1.3 Ondes mécaniques en milieu poreux : Théorie de Biot (1956)
1.3.4 Atténuation et dispersion des ondes dans la théorie de Biot (1956). 37
∇2pf +iωpf = 0 (1.33)
Cette équation est une équation de diusion de pression interstitielle, avec un coecient
de diusion D = k0 ηM µ 1− C 2 M H ¶
. A basse fréquence, l'onde Ps est juste une onde de diusion de la pression interstitielle.
1.3.4 Atténuation et dispersion des ondes dans la théorie de Biot (1956).
Les expressions analytiques des lenteurs permettent de calculer le facteur de qualité
Qξ et la dispersion des vitesses pour chaque type d'onde. Ceci constitue un gros avantage
par rapport à la théorie élastique classique où le facteur de qualité et la dispersion sont estimés de manière empirique et n'ont pas de justication analytique.
Figure 1.5: Dispersion de la vitesse des ondes Pf (traits pleins) et S (traits pointillés) (gure de gauche) et Ps (gure de droite) pour des perméabilités de 10−10, 10−12 et10−14 m2.
Dispersion
La gure 1.5 présente les variations des vitesses en fonction de la fréquence pour dif-férentes perméabilités. Les ondes Pf et S sont peu dispersives et présentent deux com-portements distincts : la vitesse est approximativement constante à basse fréquence puis rejoint une valeur légèrement diérentes à haute fréquence. La transition se fait autour
de la fréquence de coupure ωc. L'onde Ps est beaucoup plus dispersive. Elle présente des
variations de 40000 % pour une perméabilité de 10−14. La vitesse est aussi faiblement
dispersive à basses fréquences et haute fréquence, avec une transition autour de la fré-quence de coupure. La diérence de vitesse entre hautes et basses fréfré-quences dépend très fortement de la valeur de la perméabilité.
Chapitre 1 : Présentation des milieux poreux 100 102 104 106 102 104 106 108 frequency (Hz) Quality factor QPf(k0=10−10) Q S (k 0=10−10) Q Pf (k 0=10−12) QS (k0=10−12) Q Pf(k 0=10−14) Q S(k 0=10−14) 100 102 104 106 100 101 102 103 frequency (Hz) Quality factor Q Ps Q Ps(k 0=10−10) Q Ps(k 0=10−12) Q Ps(k 0=10−14)
Figure 1.6: Facteur de qualité Q des ondes Pf (traits pointillés) et S (traits pleins) (haut) et Ps (bas) en fonction de la fréquence pour des perméabilité de 10−10, 10−12 et 10−14 m2.
Atténuation
Le facteur de qualité est donné par :
Qξ(ω) = 2R(Sξ(ω))
I(Sξ(ω)) (1.34)
R et I désignent respectivement la partie réelle et imaginaire. Sξ désigne la lenteur de
l'onde ξ (Ps, Pf ou S).
Dans la théorie utilisée (cf. eq. 1.26), on voit que seul le coecient ρ˜ a une partie
imaginaire. L'atténuation et la dispersion des ondes sont donc uniquement dues aux cir-culations de uide et aux eets visqueux que cela entraîne. Seule la diusion de pressions interstitielles va entraîner une perte d'énergie.
La gure 1.6 décrit le comportement du facteur de qualité en fonction de la fréquence. Pour les ondes Pf et S, il décroît selon l'inverse de la fréquence jusqu'à fréquence de
Chapitre 1 : Présentation des milieux poreux
pure ωc, puis croit environ en f2. Il est intéressant de noter que la valeur du minimum et
les pentes deQsont indépendantes dek0 tandis queωcen dépend. La valeur de
l'atténua-tion pour f = 1 est très fortement dépendante de la perméabilité. Les ondes Ps sont très
atténuées en dessous de la fréquence de coupure, avec des facteurs de qualité inférieurs à
1. Q augmente ensuite à haute fréquence, l'onde Ps devient propagative (cf. sect. 2.3.2).
Enn les valeurs du facteur de qualité obtenues pour les ondes Pf et S sont très fortes en particulier aux très basses et très hautes fréquences. La diusion des pressions intersti-tielles ne sut donc pas à expliquer l'atténuation. Il faut alors prendre en compte d'autres phénomènes, en plus de l'atténuation de Biot, pour expliquer les pertes d'énergie subies par les ondes mécaniques dans les milieux géologiques.
