Covariance a posteriori, erreurs

La densité de probabilité représentant l'information a posteriori est donnée par Ta-rantola et Valette (1982b) :

σ(d,m) = ^{ρ(d,m) Θ(d,m)}

µ(d,m) (5.20)

ρ(d,m) est la densité de probabilité a priori.

Θ(d,m)est la densité de probabilité théorique, représentant l'information qui permet de

relierdetm, c'est-à-dire notre capacité à résoudre l'équation de la poro-élastodynamique.

Enn,µ(d,m)est une densité de probabilité reliée à l'état de non information sur les

paramètres. Ces trois termes peuvent être décomposés en produit d'information sur les données et sur les modèles.

Par analogie avec la densité de probabilité a priori, il est possible d'écrireσ(d,m)sous

Chapitre 5 : Introduction à l'inversion a posteriori sont dénies par :

C^′_M = (G∞^T CD⁻¹G∞+C⁻¹_M)−1

≃H⁻_∞¹ (5.21)

C^′D = G∞ CD G^T∞

L'indice _∞ désigne la dernière itération eectuée. De plus, on peut dénir un opérateur

de résolution non linéaire pour quantier l'erreur sur les données :

R=I−C^′_M CM (5.22)

SiR est proche de l'identitéI, la solution trouvée est correcte. Sinon, le problème inverse

est soit mal résolu, soit mal posé, soit les deux. Si le problème est mal posé, une matrice

R non diagonale indique une interdépendance entre paramètres, le problème pouvant

ce-pendant être bien résolu. Au contraire, si le problème est bien posé mais mal résolu, l'in-formation disponible est ambiguë et a été utilisée pour déterminer de mauvais paramètres. Cette étude est fondamentale dans les méthodes d'optimisation évoquées dans la sec-tion 5.1.3. Cependant, elle devient vite délicate dans le cas des méthodes locales com-plexes. En eet, la solution nale peut correspondre à un minimum local de la fonction coût. Dans ce cas, on quantie l'erreur autour de cette solution, ce qui n'a pas de sens. Cette approche stochastique a posteriori n'a pas été utilisée dans le cadre de cette thèse.

5.3 Conclusion

Le but de cette inversion de formes d'ondes complètes est de déterminer les para-mètres poro-élastiques directement, sans passer par une inversion en vitesses d'ondes. Or le problème direct est fortement non linéaire et relativement long à calculer. Cela impose d'utiliser des méthodes locales d'inversion. Un algorithme de minimisation par moindres carrés et une méthode de gradient conjugué ou de quasi-Newton semblent donc adaptés. La non-linéarité du problème direct impose cependant un grand nombre d'itérations. L'al-gorithme qui semble préférable dans ce cas est l'alL'al-gorithme de quasi-Newton. En eet, il demande moins d'itérations et la petite taille du système servant à actualiser le modèle le rend facile à résoudre.

En plus de ces algorithmes classiques en géosciences, il est intéressant de considérer des matrices de covariances non diagonales. En particulier, la forme de la matrice de covariance des données dans l'équation (5.17) permet d'adapter très facilement la

mini-misation au sens de la norme L2 à une minimisation conjointe de l'amplitude des ondes

et de leur dérivée temporelle.

Chapitre 5 : Introduction à l'inversion

De nombreux tests doivent maintenant être menés pour ajuster l'algorithme à ce pro-blème (choix des paramètres de covariance, résolution possible, données nécessaires...) et dénir une stratégie d'inversion (choix et possibilité d'inversion des paramètres. . .).

Chapitre 6

Applications de l'algorithme d'inversion

sur des données synthétiques

Sommaire

6.1 Introduction . . . 135 6.2 Résultats d'inversion . . . 137 6.3 Algorithmes d'inversion et covariances . . . 148 6.4 Stratégie d'amélioration de l'inversion . . . 153 6.5 Choix des données et résolution . . . 159 6.6 Conclusion . . . 167

6.1 Introduction

L'objectif de ce chapitre est d'évaluer les possibilités d'inverser des signaux réels par l'approche présentée au chapitre 5. Pour cela, il est d'abord nécessaire de conduire dié-rents tests sur des données synthétiques.

Le code d'inversion est pour l'instant limité à une géométrie de réexion. Il est possible de considérer une source radiale ou verticale associée à un déplacement lui aussi radial ou

vertical dans la géométrie P −SV, et un couple source-déplacement tangentiel-tangentiel

dans le cas SH. Les ondes directes et de surface peuvent être prises en compte ou non.

