4.2 Etude a´erodynamique
4.2.3 Corr´elations spatiales des vitesses
Cartographie des corr´elations spatiales
Toujours dans l’optique de caract´eriser le d´eveloppement de la turbulence dans le jet, on s’int´eresse dans cette sous-section aux corr´elations spatiales calcul´ees `a partir des champs de vitesse PIV. Cette grandeur permet de d´eterminer le niveau de corr´elation entre les fluctuations de vitesse pr´esentes en deux points. En d’autres termes, elle va ainsi donner une indication sur la forme ainsi que la taille moyenne des structures tourbillonnaires dans le plan de mesure. Tout comme pour les corr´elations temporelles r´ealis´ees pr´ec´edemment
sur les mesures acoustiques, la corr´elation spatio-temporelle Rij s’exprime par :
Rij(~x, ~ξ, τ) = u0i(~x, t) D u0j(~x + ~ξ, t+ τ )E D u0i2(~x, t)E1/2D u0j2(~x + ~ξ, t+ τ )E1/2, (4.9)
i et j d´esignant les composantes de la vitesse, ~x le point de r´ef´erence, ~ξ le vecteur
d´eplacement entre le point de r´ef´erence et un point d’´etude et τ le d´ecalage temporel entre les signaux recueillis aux deux points. Les mesures PIV n’´etant pas r´esolues en
temps, le retard temporel τ est n´ecessairement nul si bien que les corr´elations se r´eduisent `a des corr´elations spatiales. Le calcul s’appuie sur les 2000 champs PIV disponibles afin d’atteindre une convergence statistique satisfaisante [5]. Sur la Fig. 4.15 sont trac´es les
iso-contours de corr´elation de la vitesse axiale Rxx pour deux points de r´ef´erence situ´es
dans la couche de m´elange du jet `a des positions axiales diff´erentes (x/D = 1 et 5). L’augmentation de la taille de la tˆache de corr´elation entre les deux points de r´ef´erence choisis est r´ev´elatrice de la croissance des structures tourbillonnaires moyennes dans la couche de m´elange. On remarque en outre que dans les deux cas les iso-contours sont des ellipses concentriques poss´edant un axe pr´ed´efini donn´e par la ligne continue noire.
Pour la position x/D = 1, cet axe forme un angle d’environ 7◦ par rapport `a la direction
axiale tandis qu’il est environ de 18◦ `a x/D = 5. Cette derni`ere valeur est similaire `a
celle obtenue par Fleury et al. [36]. Cette d´eformation des iso-contours a ´et´e attribu´ee `a l’anisotropie de la turbulence induite par le cisaillement moyen de l’´ecoulement [36, 95].
(a) (b)
Figure 4.15 – Isocontours de corr´elation sur la vitesse axiale Rxx pour la configuration
S0, NPR= 1.8 et pour les positions : (a) x/D = 1, y/D = 0.5 et (b) x/D = 5, y/D = 0.5. Les isocontours correspondent aux niveaux de corr´elation de 0.1 `a 0.9 par pas de 0.1.
On r´eit`ere maintenant cette analyse en se basant sur la vitesse transverse toujours aux mˆemes points de r´ef´erence (Fig. 4.16). Une nouvelle fois, on constate que les iso-contours sont des ellipses concentriques dont la taille croˆıt lorsqu’on s’´eloigne du diaphragme. Ce-pendant, on peut remarquer que les axes de ces ellipses sont cette fois-ci verticaux. Ce r´esultat est une nouvelle fois coh´erent avec les observations de Fleury et al. [36].
Calcul des ´echelles int´egrales
`
A partir des cartographies de corr´elation spatiales pr´ec´edentes, il est possible de d´eterminer l’´echelle de corr´elation L(k)ii (~x) bas´ee sur une des composantes de la vitesse dans une direction k particuli`ere. En effet, en r´ealisant une coupe des cartographies Fig. 4.15, typiquement dans la direction axiale (donn´ee par la ligne pointill´ee noire), on obtient les profils de corr´elation repr´esent´es Fig. 4.17. De la mˆeme mani`ere que pour les mesures acoustiques, on retrouve un pic de corr´elation plus ou moins large centr´e sur le point de r´ef´erence. Par int´egration, on obtient l’aire sous ce pic qui donne une indication sur la taille de la zone de corr´elation des fluctuations de vitesse dans la direction axiale. L’´echelle
(a) (b)
Figure 4.16 – Iso-contours de corr´elation sur la vitesse transverse Ryy pour la
configu-ration S0, NPR= 1.8 et pour les positions : (a) x/D = 1, y/D = 0.5 et (b) x/D = 5,
y/D = 0.5. Les iso-contours correspondent aux niveaux de corr´elation de 0.1 `a 0.9 par
pas de 0.1.
int´egrale est d´efinie dans ce cas par : L(k)ii (~x) = 1
2 Z ξk+
ξk−
Rii(~x, ξk,0)dξk (4.10)
avec ξk−et ξk+ les bornes d’int´egration. Les corr´elations spatiales ´etant assez bruit´ees, les pics sont int´egr´es `a partir du niveau Rii= 0.1.
