Détection des maxima et régression linéaire

Une autre méthode a alors été mise au point. Beaucoup plus simple à mettre en œuvre, cette méthode tient compte de considérations anatomiques empruntées notamment aux travaux de Sciama (1995). Les

histogrammes de densité dans le bois initial et dans le bois final (largeur des classes égale à 6 kg/m3) ont été

lissés par une moyenne mobile sur 11 observations puis divisés en trois intervalles comprenant les densités

extrêmes respectivement des gros vaisseaux (0 et 300 kg/m3), du parenchyme (300 et 800 kg/m3) et des

fibres (800 et 1300 kg/m3) observées sur les 16 cernes. Les densités correspondant aux cinq maxima de

chaque intervalle ont été moyennées. Ces trois densités moyennes ainsi obtenues ont été attribuées

respectivement à la densité des gros vaisseaux, dGVX, à la densité du parenchyme du bois initial ou du bois

final, dPARENCHYME (BI) ou dPARENCHYME (BF) et à la densité de l’ensemble {fibres + rayons ligneux} du bois initial

ou du bois final, d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BI) ou d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BF). A cette étape donc, seules les

densités des gros vaisseaux, des parenchymes du bois initial et du bois final sont estimées en assimilant la densité correspondant aux cinq maxima de fréquence à la densité moyenne du tissu considéré.

Afin d’estimer pour chaque cerne les densités moyennes des fibres et des rayons ligneux du bois initial et du bois final, la procédure qui suit a été appliquée.

a/ Estimation de la densité des fibres du bois final

Selon Sciama (1995), la proportion de rayons ligneux du bois final est faible devant celle des fibres du bois final (la proportion des fibres est en moyenne 6 fois supérieure à la proportion de rayons ligneux du bois final). En outre, leurs densités sont relativement voisines (Figure 5.3). La densité de l’ensemble {fibres + rayons ligneux} du bois final est donc affectée principalement par la densité des fibres. En conséquence, nous décidons que la densité de l’ensemble {fibre + rayons ligneux} du bois final, détectée par les maxima,

soit attribuée à la densité des fibres du bois final (d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BF)= dFIBRES(BF)).

b/ Estimation de la densité des fibres du bois initial

Comme la Figure 5.4b nous l’a indiqué, la densité des fibres du bois initial est corrélée de manière significative à la densité des fibres du bois final. La densité des fibres du bois initial est donc estimée par

les maxima dans l’histogramme de densité du bois final).

c/ Estimation de la densité des rayons ligneux du bois initial La relation (5.1) suivante est vérifiée pour l’ensemble {fibres + rayons ligneux} du bois initial :

(5.1) d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BI) = PFIBRES (BI) x d FIBRES (BI) + PRAYONS LIGNEUX (BI) x d RAYONS LIGNEUX (BI)

avec d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BI), la densité de l’ensemble {fibres + rayons ligneux} du bois initial, d FIBRES (BI)

et dRAYONS LIGNEUX (BI), la densité moyenne respectivement des fibres et des rayons ligneux du bois initial,

PFIBRES (BI) et PRAYONS LIGNEUX (BI), la proportion respectivement des fibres et des rayons ligneux du bois initial.

La relation (5.1) est équivalente à :

(5.2) d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BI) =

r r

1+ x d FIBRES (BI) + 1

1+ rx d RAYONS LIGNEUX (BI)

avec r, le rapport entre les proportions de fibres et de rayons ligneux du bois initial.

Selon Sciama (1995), le rapport, r, entre la proportion de fibres et de rayons ligneux dans le bois initial est égal en moyenne sur 80 cernes à r = 1.7. La variabilité de ce rapport étant relativement faible devant les variabilités de proportions de tissus, nous avons choisi de fixer la valeur du rapport r pour un cerne donné à

cette valeur moyenne de 1.7. Dans ces conditions, la densité des rayons ligneux du bois initial, d RAYONS

LIGNEUX (BI), peut être estimée par la relation (5.3) :

(5.3) d RAYONS LIGNEUX (BI) = (1 + r) d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BI) - r dFIBRES (BI)

(Figure 5.4c), la densité des rayons ligneux du bois final est estimée par régression linéaire44 à partir de la densité des rayons ligneux du bois initial.

Les régressions utilisées ont été contraintes à des valeurs limites inférieures correspondant aux densités

minimales des tissus observées sur les 16 cernes (i.e. 749 kg/m3, 863 kg/m3, 877 kg/m3 et 930 kg/m3 pour

respectivement les rayons ligneux du bois initial, ceux du bois final, les fibres du bois initial et celles du bois

final) et à une valeur limite supérieure correspondant à la densité de la matière ligneuse (i.e. 1530 kg/m3).