1.3.5 Sensibilité de la vitesse et de l'atténuation
La gure 1.7 présente les variations de vitesse et d'atténuation consécutivess à une
va-riation de 10% des paramètres φ, k0,ρf,ρs,Ks,Gs,Kf, cset du facteur de cimentation
m. Les caractéristiques du modèle utilisé sont données dans le tableau 3.1.
Les tendances mises en valeur montrent naturellement une augmentation des vitesses avec la raideur du milieu et inversement avec la densité :
Une augmentation deφ, du paramètre de consolidationcsou des densitésρset dans
une moindre mesure ρf fait diminuer les vitesses des trois ondes ;
Une augmentation deKsetKf fait augmenter les vitesses des ondes de compression,
tandis que le durcissement du module de cisaillement va entraîner une hausse de toutes les vitesses.
La vitesse de l'onde Ps dépend très fortement des paramètres de circulations du
uide : une hausse de ηf oum fait augmenter la vitesse au contraire de la
perméa-bilité.
Comee dans le cas élastique, on observe que les hausses de densité ralentissent les ondes tandis que l'augmentation de la raideur du milieu accélèrent celles-ci.
Concernant l'atténuation :
Une augmentation de la porosité augmente l'atténuation, mais pas de manière si-gnicative pour les ondes Pf et S.
La perméabilité et la viscosité ont toujours un eet inverse sur les ondes Pf et S : Une forte perméabilité va entraîner une forte atténuation. Dans le cas de l'onde Ps,
ηf entraîne une forte hausse de l'atténuation tandis que l'inuence dek0 est minime.
Chapitre 1 : Présentation des milieux poreux
Figure 1.7: Inuence (en %) d'une variation de 10 % des paramètres φ,k0,ρf,ρs,Ks,Gs,Kf,
cset msur les vitesses (gauche) et sur l'atténuation (droite) des ondes Pf (haut), Ps (milieu) et S (bas).
Chapitre 1 : Présentation des milieux poreux
qualité augmente avec ρf et diminue avecρs pour l'onde Pf, l'inverse se produisant
pour l'onde S.
Les paramètres mécaniques du solide et du uide n'ont quasiment aucune inuence
sur QS et QP s. Pour l'onde de compression rapide, une augmentation de Kf fait
diminuer le facteur de qualité, au contraire des paramètres du minéral.
Enn le paramètre de cimentationm a une inuence primordiale surQP s, le faisant
augmenter fortement.
Il est cependant important de noter que la perméabilité, les caractéristiques du uide ou la consolidation peuvent varier de plusieurs ordres de grandeurs, tandis que les paramètres des minéraux varient peu.
Les paramètres les plus inuents sur l'atténuation sont donc la perméabilité et la viscosité du uide. Quant aux vitesses, elles dépendent très fortement des paramètres mécaniques du solide et du uide.
Variation de la vitesse en fonction de la porosité
De nombreux auteurs ont essayé de trouver des relations empiriques reliant simplement les vitesses à la porosité (Domenico, 1976; Castagna et al., 1985; Knackstedt et al., 2005, par exemple). De manière prévisible, la gure 1.8 montre une décroissance des vitesses
Figure 1.8: Vitesse des ondes Pf et S (gauche) et Ps (droite) pour des fréquences de 1, 10, 100, 1000 Hz (inférieure à la fréquence de coupure) en fonction de la porosité.
des ondes Pf et Ps lorsque la porosité augmente. Lorsque φ tend vers 0, les modules KU,
KD et G tendent vers les propriétés du minéral et sont donc maximaux. En première
approximation, on peut considérer que la variation relative de vitesse est égale à celle de la porosité :
∆V
V =−α∆φ
Chapitre 1 : Présentation des milieux poreux
α vaut environ 0.5 pour les ondes S et Pf.
Au contraire, l'onde Ps a un comportement vis à vis de la porosité beaucoup plus complexe et fortement dépendant de la fréquence. En eet, sa vitesse va décroître avec la porosité uniquement lorsque la fréquence est éloignée de la fréquence de coupure. Sinon, sa vitesse commence par croître avant de décroître.
1.4 Ondes mécaniques dans des théories plus complexes :