Champ de vitesse moyenne

´

Evolution longitudinale de l’´epaisseur de la couche de m´elange

Afin de caract´eriser pr´ecis´ement le d´eveloppement a´erodynamique du jet, on s’appuie sur des mesures PIV qui offrent une description de la couche de m´elange avec une bonne r´esolution spatiale. Les mesures ne sont, en revanche, pas r´esolues en temps, c’est-`a-dire que l’intervalle de temps s´eparant 2 paires d’images cons´ecutives est grand devant le temps mis par une particule pour traverser le champ d’une image. Elles se prˆetent donc `a une analyse statistique mais pas spectrale. Pour se donner un premier aper¸cu des champs de vitesse `a la sortie du diaphragme, on trace sur la Fig. 4.10 les cartographies de vitesses instantan´ees et moyennes bas´ees sur la vitesse axiale ainsi que des profils transverses

de la vitesse moyenne (Ux) pour diff´erentes positions axiales pour S0 `a NPR= 1.8. Ces

positions sont d´efinies sur la cartographie Fig. 4.10 (b) par les lignes pointill´ees noires. On observe alors une ´evolution des profils de vitesse typique des jets avec notamment une d´ecroissance de la vitesse qui est de plus en plus lente dans la couche de m´elange

(y/D ' 0.5) car associ´ee `a un ´elargissement global du jet lorsque l’abscisse x augmente.

Ce ph´enom`ene r´esulte du cisaillement de l’´ecoulement en mouvement issu du diaphragme avec celui ext´erieur au repos. La vitesse du jet tend alors `a s’homog´en´eiser avec celle de l’environnement. En plus de ce ph´enom`ene attendu, on observe ´egalement l’apparition d’un d´eficit de vitesse marqu´e dans le centre du jet sur les 4 premiers diam`etres. Sur l’ensemble des points de fonctionnement test´es, ce d´eficit est apparu uniquement sur des

r´egimes supersoniques ou proches. Celui-ci est donc probablement dˆu `a la pr´esence d’un

disque de Mach `a l’entr´ee du diaphragme. En effet, la r´eduction brutale de section `a l’entr´ee g´en`ere probablement un effet vena contracta. Cette section devient alors la plus petite section de passage au niveau de laquelle apparaissent les premiers ph´enom`enes de

choc lorsque le NPR se rapproche de NPR_c = 1.89. Ce ph´enom`ene r´esulte donc d’une

perturbation g´en´er´ee par la g´eom´etrie propre du diaphragme. `

A partir de ces profils, on ´evalue l’´epaisseur de quantit´e de mouvement δθ. Pour les

´ecoulements compressibles, elle est courament exprim´ee par [123] δ_θ = Z ∞ yref < ρu_x(y) > < ρu_x(yref) > " 1− ^{< ux(y) >} < u_x(yref) > # dy, (4.6)

o`u yref d´esigne une positon de r´ef´erence. Cette ´equation est notament utilis´ee par Ponton & Seiner [83], Cheng & Lee [25] ou encore Castelain [20] mais son utilisation diff`ere par la position de r´ef´erence consid´er´ee pour l’int´egration. En effet dans la majorit´e des cas, la position de r´ef´erence est l’axe du jet c’est `a dire yref = 0, position pour laquelle la vitesse de l’´ecoulement est maximale. Cependant, lorsque des chocs apparaissent, la vitesse au centre du jet peut ne plus ˆetre la maximale. C’est ce qui arrive notamment dans notre cas `a NPR= 1.8. L’Eq. 4.6 int`egre alors des effets de gradient de vitesse qui ne sont pas li´es au cisaillement dans la couche de m´elange biaisant ainsi la valeur de l’´epaisseur de quantit´e de mouvement calcul´ee. Pour pallier ce probl`eme, Ponton & Seiner [83] proposent donc d’int´egrer `a partir du maximum de vitesse. C’est cette convention qui est appliqu´ee ici. Par ailleurs, en l’absence d’information sur les fluctuations de masse volumique, on utilise

(a) (b)

(c)

Figure 4.10 – Champs de vitesse instantan´ee axiale ux (a) et de vitesse moyenne axiale

U_x (b) pour le diaphragme S0 `a NPR= 1.8. (c) Profils transverses des vitesses moyennes

axiales (Ux) pour les diff´erentes positions axiales d´efinies par les lignes pointill´ees noires sur la cartographie pr´ec´edente.

ici la version incompressible de l’´eq. 4.6. Elle s’exprime par : δ_θ = Z ∞ yref U_x(y) U_x(yref) " 1− ^Ux(y) U_x(yref) # dy, (4.7)

o`u yref correspond `a la position du maximum de vitesse pour chaque position axiale.

