Détection d’anomalies

Le terme « anomalie » peut regrouper plusieurs phénomènes lorsqu’il s’applique à des images spectrales. En général il s’agit de détecter des pixels atypiques, des événements rares (« cibles ») qui se distinguent, par leur signature spectrale, du reste de l’image (« fond »). A titre d’exemple en agriculture une anomalie peut concerner un stress hydrique dans un champ. En médecine cela se traduit par la recherche de tumeurs. Enfin dans le domaine militaire, il s’agira de trouver des véhicules ou des objets manufacturés sur un fond de sol ou de ciel.

Pour notre application, nous sommes confrontés à la spécularité du rail qui peut perturber les étapes de segmentation, détection et classification. Il est donc intéressant de pouvoir les détecter, que ce soit pour corriger les zones « anormales » ou les utiliser pour extraire de l’information sur l’image.

La détection d’anomalie est une méthode de détection non-supervisée Elle utilise des algorithmes qui ne nécessitent pas de connaissances a priori de l’objet d’intérêt.

4.1 RX detector

Le détecteur RX (RXD) est l’algorithme RX référencé par exemple dans les articles (ASHTON et SCHAUM 1998) ou (STELLMAN, et al. 2000) et développé par (REED et YU 1990) sous deux hypothèses. La première modélise le « fond » comme une distribution gaussienne multivariée des paramètres, inconnus, estimés par maximum de vraisemblance. La deuxième modélise l’objet anormal comme une combinaison linéaire entre la signature de l’objet et le bruit du fond.

Supposons que L soit le nombre de bandes spectrales du cube et que r soit un pixel-vecteur de taille Lx1 dans l’image multispectrale ou hyperspectrale. Alors le RXD implémente un filtre spécifié par :

𝛿_𝑅𝑋𝐷(𝑟) = (𝑟 − 𝜇)𝑇_𝛫

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où r est le pixel-vecteur, μ est le vecteur moyenne de l’échantillon global (vecteur Lx1), L est le nombre de bandes spectrales et KLxL est l’échantillon de la matrice de covariance de l’image. La mesure

d’anomalie 𝛿𝑅𝑋𝐷(𝑟) est une fonction scalaire qui donne « l’anormalité » du pixel r. Le résultat est ensuite comparé à un seuil τ : si 𝛿𝑅𝑋𝐷(𝑟) > 𝜏, r est une anomalie.

La forme de 𝛿_𝑅𝑋𝐷(𝑟) ainsi définie en Equation 4.5 correspond en fait à la distance de Mahalanobis. De façon à comprendre comment le RXD détecte les anomalies, nous explorons son fonctionnement. Mathématiquement, la détection RX peut être considérée comme l’opération inverse à l'Analyse en Composantes Principales (ACP, développée au Chapitre 5). L’ACP décorrèle la matrice de données de sorte que l’information contenue dans l’image puisse être décrite par un nombre restreint de composantes principales majeures. Celles-ci sont spécifiées par les vecteurs propres de la matrice de covariance de l’échantillon correspondant à des valeurs propres élevées. Si les données d'image contiennent des cibles qui apparaissent dans les données avec de faibles probabilités (c'est-à-dire si la taille des anomalies est petite), les cibles ne seront pas représentées dans les composantes principales majeures, mais dans des composantes mineures spécifiées par des valeurs propres faibles (CHANG et HEINZ 2000). A l’inverse de l’ACP, l’équation RX recherche donc les anomalies dans les composantes mineures.

Un problème avec cette approche est de savoir comment séparer les valeurs propres faibles de la variance du bruit dans les données. Ceci est déterminé par la dimensionnalité intrinsèque des données et peut être calculé mathématiquement en utilisant la décomposition spectrale d'une matrice de covariance.

Cet algorithme est utilisé dans la plupart des applications de détection non-supervisée en imagerie spectrale et continue à faire l’objet de recherches pour alléger ses limitations. Par exemple, (VELASCO- FORERO et ANGULO 2012) proposent un détecteur d’anomalie RX sans estimation de la matrice de covariance. (J. FRONTERA-PONS, et al. 2014) présentent un nouvel estimateur pour l’algorithme RX plus adapté aux environnements non-Gaussiens. Ou encore, (IMANI 2017) qui propose une métrique basée sur la ligne médiane (en : Median-Mean Line, MML) pour une estimation plus stable des statistiques de l’information de « fond » (moyenne et matrice de covariance).