Certains résultats de ce chapitre ont fait l'objet d'un résumé pour le congrès du European Association of Geoscientists & Engineers (De Barros et Dietrich, 2007). Cet article est donné en annexe B.

Plan du chapitre

Chapitre 6 : Résultats d'inversion sur données synthétiques

k0,Gs, Ks, Kf,cs etφ, indépendamment ou simultanément. Le choix de nouveaux

para-mètres, comme la saturation en uideSi ou le taux volumique d'un minéralTi permettent

de réduire le nombre de paramètres à déterminer.

La deuxième partie traite du choix de l'algorithme et des covariances : tout d'abord, l'in-version par gradient conjugué est comparée à celle par quasi-Newton, puis l'inuence de la covariance des données et du modèle est testée.

La troisième partie est une étude de diérentes stratégies permettant d'améliorer les ré-sultats d'inversion. Il est ainsi possible d'utiliser les ondes de surface, de démarrer de multiples modèles initiaux, d'appliquer des fenêtrages en oset et/ou en temps sur les données ou de xer la valeur des premières couches du modèle.

Enn, la dernière partie s'intéresse au choix des données (nombre de traces et oset spatial, résolution) et aux dicultés potentiellement amenées par l'inversion de données réelles (présence de bruit...).

Modèles utilisés

Pour tester les possibilités de l'inversion, j'ai utilisé deux séries diérentes de modèles. La première série est calculée à partir d'un modèle inni dont les caractéristiques sont

φ( ) k0(m2) ρf (kg/m3) ρs(kg/m3) Ks(GP a) Gs(GP a) Kf(GP a) cs( ) 0.20 5. 10−12 1000 2700 24 24 2.2 50

Table 6.1: Paramètres du milieu inni servant à construire la première série de modèles.

données dans la table 6.1. Le modèle vrai est constitué de 40 couches de 5 mètres d'épaisseur au dessus d'un demi-espace inni. Les réexions sur la surface libre ne sont pas prises en compte. Un ou plusieurs paramètres sont perturbés dans 4 couches entre 90 et 110 mètres de profondeur pour obtenir un modèle créneau.

φ( ) k0(m2) ρf (kg/m3) ρs(kg/m3) Ks(GP a) Gs(GP a) Kf(GP a) cs( ) 0.30 10−11 1000 2700 36 40 2.2 16.5 0.15 10−13 1000 2700 36 40 2.2 9.5

Table 6.2: Paramètres du milieu bicouche servant à construire la deuxième série de modèles.

La deuxième série de modèles est obtenue à partir d'un modèle à deux couches cor-respondant à une couche de 100 mètres de sable siliceux consolidé au dessus d'un demi espace constitué de grès (cf tab. 6.2). L'eet de la surface libre n'est pas non plus considéré. Le modèle vrai est constitué de 20 couches de 10 mètres d'épaisseur, et un ou plusieurs paramètres sont perturbés aléatoirement de telle manière à obtenir un modèle complexe servant à calculer les sismogrammes synthétiques pour une inversion d'un seul paramètre

Chapitre 6 : Résultats d'inversion sur données synthétiques ou multiparamètre. 0.2 0.4 0.6 0 25 50 75 100 125 150 175 200 ( ) profondeur (m) 2 4 6 8 0 25 50 75 100 125 150 175 200 (10⁻¹² m²) 1000 2000 0 25 50 75 100 125 150 175 200 (kg/m³) 0 10 20 0 25 50 75 100 125 150 175 200 (GPa) φ c s (/100) k 0 ρ_f ρ_s K s G s K f 0.1 0.2 0.3 0 25 50 75 100 125 150 175 200 ( ) profondeur (m) 10⁰ 10² 0 25 50 75 100 125 150 175 200 (10⁻¹³ m²) 1000 2000 0 25 50 75 100 125 150 175 200 (kg/m³) 0 20 40 0 25 50 75 100 125 150 175 200 (GPa) φ c s (/100) k 0 ρ_f ρ_s K s G s K f

Figure 6.1: A gauche, modèle uniforme (cf. tab. 6.1) et à droite, modèle bicouche (cf. tab. 6.2). Ils sont utilisés comme modèles de départs et servent à construire les modèles vrais.

Les modèles initiaux sont généralement les modèles lisses des tables 6.1 et 6.2. Dans la majorité des cas, et si le texte ne le précise pas, le modèle initial sert aussi de modèle a priori.