Détermination des paramètres d’entrée du modèle mathématique

Nous avons séparé les paramètres d’entrée en deux groupes : les paramètres de premier ordre sont les t0, tRSS1, tRSS2 et les paramètres du second ordre sont Siv, Sev et Kmodel. Les critères pour déterminer ces paramètres sont élaborés d’une façon empirique et pragmatique en étudiant le comportement du signal RSST1 issu de différentes régions cérébrales (sinus veineux, macro-vaisseaux, tissu sain controlatéral et tissu tumoral) chez la souris et le rat. La figure III.3 montre qu’avec la résolution temporelle des acquisitions RSST1 (750 ms), l’AC arrive dans les macro-vaisseaux, le tissu controlatéral et dans la tumeur U87 en même temps à t = t0. Le temps tRSS1 du début de plateau du signal RSST1 débute aussi en même temps pour ces trois régions. Dans d’autre cas, le t0, le tRSS1 et le tRSS2 ne sont pas les même pour ces différents régions (figure III.4).

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Figure III.3 : Signal Snorm des macro-vaisseaux (courbes rouges, axe de droite), du tissu sain et de la tumeur U87 (courbes bleues, axe de gauche) à J12 après implantation tumorale chez la souris. t0

est le temps d’arrivé de l’AC dans la vascularisation cérébrale. tRSS1 et tRSS2 sont les temps du début et de la fin de la période steady state (tRSS).

La figure III.4 montre que dans certains cas le rehaussement du signal RSST1 apparait d’abord dans l’artère puis dans le tissu sain et tumoral en même temps et finalement dans les sinus veineux. De plus, la période tRSS n’est plus la même entre ces différentes régions. Ceci a été constaté chez le rat et la souris. Dans ces cas les questions suivantes se posent :

1- Quelle est le meilleur choix pour déterminer t0 et tRSS1 ?

2- Durant quelle période steady state on doit modéliser le signal RSST1 de la tumeur ? La réponse à ces deux questions doit garantir la modélisation du signal Snorm de la tumeur sous la condition steady state. Nous avons décidé de nous baser sur le signal RSST1 du tissu controlatéral pour déterminer le t0 et le tRSS1. Ce choix est fait car :

En théorie, la microvascularisation tissulaire est atteinte par l’AC après son passage dans l’artère. Ceci est vrai pour le tissu sain et le tissu tumoral. Selon notre expérience, le t0 du

169 signal RSST1 tumoral est toujours plus proche de celui du tissu sain que de celui de l’artère (Figure III.3 et 4).

Le tRSS1 est déterminé par l’opérateur, ce temps correspond au premier signal RSST1 après le premier passage du produit de contraste dans le tissu controlatéral.

Le temps t0 est déterminé de façon automatique. t0 correspond au temps du dernier signal Snorm supérieur à 2 x σSnorm-pré avant le tRSS1 (σSnorm-pré est l’écart type du signal RSST1 avant injection du produit de contraste).

Figure III.4 : Signal Snorm dans le sinus veineux et dans un macro-vaisseau (courbes rouges, axe de droite), du tissu sain et de la tumeur U87 (courbes bleues, axe de gauche) à J12 après implantation

tumorale chez la souris. L’arrivée du Gd-DOTA dans la veine et dans le macro-vaisseau est décalé (étoiles rouges) par rapport aux microvaisseaux (à t = t0). La période steady state est différente et

décalée entre les trois régions (flèche double sens : rouge pour la veine, bleu pour le tissu controlatéral et noir pour l’artère). La durée tRSS utilisée pour la modélisation du signal tumoral est

170 On constate d’une façon qualitative d’après les figures III.3 et III.4 que la durée du plateau du signal RSST1 des macro-vaisseaux, du sinus veineux et du tissu sain controlatéral n’est pas la même. Nous avons fait le choix de prendre toujours la durée du plateau la plus courte afin de garantir que la modélisation du signal RSST1 de la tumeur se fait entièrement dans la condition steady state. Ci-dessous le logigramme suivi pour déterminer le dernier paramètre de premier ordre, le temps tRSS2.

Figure III.5 : Logigramme d’analyse du signal RSST1 pour déterminer le temps tRSS2. *Smodel est le modèle mathématique exponentiel que nous avons choisi pour la modélisation du signal Snorm

171 Dans logigramme ci-dessus, nous avons mentionné l’utilisation d’un modèle mathématique (*Smodel) pour modéliser le signal Snorm entre tRSS1 et tRSS2. Le choix de ce modèle mathématique a été étudié. Nous avons testé deux approches mathématiques pour ce but :

- Un modèle linéaire y = -a x t + b. Les paramètres d’entré « a et b » représentent la pente de la droite et la valeur initiale de la droite à tRSS1 respectivement.

- Un modèle exponentiel y = b - exp (a x t). Les paramètres d’entré « a » et « b » représentent la valeur de la flexion de la courbe exponentielle vers l’axe des abscisses et la valeur initiale de la courbe à tRSS1 respectivement.

La figure III.6 montre un exemple représentatif de la modélisation du signal RSST1 d’un macro-vaisseau par les deux modèles durant la période steady state. Le résultat final trouvé est proche entre les deux méthodes mais le modèle exponentiel résulte en une période RSS plus courte que celle trouvée par le modèle linéaire (90 s versus 96 s) et répond mieux à notre attente.

Figure III.6 : Modélisation du signal Snorm dans un macro-vaisseau pour déduire la fin de la période steady state correspondant à tRSS2. Snorm de l’artère avant et après injection du produit de contraste (a). Démonstration de la modélisation de Snorm avec le modèle linéaire (b) et le modèle exponentiel (c) entre tRSS1 = 330 s et trois temps « t » différents. ∆RSS est ≤ 2RSS quand tRSS2 = 426 s versus 420 s pour le modèle linéaire et exponentiel respectivement (avec ∆RSS-linéaire = 3,91 ; 2 x RSS-linéaire = 4,47 ;

172 Contrairement aux paramètres du premier ordre, le choix des paramètres du second ordre peut être effectué d’une façon approximative car le choix de ces paramètres n’affecte pas les résultats mais permet à l’algorithme de converger rapidement vers la solution.

Le choix de ces paramètres du second ordre est approximatif et se base sur le signal tumoral et sur les paramètres d’entrée du premier ordre. La figure III.7 schématise la façon de déterminer les paramètres initiaux Siv, SL et Kmodel et ci-dessous les étapes à suivre :

1- Siv est déterminé en faisant l’intersection de la droite « Y » (qui représente la régression linéaire du signal Snorm de la tumeur durant la durée RSS) et la droite parallèle à l’axe des abscisse à t = t0.

2- Kmodel est la pente entre la droite X et Y

3- SL est la différence entre le maximum du signal Snorm de la tumeur (droite Z) et Siv. Une première modélisation sera réalisée avec ces paramètres approximatifs en utilisant le modèle mathématique (équation II.20 du chapitre 2).Le résultat de Siv, SL et Kmodel obtenu après modélisation sera utilisé comme paramètres d’entrée pour modéliser le signal Snorm

tumoral.

Figure III.7 : Schéma représentatif de la détermination approximative des paramètres initiaux de seconde ordre Siv, SL et Kmodel. Ces paramètres sont déterminés en se basant sur le signal tumoral et

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III.4.1.2. Conditions d’application du modèle mathématique et critères