Déphasage dû aux forces d’inertie

= M_interf ⁰ 1 ! (2.29)

La probabilité pour l’atome de se trouver dans l’état |b, ~p + ~~keff i après l’interféromètre est donnée par la formule d’interférence à deux ondes :

P_b = |γ_b(2T )|² = ¹

2^{(1 − cos ∆φ) (2.30)} Avec :

∆φ = φ₁− 2φ₂+ φ₃ (2.31) où les φi sont les phases lasers vue par les atomes au moment des trois impulsions lasers.

Une propriété remarquable des interféromètres de Ramsey-Bordé symétriques est que le déphasage accumulé en l’absence de forces, ne dépend pas de la vitesse initiale de l’atome. De plus, il est intéressant de remarquer dès à présent que la symétrie de l’interféromètre implique que l’atome se propage un temps équivalent dans chacun des états internes. Ainsi, les effets déplaçant la fréquence de transition de manière homogène pendant l’interféromètre ne créent pas de déphasage.

2.2.2 Déphasage dû aux forces d’inertie

Sensibilité à une accélération uniforme

Dans le cas d’une accélération uniforme ~g dans la direction ~z, l’hamiltonien du système dans le référentiel uniformément accéléré des lasers s’écrit :

H = H₀+ ˆ P2

2M ^{+ Hint}− M~gZ^~ˆ (2.32)

Il est possible d’éliminer l’opérateur M~gZ grâce au passage dans le référentiel inertiel des^~ˆ atomes. Ce changement de référentiel est réalisé via l’opérateur A(t) [Cohen-Tannoudji 92].

La fonction d’onde dans le nouveau référentiel est notée ˜|Ψi : ˜

|Ψi = A(t)|Ψi

|Ψi = A+(t) ˜|Ψi ^(2.34)

Ainsi dans le référentiel de l’atome, l’évolution de la fonction d’onde | ˜Ψi est déterminée par l’hamiltonien ˜H tel que :

i~^d dt  A+(t)| ˜Ψi  = HA⁺(t)| ˜Ψi i~^d dt| ˜Ψi =  A(t)HA+ (t) − i~^{ d} dtA(t)  A+(t)  | ˜Ψi (2.35)

L’équation d’évolution 2.35 de l’onde atomique dans le référentiel de l’atome en chute libre permet de déduire l’expression de l’hamiltonien ˜H dans ce référentiel en présence du champ laser Hint:

˜

H = A(t)HA+(t) − i~ ˙A(t)A+(t)

= H0+ _2M^P2 + Hinte^−ikgt22

(2.36)

Entre les deux impulsions lasers, l’hamiltonien dans le nouveau référentiel s’écrit ˜H = H₀ + P^ˆ2

2M, il a la même expression que celui utilisé dans le référentiel inertiel, dont les états propres sont {|a, ~pi et |b, ~p + ~~keffi}. Par ailleurs, l’interaction avec les lasers se traduit sim-plement par un facteur de phase supplémentaire e^−ikgt22 devant l’hamiltonien d’interaction H_int. Ce terme s’interprète facilement comme le déplacement des équiphases lasers dans le référentiel des atomes3. La phase laser vue par les atomes est donnée par :

φ_eff(t) = φ⁰_eff+ kgt²/2 (2.37) où φ0

effest la différence de phase laser Raman dans le référentiel des lasers Raman (concrè-tement φ0

effcorrespond à la consigne de phase utilisé dans l’asservissement en phase des deux lasers Raman). Par conséquent, dans ce référentiel la fonction d’onde évolue toujours entre les deux états d’impulsion bien définis {|a, ~pi et |b, ~p + ~~keffi}. Nous pouvons donc calculer le

3Le déphasage atomique peut alors être vu comme la mesure de la position de l’atome par rapport à une "règle" optique, réalisée par le réseau d’équiphase des faisceaux laser Raman. Plus k_effest grand, plus le pas du réseau d’équiphases λeff=_k^2π

déphasage en sortie de l’interféromètre en présence d’une accélération uniforme en utilisant les résultats dérivés dans le cas d’un atome "libre", matrice 2.28. La probabilité de transition après l’interféromètre s’exprime alors par :

P = ¹

2 ^{1 − cos(kgT}

2+ φ₁ − 2φ₂+ φ₃)
(2.38)

où le déphasage induit par une accélération uniforme g ne dépend que du vecteur d’onde effectif des lasers Raman k_effet de la durée T entre les trois impulsions Raman :

∆Φ_acc = k_effgT² (2.39)

Sensibilité à une rotation uniforme

Nous calculons l’effet d’une vitesse de rotation uniforme et constante ~Ω = Ω ~e_y sur un interféromètre réalisé avec des faisceaux Raman orientés dans la direction ~z et un atome ayant une vitesse selon ~x (figure B.1).

