Démixage et clustering

Les images spectrales contiennent en chaque pixel des spectres correspondant à des mélanges. La NMF est un algorithme de démixage spectral (en : unmixing) ; elle permet la décomposition de l’image spectrale et de ses spectres bruts en un ensemble de spectre purs et leur abondance respective en chaque pixel. Si l’on s’arrête à la décomposition, le NMF n’est pas un outil de classification. Pour segmenter

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une image spectrale en fonction des résultats de la NMF, il faut alors introduire une norme de comparaison entre les spectres purs et les spectres réels. Le cas classique est l’utilisation de la matrice d’abondance, que l’on améliore pour stabiliser les résultats. Une méthode peu répandue est la cartographie par angles spectraux (en : Spectral Angle Mapper, SAM) pour classer les pixels. Ces deux méthodes sont décrites dans la suite.

4.4.1 Matrice d’abondance

Soit le couple (W,H) résultat de la NMF de rang 2 de la matrice X, de dimensions (MxN).Les matrices W et H sont respectivement de dimensions (Mx2) et (2xN). Une stratégie simple pour la classification des colonnes de X est de choisir les sous-ensembles comme suit :

𝐶1= { 𝑖 | 𝑊(𝑖, 1) ≥ 𝑊(𝑖, 2)}

𝐶₂= { 𝑖 | 𝑊(𝑖, 1) < 𝑊(𝑖, 2)} 5.41

Le sous-ensemble C1 contient tous les pixels dont l’abondance du endmember H(1,  est supérieure ou

égale à l’abondance du endmember H(2, . A l’inverse, le sous-ensemble C2 contient tous les pixels

dont l’abondance du endmember H(1,  est inférieure à l’abondance du endmember H(2, . Si l’on définit un vecteur s ∈ [0,1], avec i∈ [1,N], tel que :

𝑠(𝑖) = 𝑊(𝑖, 1)

𝑊(𝑖, 1) + 𝑊(𝑖, 2) 5.42

Les sous-ensembles C1 et C2 peuvent maintenant s’écrire : 𝐶₁= { 𝑖 | 𝑠_𝑖 ≥ 𝛿}

𝐶₂= { 𝑖 | 𝑠_𝑖 < 𝛿} 5.43

La variable δ peut alors prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle [0 ; 1]. Dans un premier temps, nous avons utilisé δ=0,5. Cette valeur n’est pas optimale et mène à des erreurs de classification. Nous avons alors mis en place un réglage adaptatif du seuil δ∈ [0,1], qui permet d’obtenir des résultats significativement meilleur. Il est décrit au chapitre suivant.

Cette méthode de classification des pixels donne des résultats satisfaisants. En revanche, elle est très dépendante de l’éclairage de la scène. Ainsi pour deux acquisitions d’une même scène, si l’illumination varie, la classification par coefficients de la matrice d’abondance peut être fortement modifiée.

On s’intéresse alors à une classification utilisant l’angle spectral entre deux spectres. Cette technique, lorsqu’elle est utilisée sur des données de réflectance, est relativement insensible à l’illumination. Il s’agit de la cartographie par angles spectraux (SAM) que nous présentons au paragraphe suivant.

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4.4.2 Spectral Angle Mapper (SAM)

Si la NMF permet de segmenter nos images multispectrales, c’est par l’intermédiaire d’une technique de comparaison de spectres que nous pouvons classer nos pixels dans différentes catégories.

La cartographie par angles spectraux (SAM) est un outil permettant une représentation rapide des similarités spectrales entre les spectres de pixels d’une image spectrale et des spectres de référence. Un spectre de référence peut être obtenu par mesures (laboratoire, terrain) ou extrait de l’image, comme c’est le cas par exemple avec la SAS. Le spectre de référence est alors le endmember. La méthode présentée par (KRUSE, et al. 1993) considère que les données ont été préalablement calibrées en réflectance et corrigées. L’algorithme détermine la similarité spectrale entre deux spectres en calculant l’angle entre ces deux spectres, les considérant comme des vecteurs dans un espace de dimension égale au nombre de bandes.

Nous présentons un exemple simplifié de la méthode (Figure 71). Considérons un spectre de référence et le spectre de test issu d’une image à deux bandes, représentés par deux vecteurs reliés à l’origine. Les demi-droites directions de chacun de ces vecteurs, à partir de l’origine, portent toutes les possibilités spectrales du matériau. Chaque point sur une demi-droite correspond aux illuminations possibles des objets. Un pixel faiblement éclairé aura un vecteur de plus courte norme que le pixel du même matériau avec une meilleure illumination. SAM n’utilise que la mesure d’angle entre deux vecteurs, leur norme n’impacte pas la mesure. Les résultats de cette technique sont donc indépendants de l’éclairement.

Le calcul de l’angle spectral se fait en prenant l’arccosinus du produit scalaire de deux spectres. Nous déterminons la similarité d’un spectre test t et d’un spectre de référence r en appliquant :

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡 ⃗⃗⃗ . 𝑟 ⃗⃗ ‖𝑡 ⃗⃗ ‖‖𝑟 ⃗⃗ ‖) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ( ∑𝑁_𝑖=1𝑡_𝑖𝑟_𝑖 (∑𝑁 𝑡_𝑖2 𝑖=1 ) 1/2 (∑𝑁 𝑟_𝑖2 𝑖=1 ) 1/2) 5.44

où N est le nombre de bande.

Cette mesure de similarité est insensible au facteur de gain : l’angle entre les vecteurs est invariant vis- à-vis de la longueur des vecteurs.

Figure 71 - Tracé des spectres test et référence pour une image spectrale à deux bandes. Les matériaux et leur illumination sont représentés par des vecteurs connectés à l'origine (équivaut à « pas d'illumination »). Le point sur l’axe correspond aux spectres étudiés. Une variation d’illumination fera varier le spectre et par conséquent la position du point sur l’axe.

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Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté deux types de méthode pour la classification des données : supervisée et non supervisée.

Pour les méthodes de classification supervisée nous nous sommes limités à la description des algorithmes de Support Vector Machine (SVM). Il s’agit de la méthode ayant la meilleure capacité de généralisation et elle est indiquée pour les applications où peu de données sont disponibles, comme dans notre cas.

Plusieurs méthodes de séparation aveugle de source (pour la classification non supervisée) ont été présentées. L’une d’elle, la Factorisation en Matrice Non-négative (NMF), permet à la fois un démixage (extraction de spectres purs) et une classification des données et ce avec la seule contrainte de positivité de la matrice initiale.

La NMF fournit une décomposition de l’image en deux matrices positives : la première contient le résultat du démixage (en : demixing) des spectres purs et la matrice des abondances qui contient la portion de chaque endmember dans les spectres enregistrés par la caméra. Classiquement, les données sont ensuite classées dans différents cluster grâce aux composantes de la matrice d’abondance. Nous décidons de coupler les résultats de la NMF avec un outil de classification spectral : le Spectral Angle Mapper. Ce couplage a été développé spécifiquement dans le cadre de cette thèse. Les performances de ces méthodes sont présentées et comparées au chapitre suivant.

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