4.2 Gaussian Mixture Model (GMM)

Le modèle de mélange gaussien (en : Gaussian Mixture Model, GMM) est une fonction paramétrique de densité de probabilité représentée comme la somme pondérée de M composantes gaussiennes :

𝑝(𝑥|𝜆) = ∑ 𝑤_𝑖 𝑔(𝑥|𝜇_𝑖, Σ_𝑖) 𝑀

𝑖=1

4.6

Où x est un vecteur de données de dimension Lx1, 𝑤𝑖 , 𝑖 = 1 … 𝑀 sont les poids du mélange, 𝜇𝑖 est le vecteur moyenne, Σ𝑖 est la matrice de covariance et 𝑔(𝑥|𝜇𝑖, Σ𝑖) sont les densités des composantes gaussiennes. Les poids du mélange vérifient la condition ∑𝑀𝑖=1𝑤𝑖 = 1.

Le modèle de mélange gaussien complet est paramétré par les vecteurs moyens, les matrices de covariance et les poids de mélange de toutes les densités de composants. Les paramètres du GMM sont estimés à partir de données d’entraînement utilisant l’algorithme itératif Expectation-Maximisation (EM) ou une estimation Maximum A Posteriori (MAP) à partir d’un précédent modèle déjà entraîné.

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L’algorithme EM tire son nom du fait qu’à chaque itération il opère deux étapes distinctes :

- la phase « Expectation » procède à l’estimation des données inconnues, sachant les données observées et les valeurs des paramètres déterminées à l’itération précédente;

- la phase « Maximisation » procède à la maximisation de la vraisemblance, rendue désormais possible en utilisant l’estimation des données inconnues effectuée à l’étape précédente, et met à jour la valeur du ou des paramètre(s) pour la prochaine itération.

L’algorithme garantit que la vraisemblance augmente à chaque itération, ce qui conduit à des estimateurs de plus en plus corrects.

En imagerie spectrale, il est souvent intéressant d’utiliser ce genre de modèle car la scène observée est susceptible de contenir plus d’un type de « fond ».

4.3 Cas particulier de la détection de spécularité

On parle de spécularités ou de réflexions spéculaires lorsque la lumière incidente est réfléchie dans une unique direction, ou dans un faisceau très fin. Certaines surfaces sont plus susceptibles d’être spéculaires que d’autres ; les angles d’illumination et d’observation jouent un rôle majeur dans leur apparition. La détection de spécularités est un processus complexe.

Pour notre cas d’application, la présence de réflexion spéculaire sur le champignon de rail est hautement probable quelle que soit la configuration du système. En fonction de l’application désirée, les spécularités présentent certains avantages et inconvénients.

Des études ont été réalisées afin de souligner les différentes informations pertinentes de la scène, comme la géométrie, pouvant être extraites à partir de ces réflexions spéculaires (BLAKE et BRELSTAFF 1988) (SAINT-PIERRE, et al. 2011).

Dans le domaine du traitement d’image, elles conduisent souvent à la perte de détails sur les images, par exemple au niveau des textures ou des spectres de la scène observée. Dans les deux cas, il est important de les détecter.

Gérer efficacement les variations de luminosité comme les forts contrastes, les images sombres ou légèrement surexposées sous différentes sources lumineuses d’intensités variables, est une problématique difficile. Ainsi, les méthodes de l’état de l’art se limitent à leur domaine d’application et sont spécifiques.

Il est à noter que du fait du nombre de bandes plus important qu’en imagerie RGB, les images spectrales contiennent plus de données et les techniques de détection d’anomalies doivent être adaptées sinon spécifiques.

(BOCHKO et PARKKINEN 2005) proposent une analyse probabiliste en composantes principales pour la détection de zones spéculaires et diffuses dans l’image. (FU, TAN et CAELLI 2006) présentent une projection orthogonale en sous-espace ainsi qu’un modèle dichromatique pour une représentation sans spécularité de l’image. Il est important de noter que cette méthode nécessite des informations sur le spectre de la source lumineuse.

La majeure partie de l’état de l’art consiste en la modélisation des effets des spécularités sur des surfaces lisses (plutôt brillantes) ou rugueuses. Par exemple, (BRELSTAFF et BLAKE 1988) ont utilisé une simple stratégie de seuillage pour détecter les spécularités sur des objets courbes (ex : une tasse). Une autre méthode tente de supprimer les spécularités en utilisant du matériel supplémentaire (NAYAR et BOLLE 1996). L’article de (GU et ROBLES-KELLY 2011) liste d’autres méthodes de l’état de l’art et présente un algorithme de suppression de spécularités par la minimisation de l’entropie.

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