Approche éléments nis pour le calcul des courbes de dispersion

De nombreux travaux ont été réalisés pour le calcul des courbes de dispersion des ondes de Lamb. On distingue des approches semi-analytiques basées sur la théorie de la diraction (Leger and Deschamps, 2009). Des méthodes numériques complètent ces dernières. Parmi les approches numériques, les plus utilisées sont les approches par éléments nis (Moser et al., 1999), les approches par diérences nies (Alter-

man and Karal, 1968), les méthodes spectrales (Peng et al.,2009), les méthodes des

éléments de frontière (boundary element methods-BEM) (Rose et al., 2003) et l'ap- proche LISA (Local Interaction Simulation Approach) (Agostini et al.,1999, 2003). Toutes ces méthodes approchent le calcul des courbes de dispersion à partir des modèles, et elles ce sont montrées ecaces pour les applications considérées.

L'approche que nous utilisons ici est basée sur une modélisation éléments nis pour le calcul des courbes de dispersion. L'approche consiste à calculer les solutions pé- riodiques en utilisant une transformée de Fourier/Floquet. On suppose l'existence des cellules périodiques dans la plaque, de telle sorte que le champ de déplacement dans le domaine de Fourier spatial peut s'écrire sur la forme :

{U (kx, ky, kz)} = +∞

X

m,n,l=−∞

où (kx, ky, kz) représentent les composantes du vecteur nombre d'ondes, u le champ

de déplacement spatial, et (∆x, ∆y, ∆z) les dimensions de la cellule (élément vo-

lumique) considérée. Les ondes se propageant sont dénies comme solutions des équations de mouvement associés à un seul vecteur d'onde k = (kx, ky, kz). Cette

hypothèse conduit à des contraintes de continuité sur les côtés gauche/droite d'une cellule (avec la cellule voisine) , éventuellement, pour chaque direction de la trans- formée de Fourier (continuité du champ de déplacement, conditions aux limites périodiques) et une périodicité spatiale des solutions cherchées. Les déplacements généralisés q et les forces généralisées f aux extrémités (gauche - G et droite - D) de cet élément sont reliés par :

qD = CqG fD = −CfG (2.23)

où C est une constante qui dépend des propriétés de propagation (nombre d'onde). L'élément de la structure est discrétisé par des éléments nis classiques. Cela im- plique un faible nombre d'éléments pour le maillage. Les matrices de masse et de rigidité de l'élément volumique sont obtenues et sont par la suite post-traitées en utilisant les conditions de périodicité pour obtenir un problème aux valeurs propres, dont les solutions fournissent l'évolution de la fréquence en fonction du nombre d'onde (courbes de dispersion ) ainsi que les modes de propagation (symé- triques/antisymétriques). Cette approche se présente en général comme une alter- native ecace lorsque des solutions analytiques sont impossibles. La méthode peut s'appliquer à tous types de structures (homogènes, composites, cylindres) de formes complexes. Les détails de cette approche peuvent se retrouver dans (Mace and Man-

coni,2008;Manconi and Mace,2007, 2010).

Nous présentons ici la validation de cette approche pour le calcul des courbes de dispersion dans une plaque homogène et isotrope en acier (E = 210 GPa, ρ = 7800 kg/m3_{, ν = 0.285) d'épaisseur h = 1 mm. Les solutions  exactes  des re-}

lations de dispersions peuvent être obtenues en résolvant les équations (2.20) et (2.21). On peut ainsi comparer ces solutions à celles données par l'approche de cal- cul périodique utilisée. La gure 2.13 montre le modèle maillé d'une cellule avec respectivement 8 et 10 éléments hexa20 (éléments hexaedriques à 20 noeuds) dans l'épaisseur de la plaque. Les dimensions de la cellule sont 0.1 mm ×0.1mm × 1 mm. La précision du résultat des courbes de dispersion dépendra du nombre d'éléments considérés dans l'épaisseur.

La gure 2.14 montre les courbes de dispersion des ondes de Lamb dans une plaque en acier d'épaisseur 1 mm. Les solutions exactes ainsi que les solutions élé- ments nis sont superposées comme le montre la gure. Dans cette gure sont repré- sentés les nombres d'onde adimensionnés kd (d = h/2) en fonction de la fréquence, pour tous des modes de propagation dans la plage de fréquence considérée [0-9000] kHz.

La solution éléments nis a été obtenue à l'aide du logiciel SDTools (Structural Dynamics Toolbox), une toolbox d'analyse modale et de modélisation éléments nis pour les problèmes vibratoires (Balmes,2014). On observe une adéquation entre les résultats des deux méthodes. Le modèle éléments nis ne permet pas de distinguer les modes (symétriques ou antisymétriques) car les équations d'équilibre dynamiques sont résolues sans découplage. Cependant la superposition des deux résultats permet

Figure 2.13  Modèle maillé d'une cellule avec 8 éléments (gauche) et 10 éléments (droite).

Figure 2.14  Comparaison courbes de dispersion des ondes de Lamb dans une plaque en acier d'épaisseur h = 1 mm : analytique (symétrique : Sym, antisymétrique : Anti),

modèle éléments nis (EF) (numérique (+)). Ai, Si désigne les modes de propagation.

de voir que tous les modes sont bien présents dans les solutions. Ce résultat montre la validité de l'approche éléments nis proposée dans le cas de dans la plaque en acier décrite précédemment.

2.6.4 Dicultés associées à la mise en ÷uvre des ondes de

Lamb

La gure 2.15 montre les vitesses de phase et de groupe en fonction de la fré- quence, calculées selon les formules (f est la fréquence) :

Vph= 2πf k (2.24) Vg = 2π ∂f ∂k (2.25)

Figure 2.15  Vitesse de phase (gauche) et vitesse de groupe (droite) en fonction de la fréquence.

On observe le caractère dispersif de ces ondes : la vitesse de groupe dépend de la fréquence. Cette propriété a des conséquences néfastes pour l'utilisation des ondes de Lamb pour la localisation des dommages. En pratique, pour réduire l'eet de la dispersion, on se sert des modes qui présentent une faible dispersion pour la détection, ou alors on linéarise les nombres d'onde en fonction de la fréquence an de supprimer ou compenser les eets liés à la dispersion (Liu and Yuan, 2009;

Wilcox, 2003; Xu et al., 2012). De plus, on remarque qu'à une fréquence xée,

on a plusieurs modes qui peuvent se propager simultanément dans la structure, ce qui rend l'utilisation de ces ondes très délicate pour la détection de dommages. Pour surmonter cette diculté, on se place en général dans le domaine basse fréquence an de solliciter majoritairement les deux modes fondamentaux A0 et S0. La conception

du dispositif de génération de ces ondes permet aussi une sélection des modes que l'on souhaite mesurer. La gure2.16 montre la longueur d'onde λ (mm) en fonction de la fréquence pour les deux premiers modes A0 et S0. On observe que pour le

mode A0, à la fréquence de 103.7 kHz, on a une longueur d'onde de 9.39 mm. Ceci

correspond à la longueur d'onde des ondes de Lamb se propageant à cette fréquence et pour ce mode. Les courbes de dispersion nous renseignent non seulement sur les modes et sur la vitesse des ondes se propageant dans la plaque mais aussi sur la longueur d'onde des ondes qui se propagent. Cette propriété sera utilisée dans le chapitre3 pour le choix de la fréquence d'excitation.

Figure 2.16  Longueur d'onde en fonction de la fréquence.