Mentionnons qu’une limite inférieure a été « déclenchée » seulement pour quelques cernes lors de la détection des densités des rayons ligneux du bois initial et du bois final.

La méthode utilisée tient compte des variabilités inter-cerne et intra-cerne (i.e. entre le bois initial et le bois

final) de densité des tissus mais considère que les écarts-type de densité (σT) autour des densités moyennes

sont constants pour tous les cernes (les valeurs moyennes de σGROS VAISSEAUX, σPARENCHYME (BI),σFIBRES (BI),

σRAYONS LIGNEUX (BI), σPARENCHYME (BF), σFIBRES (BF) et σRAYONS LIGNEUX (BF) sont données ultérieurement).

5.4.1.2. Schéma synoptique de l’estimation de la densité dans les tissus

Le schéma synoptique de l’estimation de la densité des tissus à partir des histogrammes de densités du bois initial et du bois final est illustré en Figure 5.11.

44

F r eq ue n c y 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Densité (kg/m ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 3 Fré quenc e _{dPARENCHYME BF}

d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX} BF

o Obtention de dPARENCHYME (BF)et dFIBRES (BF) (avec dFIBRES (BF) = d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BF))

p estimation par régression linéaire de dFIBRES (BI) à partir de dFIBRES (BF)

q Détection des maxima de l’histogramme du bois initial

F r equ en c y 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Densité (kg/m ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 3 Fr éque n c e dGROS VAISSEAUX BI dPARENCHYME BI

d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX} BI

r Obtention de dGROS VAISSEAUX (BI), dPARENCHYME (BI)et dRAYONS LIGNEUX (BI) (avec d RAYONS LIGNEUX (BI) = (1 + r) d{FIBRES + RAYONS LIGNEUX}(BI) - r dFIBRES (BI) où r =1.7)

s estimation par régression linéaire de dRAYONS LIGNEUX (BF) à partir de dRAYONS LIGNEUX (BI) Figure 5.11. Schéma synoptique de l’estimation de la densité des éléments anatomiques.

Nous avons écrit le programme d’estimation de la densité des tissus en langage SAS en utilisant les modules SAS - MACRO et SAS - GRAPH.

Figure 5.11. Synoptic of the method proposed to estimate density in each constitutive tissue.

We have written the programme to estimate density in each tissue in SAS language by using the SAS-MACRO and SAS- GRAPH modules.

Nous présentons dans ce paragraphe la méthode de calcul des proportions de tissus que nous proposons. Elle est basée sur un calcul de probabilités conditionnelles. Les images radiographiques des cernes dont nous disposons étant représentées par des cartes de pixels dont la densité et la position radiale sont connues, nous calculons ci-après la probabilité qu’un pixel de densité d et de position radiale y appartienne au tissu T. Nous avons vu précédemment que la densité ne peut discriminer tous les tissus, une même valeur de densité pouvant correspondre à plusieurs types de tissus. De même, la position radiale à elle seule est une information insuffisante puisqu’à une position radiale donnée peuvent correspondre plusieurs types de tissus. En revanche, la combinaison de ces deux informations (i.e. densité et position radiale d’un pixel donné) peut se révéler intéressante pour la discrimination des tissus. Par exemple, l’observation d’un grand nombre de cernes montre que les plages de fibres, dont la densité élevée est proche de celle des rayons ligneux, sont très peu présentes en début du bois initial et en particulier moins nombreuses que les rayons ligneux. Un pixel de forte densité situé en début du bois initial aura donc une forte probabilité d’appartenir à un rayon ligneux.

Le calcul de probabilités conditionnelles est formalisé ci-après à partir de considérations sur l’arrangement anatomique alliées à la connaissance de la densité des tissus dans le cerne considéré. Bien que la procédure de calcul des proportions de tissus soit identique pour le bois initial et le bois final, les deux constituants du cerne ne sont pas agrégés dans le calcul des proportions de tissus afin de tenir compte de la variabilité de densité des tissus entre le bois initial et le bois final. En outre, nous avons choisi de calculer les proportions de tissus à 10 positions radiales dans le bois initial (chaque position correspondant à un dizième de la largeur du bois initial) et à 20 positions radiales dans le bois final (chaque position correspondant à un vingtième de la largeur du bois final) afin de mieux décrire le bois final qui, en moyenne, est plus large que le bois initial. Les calculs de proportions ne sont présentés ci-après que dans le cas du bois initial sachant que la procédure de calcul est identique pour les deux constituants du cerne.