z

′_)dz′_{. En ins´erant cette expres-} sion dans l’´equation 1.35 combin´ee `a l’´equation 1.37 et en supposant les variations des enveloppes des champs contrepropagatifs lentes le long de la perturbation in- duite par la photoinscription du r´eseau dans la fibre [64], il est possible d’´ecrire le syst`eme d’´equations :   i∂z Ω(z) Ω∗_(z) −i∂z     uf(z) ub(z)   = −δ0   uf(z) ub(z)   (1.39)

o`u Ω(z) est le coefficient de couplage du r´eseau :

Ω(z) = ηπ 2 neffΛ0 ∆nac(z) eiΨ(z) (1.40) avec Ψ(z) =₋ 2ηπ neffΛ0 Z z 0 ∆ndc(z′) dz′− 2π Λ2 0 Z z 0 (Λ(z′₎ − Λ0) dz′ (1.41) En pratique, c’est ce coefficient de couplage que calculent les algorithmes de reconstruction. La donn´ee d’entr´ee n´ecessaire `a la reconstruction est le coefficient de r´eflexion complexe du r´eseau. Ce param`etre peut ˆetre obtenu par interf´erom´etrie en lumi`ere faiblement coh´erente.

La m´ethode de reconstruction du profil d’indice est l’algorithme du «layer pee- ling» [8, 19, 67]. Dans cet algorithme, le r´eseau est d´ecoup´e en tranches suffisam- ment fines pour que l’indice de r´efraction puisse ˆetre consid´er´e uniforme sur chaque tranche. Cet algorithme s’appuie en outre sur le fait que la r´eponse percussionnelle du r´eseau est la transform´ee de Fourier de son coefficient de r´eflexion complexe, elle est donc ais´ement calculable d`es lors que ce dernier est connu. Il est ensuite fait usage d’un argument de causalit´e stipulant que, `a un instant t, la lumi`ere n’a pas le temps de se propager au del`a d’une certaine limite ℓ(t) dans le r´eseau. Cela im- plique que seules les tranches comprises entre le d´ebut du r´eseau et ℓ(t) participent `a la r´eponse impulsionnelle h(t). `A l’instant initial, seule la premi`ere tranche contri- bue `a la r´eponse impulsionnelle. Le terme h(0) ´etant connu, la d´etermination de l’indice de la premi`ere tranche est imm´ediate. Il devient alors possible de propager les champs `a travers la premi`ere tranche, ce qui permet de calculer le coefficient de r´eflexion complexe du r´eseau amput´e de sa premi`ere tranche. Cette op´eration effectu´ee, on se retrouve dans la mˆeme situation qu’initialement. Il suffit donc de r´ep´eter la proc´edure jusqu’`a la fin du r´eseau pour d´eterminer enti`erement son profil d’indice.

La mesure d’un champ de temp´erature ou d’une d´eformation longitudinale repose sur la reconstruction de l’argument Ψ(z) du coefficient de couplage du r´eseau de Bragg par la m´ethode expos´ee pr´ec´edemment.

Tout d’abord, consid´erons qu’initialement, le r´eseau de Bragg se trouve soumis `a une temp´erature et `a une d´eformation longitudinale ´eventuellement non uniformes le long du r´eseau. Une premi`ere mesure donne Ψ0(z) la phase du r´eseau dans cet ´etat initial. Supposons qu’ensuite, la temp´erature et la d´eformation varient et notons ∆T(z) et

ǫ

(z) les ´ecarts par rapport `a l’´etat initial. Une nouvelle mesure de la phase Ψ(z) correspond alors `a ce second ´etat et Ψ(z) est reli´ee `a Ψ0(z), ∆T(z) et

ǫ

(z) par :

Ψ(z)− Ψ0(z) = Z z 0 KǫΨ

ǫ

(z′) + K∆TΨ ∆T(z ′ )
dz′ (1.42)

Comme pour la technique bas´ee sur la mesure du d´ecalage spectral, les variations de temp´erature et de d´eformation longitudinales doivent ˆetre mesur´ees s´epar´ement en s’assurant que ∆T(z) ou

ǫ

(z) ne varient pas entre l’´etat initial et final lors des mesures de la phase du r´eseau de Bragg.

Des plaques en fibres de verre ont ´et´e r´ealis´ees `a l’aide de nappes unidirection- nelles de 300g/m2<sub>. Pour permettre un d´emoulage ais´e des plaques, la stratifica-</sub> tion a ´et´e r´ealis´ee entre deux films polyester qui n’ont pas ´et´e retir´es apr`es la po- lym´erisation. Un foret de 0,4 mm de diam`etre a permis de percer les films polyester et de r´ealiser un passage entre les fibres de verre impr´egn´ees de r´esine non encore polym´eris´ee. Un r´eseau de Bragg a alors ´et´e int´egr´e `a 90˚ dans la plaque.

z (mm) Phase (rad) 9 −10 −5 0 5 10 −1 4 −15 (a) Avant z (mm) Phase (rad) 120 40 80 0 −1 4 9 (b) Apr`es

Le r´eseau a ´et´e sond´e par interf´erom´etrie et son profil d’indice a ´et´e reconstruit avant insertion dans le composite et apr`es polym´erisation de la r´esine. Les coefficients KΨ

∆T et K

Ψ

ǫ avaient ´et´e ´etalonn´es par X. Chapeleau lors de sa th`ese [6].

La figure 1.7 pr´esente la phase du coefficient de couplage du r´eseau dans ces deux ´etats. En th´eorie, tous les param`etres du r´eseau, comme le coefficient de r´eflexion, l’amplitude de modulation ou l’indice effectif moyen, sont affect´es par le retrait du mat´eriau, du profil d’indice. Mais, notre objectif ´etant de d´eterminer un gradient de d´eformation, nous focaliserons notre attention sur la phase. La polym´erisation ayant lieu `a temp´erature ambiante, le terme ∆T de la relation 1.42 est nul, la diff´erence des deux phases permet alors de d´eterminer la d´eformation du r´eseau (cf figure 1.8).

µε) Déformation ( z (mm) −4000 −2000 −1000 0 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −3000

Fig. 1.8 – D´eformation du r´eseau due au retrait de polym´erisation.

L’´evolution progressive de la d´eformation entre 0 et -2500 µε peut ˆetre li´ee au sc´enario de polym´erisation ou `a une intrusivit´e significative de la fibre. En effet, la fibre optique, bien que de diam`etre faible (125 µm), traverse un milieu qui s’est solidifi´e tout en subissant un retrait. De plus, le milieu travers´e pr´esente une rigidit´e tr`es inf´erieure `a celle de la fibre optique, ce qui peut justifier aussi la pr´esence de gradients. Les mod`eles simples de la litt´erature suppose un retrait uniforme dans l’´epaisseur, alors que la mesure a montr´e des ´evolutions importantes au voisinage des bords de la plaque. Une mod´elisation plus compl`ete incluant le r´eseau de Bragg pourrait probablement mieux expliquer cette diff´erence, mais demeure la question de la cin´etique de polym´erisation qui n´ecessiterait `a nouveau d’adopter des hy- poth`eses simplificatrices faute de donn´ees sur le sc´enario m´ecanique de solidification en pr´esence de la fibre optique.

Dans le document Réflectométrie en lumière polarisée faiblement cohérente (Page 31-37)