FIG. 2.5 : Interféromètre de Ramsey-Bordé réalisé avec trois impulsions Raman séparées deux à deux d’un temps T. Les impulsions Raman sont dirigées dans la direction~z et les atomes sont lancés avec une vitesseV_xdans la direction~x. La vitesse communiquée par les faisceaux Raman au moment des impulsions vaut ^~keff

M . Par conséquent, l’interféromètre forme un parallélogramme d’aire(v_xT.^~keff

L’évolution de la fonction d’ondes de l’atome dans le référentiel des lasers est déterminée par l’hamiltonien [Landau mecanique] :

H = H₀+ ˆ P2

2M ^{+ Hint}− ~Ω · (~ˆr ∧ ~ˆp) (2.40) Comme pour l’accélération il est possible d’utiliser les résultats obtenus dans la situation où l’atome n’est soumis à aucune force, en passant dans le référentiel des atomes en chute libre. L’opérateur qui permet ce changement de référentiel est l’opérateur qui génère une rotation d’angle Ωt [Baym] :

R(t) = e~ⁱ

~ Ω·^~Lt^ˆ

(2.41)

oùL = ~ˆ^~ˆ r ∧ ~ˆp est le moment cinétique de l’atome4. Dans le référentiel atomique l’évolution de la fonction d’onde atomique est donnée par l’hamiltonien ˜H :

˜ H = R(t)HR+(t) + i~^{ d} dtR(t)  R(t) = H₀+ _P~ˆ2 2M ^{+ Hinte} ikΩVxt2 (2.42)

Ce calcul, donné en annexe A, nécessite plusieurs approximations : – le mouvement selon ~x est traité classiquement.

– un développement au premier ordre en Ωt est utilisé.

– la modification des trajectoires due à la rotation est négligée : cette approximation est appelée approximation des trajectoires non perturbées.

– la modification de la polarisation des lasers lors de la rotation est négligée : approxima-tion scalaire du champ laser.

Comme pour le cas de l’accélération, le passage dans le référentiel de l’atome se manifeste par un terme de phase supplémentaire au moment de l’interaction avec les lasers, correspon-dant au déplacement relatif (ΩV_xt²) des équiphases lasers par rapport à l’atome en chute libre. Dans ce référentiel, les états propres sont {|a, ~p i et |b, ~p + ~~kef fi} ainsi un calcul identique à celui effectué pour l’accélération (section 2.2.2) peut être réalisé en changeant la phase des lasers en φ_eff(t) = φ⁰+ 2kV_xΩt². La probabilité de transition après l’interféromètre s’exprime alors par :

4Le spin (interne) total de l’atome est négligé dans le calcul. Le couplage entre rotation et spin est calculé dans [Mashhoon 1988]

P = ¹

2 ^{1 − cos(2kV ΩT}

2+ φ₁− 2φ₂+ φ₃)
(2.43) Le déphasage interférométrique dû à la vitesse de rotation ∆Φ_rot= 2kV_xΩT²obtenu pour le cas particulier où ~k = k~z, ~Ω = Ω~y peut être généralisé pour n’importe quelle direction de ~k et de ~Ω pour obtenir :

∆Φ_rot = 2~Ω · (~k ∧ ~V ) (2.44) Cette équation peut se réécrire en fonction de l’aire orientée de l’interféromètre ~A :

~ A = ^~~k

M^{T ∧ ~V T (2.45)}

Le déphasage calculé en 2.44 devient :

∆Φ_rot = 2~Ω · ~A^M

~ = 2~Ω · ~A ^E

~c² (2.46)

On retrouve l’expression du déphasage Sagnac induit lors de la rotation d’un interféro-mètre d’aire non nulle. Ce déphasage bien connu en optique est proportionnel à E l’énergie de la particule utilisée dans l’interféromètre.

Interféromètre double

Lorsque l’interféromètre est soumis à une accélération et à une rotation, le déphasage en sortie de l’interféromètre, au premier ordre en ~Ω et en ~a, a l’expression suivante :

∆Φ = ∆Φ_acc+ ∆Φ_rot = ~k_eff· ~a T2− 2~k_eff· ~Ω ∧ ~V T² (2.47) Pour réaliser un capteur inertiel, il est nécessaire de discriminer les déphasages dus aux accélérations et ceux dus aux rotations. Cette distinction peut être réalisée en exploitant le fait que le déphasage dû à la rotation dépend de la vitesse moyenne ~V de l’onde atomique, contrairement à celui dû à une accélération. Pour cela, deux interféromètres atomiques sont réalisés avec deux sources d’atomes contre-propageantes A et B de vitesses opposées. Ces deux sources d’atomes sont soumises aux mêmes lasers Raman aux mêmes instants, créant ainsi deux interféromètres dont les aires orientées ~A = ~~k_eff

m T ∧ ~V T sont opposées (cf. fi-gure 2.6). Cette méthode a été introduite dans [Gustavson 1998] pour une expérience de gy-romètre avec un jet d’atomes thermiques. Le déphasage mesuré à la sortie de l’interfégy-romètre pour chacune des sources A et B est donné par :

∆Φ_A = ∆Φ_acc+ ∆Φ_rot (2.48) ∆Φ_B = ∆Φ_acc− ∆Φ_rot (2.49)

FIG. 2.6 : Schéma des deux interféromètres atomiques réalisés avec deux sources atomiques dont les vitesses de lancement longitudinales sont opposées. Les aires orientées ~A_Aet ~A_Bsont donc opposées ce qui permet de discriminer l’accélération et la rotation.

La demi-somme et la demi-différence des deux déphasages fournissent indépendamment l’accélération et la rotation : ∆Φacc = ^∆ΦA+∆ΦB