3.5 Modélisation éléments nis
3.5.1 Courbes de dispersion des ondes de Lamb dans les plaques
3.5.1.1 Plaque monolithique époxy
Pour discuter du choix du mode de propagation, nous avons eectué une analyse des ondes de Lamb se propageant dans les diérentes plaques décrites ci-dessus. La gure 3.15 montre les courbes de dispersion (vitesse de groupe en fonction de la fréquence) obtenues pour la plaque époxy monolithique multicouche dont les pro- priétés mécaniques sont présentées dans le tableau 3.1. Ce résultat correspond aux courbes de dispersion dans la direction 0◦ par rapport à la direction de la bre.
L'approche utilisée est la même que celle décrite à la section 2.6.5. Les calculs ont été eectués dans le domaine basse fréquence (< 250 kHz) où sont présents les trois premiers modes de propagation ( exion - A0, cisaillement horizontal - SH0 et
traction/compression - S0).
Figure 3.15 Courbes de dispersion dans la direction 0◦ par rapport à la direction de
la bre : plaque époxy monolithique.
fréquence (la vitesse de groupe dépend de la fréquence) ; c'est également celui qui a la plus petite vitesse de propagation. A l'opposé, les modes SH0 et S0 sont raisonna-
blement non-dispersifs avec une vitesse de propagation qui est quasiment constante avec la fréquence. De ce point de vue, ces deux modes seraient plus intéressants pour le contrôle santé. Comme on peut le voir sur la gure 3.15, à une fréquence xée (par exemple 100 kHz) ces trois modes (A0, SH0 et S0) se propagent simultanément
dans la structure, mais avec des vitesses diérentes. Le PZT récepteur captera alors le mode S0 en premier, suivi du mode SH0 et en n le mode A0 car leurs vitesses
de groupe décroissent dans cet ordre. Du fait que le mode S0 est le premier à être
mesuré expérimentalement, la réponse est donc moins sensible aux ré exions sur les bords de la structure que pour les autres modes. Les signaux mesurés expéri- mentalement nous ont ainsi contraint à considérer ce mode pour réaliser le contrôle santé. Des études précédentes (Su and Ye, 2009) ont montré que le mode S0 est
plus sensible à la détection des dommages dans l'épaisseur des structures, ce qui correspond bien aux types de dommages auxquels nous nous intéressons. Ce résul- tat va nalement dans le même sens que la contrainte rencontrée expérimentalement. La fréquence d'excitation est un paramètre important car elle est liée à la lon- gueur d'onde des ondes qui se propagent dans la structure. La gure 3.16 montre la relation entre la longueur d'onde λ et la fréquence pour la plaque monolithique dans la direction 0◦ par rapport à la direction de la bre.
Figure 3.16 Longueur d'onde λ en fonction de la fréquence dans la direction 0◦ par
rapport à la direction de la bre : plaque époxy monolithique.
Pour un mode de propagation donné et pour une fréquence xée est associée une longueur d'onde. Cette longueur d'onde a un eet remarquable sur la détectabilité du dommage. Le critère de choix de la longueur d'onde (et donc de la fréquence) généralement utilisé en SHM est qu'elle doit être inférieure au double de la taille de dommage que l'on souhaite détecter (Rose, 2004). Par conséquent, pour une taille minimale de dommage de 10 mm (BVID3/2) on doit choisir une longueur d'onde
maximale de 20 mm et ainsi une fréquence maximale de 250 kHz pour le mode S0.
Pour choisir la valeur acceptable de la fréquence, nous avons estimé à partir des signaux expérimentaux les vitesses de groupe à diérentes fréquences d'excitation allant de 50 kHz à 200 kHz et nous avons comparé ces résultats avec ceux donnés par les courbes de dispersion. La démarche est la suivante :
On génère le signal (3.1) à diérentes fréquences fexc variant de 50 kHz à 200
kHz à l'aide du PZT 1 et on mesure la réponse des autres PZTs (voir gure
3.17).
On estime la vitesse de groupe expérimentale des ondes dans diérentes di- rections de propagation ( gure 3.17) et on la compare à celle donnée par les courbes de dispersion. La vitesse de groupe est calculée comme étant le rap- port de la distance actionneur-capteur sur le temps d'arrivée, au capteur, du premier paquet d'onde. Ce temps d'arrivée est estimé par une transformée de Hilbert, dont le détail est présenté en section 5.2.2.3.
Figure 3.17 Représentation schématique des directions pour l'estimation des vitesses de groupe : plaque époxy monolithique.
La gure 3.18 montre les réponses temporelles mesurées pour la plaque monoli- thique à 140 kHz et à 200 kHz lorsque le PZT 1 agit en actionneur et les PZTs 2 à 5 agissent en capteur. On observe un fort étalement (et donc une mauvaise sépa- ration des paquets d'onde) dans les signaux mesurés à 140 kHz par rapport à ceux mesurés à 200 kHz. Les vitesses de groupe sont ensuite estimées dans les directions 0◦, 30◦ et 60◦. Les résultats sont présentés sur la gure 3.19.
On observe que les vitesses de groupe expérimentales des ondes à 200 kHz se rapprochent bien du modèle numérique, et ce dans les trois directions de propagation considérées. Cette observation con rme le fait que l'on mesure majoritairement le mode S0à 200 kHz et qu'il varie très peu avec l'angle de propagation. Par conséquent,
nous considèrerons par la suite, ce mode avec une fréquence d'excitation de 200 kHz pour les plaques monolithiques.
3.5.1.2 Plaque sandwich nid d'abeille
Les courbes de dispersion des ondes de Lamb dans la plaque sandwich avec un c÷ur en nid d'abeille ont été également calculées a n d'analyser les diérents modes de propagation dans cette structure. La gure 3.20 montre l'évolution du nombre des impacts à peine visibles et qui peuvent entraîner une dégradation signi cative des propriétés structurelles
(a) Fréquence : 140 kHz. (b) Fréquence : 200 kHz.
Figure 3.18 Réponses temporelles sur la plaque monolithique(les amplitudes des signaux ont été normalisées4 à 1).
(a) direction 0◦. (b) direction 30◦. (c) direction 60◦.
Figure 3.19 Vitesses de groupe (m/s) dans diérentes directions en fonction de la fréquence (kHz).
d'onde κ = 2π/λ ainsi que de la vitesse de groupe Vg avec la fréquence. On observe
dans la plage fréquentielle considérée ([0-350 kHz]) une multitude de modes de pro- pagation qui se chevauchent les uns sur les autres, ce qui rend di cile l'interprétation de ces courbes. Cette observation peut être due à la nature plus complexe de cette structure et la complexité du phénomène de propagation dans cette dernière. En eet, une analyse numérique détaillée révèle d'une part un couplage entre les modes de peau externes et ceux du c÷ur du nid d'abeille en alliage d'aluminium, et d'autre part on observe la présence des modes locaux, non propagatifs associés à la vibration des alvéoles du nid d'abeille. La fréquence d'excitation pour l'étude expérimentale a donc été choisie de façon empirique en fonction de la dispersion observée dans les paquets d'ondes mesurés. Pour cela, nous avons réalisé l'acquisition des signaux dans la plage fréquentielle [50-180] kHz, par pas de 10 kHz et nous avons retenu la fréquence pour laquelle on a le moins de dispersion dans les signaux. La fréquence retenue est de 100 kHz.
Figure 3.20 Courbes de dispersion des ondes de Lamb dans la plaque sandwich nid d'abeille.