(a) (b)
Figure 4.17 – Profil longitudinal de corr´elation Rxx pour la configuration S0, NPR=
1.8 aux positions : (a) x/D = 1 et (b) x/D = 5. La zone grise repr´esente le domaine d’int´egration consid´er´e pour d´eterminer les ´echelles int´egrales de turbulence.
Afin de d´eterminer la taille des structures turbulentes moyennes dans la couche de m´elange, la Fig. 4.18 montre l’´evolution longitudinale des ´echelles int´egrales bas´ees sur les vitesses axiales et transverses pour la position y/D = 0.5. Ces mesures sont ´egalement compar´ees aux travaux de Fleury et al. [36], Laurence [53], Davies et al. [31] et Liepmann & Laufer [56] men´ees chacune sur des jets subsoniques `a des Mach compris entre 0.3 et 0.9. Pour l’ensemble des ´echelles int´egrales calcul´ees sur les deux composantes de la vitesse, on
peut remarquer une croissance sensiblement lin´eaire. Ce r´esultat traduit une augmentation de la taille de la structure tourbillonnaire moyenne dans la couche de m´elange lorsque l’abcisse x augmente. Except´e pour la mesure de L(y)yy, on peut en outre observer une tr`es bonne ad´equation avec les mesures r´ealis´ees par Fleury et al. [36] en particulier en ce qui concerne la pente. Un l´eger ´ecart de niveau apparaˆıt n´eanmoins entre les r´esultats de la pr´esente ´etude et la litt´erature. L’´ecart peut r´esulter de la g´eom´etrie du diaphragme qui perturbe probablement la couche limite initiale du fait des arˆetes vives ou encore de l’utilisation de bornes d’int´egration diff´erentes dans le calcul. Pour l’´echelle int´egrale L(y)yy, la pente est en revanche quasiment deux fois plus forte dans les pr´esentes mesures et s’explique en partie par des corr´elations tr`es bruit´ees dans cette direction : en effet, une
int´egration `a partir d’un seuil sup´erieur (Ryy = 0.2) permet de retrouver une pente plus
proche de celle obtenue par Fleury. Un ph`enom`ene similaire a ´et´e observ´e par Andr´e [5].
(a) (b)
Figure 4.18 – ´Evolution longitudianles des echelles int´egrales dans la couche de m´elange
(y/D = 0.5) pour S0, NPR= 1.8. (a) Lx
xx et Ly
xx, Laurence [53] et Davies et al. [31],
Liepmann & Laufer [56] et (b) Lx
yy et Ly yy.
Pour conclure, la caract´erisation a´erodynamique du jet g´en´er´e par S0 `a NPR= 1.8, a montr´e que malgr´e la g´eom´etrie du diaphragme et la pr´esence d’un d´eficit de vitesse dans le centre du jet (probablement g´en´er´e par un disque de Mach `a l’entr´ee du diaphragme), le d´eveloppement de la couche de m´elange et de la turbulence est comparable `a celui observ´e dans la litt´erature pour les jets issus de tuy`ere. En particulier, il a ´et´e possible de mettre en ´evidence une croissance lin´eaire de la taille des structures tourbillonnaires moyennes dans la couche de m´elange vers l’aval. Ces r´esultats corroborent ainsi les obser-vations r´ealis´ees sur les mesures acoustiques et notamment l’augmentation de la coh´erence spatiale du rayonnement acoustique conjointement au diam`etre du diaphragme. En effet, lorsque celui-ci augmente, le cˆone `a potentiel du jet est allong´e, permettant ainsi une croissance plus ´etendue des structures tourbillonnaires dans la couche de m´elange. Le rayonnement aval g´en´er´e par l’interaction de ces plus grosses structures `a la fin du cˆone `a potentiel sera donc spatialement plus coh´erent.
Cependant, il est utile de noter que la pr´esence d’une source acoustique suppl´ementaire au bruit de m´elange comme par exemple le bruit tonal subsonique (c.f. annexe C), peut engendrer une forte modification du d´eveloppement de la couche limite et de la turbu-lence en particulier sur les premiers diam`etres du fait de l’apparition d’intenses structures tourbillonnaires `a la sortie du diaphragme.