La Fig. 4.11(a) montre l’´evolution de l’´epaisseur de quantit´e de mouvement dans le cas du diaphragme S0 `a NPR= 1.8. Cette mesure est par ailleurs compar´ee `a celles de Cas-telain [20] et Fleury et al. [36] effectu´ees dans des jets issus de tuy`eres convergentes `a M_j = 0.9. Notons que dans ces cas, la position de r´ef´erence yref est le centre du jet (posi-tion pour laquelle la vitesse de l’´ecoulement est maximale). Globalement, on peut constater un excellent accord entre les mesures r´ealis´ees sur le diaphragme S0 et la litt´erature en particulier pr`es de la sortie. En effet, pour les 4 premiers diam`etres, l’´evolution est lin´eaire et se superpose parfaitement aux r´esultats de Castelain [20] et Fleury et al. [36]. Au del`a en revanche, la couche de m´elange s’´epaissit plus rapidement dans le cas du diaphragme.

d´eficit de vitesse dans le centre du jet n’est plus visible. On peut donc imaginer qu’`a partir de ce point, la zone de d´eficit est atteinte par la couche de m´elange g´en´erant une chute de la vitesse maximale prise comme r´ef´erence dans l’Eq. 4.7. Cela pourrait donc avoir pour effet d’augmenter la valeur de δθ obtenue. N´eanmoins, malgr´e ce l´eger ´ecart, la pr´esence d’un probable disque de Mach dans l’´ecoulement et l’utilisation d’un diaphragme, la croissance de la couche limite reste proche de celle observ´ee sur des jets issus d’une tuy`ere.

Des r´esultats similaires peuvent ˆetre observ´es en analysant, sur la Fig. 4.11 (b), l’´evolution longitudinale du diam`etre du jet (D<sub>0.5</sub>) d´elimit´e par le contour de vitesse U<sub>xmax</sub>(x)/2, o`u

U_xmax(x) est la vitesse axiale maximale relev´ee pour chaque position x. Sur les 3

pre-miers diam`etres, on remarque une nouvelle fois des valeurs comparables `a celles obtenues par Fleury et al. [36]. Au del`a en revanche, la couche de m´elange du jet issu du dia-phragme s’´epaissit beaucoup plus rapidement. Une nouvelle fois, cela peut s’expliquer par la pr´esence du d´eficit de vitesse qui favorise une r´eduction de la vitesse maximale une fois que la couche de m´elange l’atteint. Une autre cons´equence li´ee `a la g´eom´etrie du diaphragme est que l’origine du d´eveloppement de la couche de m´elange du jet ap-parait probablement au niveau de l’arˆete amont de celui-ci favorisant une couche de m´elange plus d´evelopp´ee et turbulente `a sa sortie. Ce ph´enom`ene peut ´egalement ex-pliquer l’´epaississement plus rapide observ´e.

(a) (b)

Figure 4.11 – (a) ´Evolution longitudinale de l’´epaisseur de quantit´e de mouvement δθ

pour le diaphragme S0 `a NPR= 1.8. (b) ´Evolution longitudinale de D0.5 pour le

dia-phragme S0 `a NPR= 1.8.

Longueur du cˆone potentiel

On s’int´eresse maintenant `a un second crit`ere a´erodynamique d’importance pour le bruit de m´elange : la longueur du cˆone potentiel. En effet, les diff´erentes ´etudes loca-lisent l’origine du rayonnement aval associ´e aux grosses structures turbulentes `a la fin du cˆone potentiel. Sa longueur va donc favoriser une croissance plus ou moins longue de ces structures. Cette variation de l’´echelle des structures peut notamment expliquer l’augmentation de la coh´erence du rayonnement acoustique `a l’aval lorsque le diam`etre

du diaphragme augmente (Fig. 4.5). Dans la litt´erature la longueur du cˆone potentiel Lc

jet devient inf´erieure `a une fraction α de la vitesse axiale `a la sortie de la tuy`ere c’est `a dire :

U(x = L_c, y = 0)≤ α × U(x = 0, y = 0). (4.8)

Les ´etudes diff`erent n´eanmoins dans le choix du param`etre α mais s’accordent pour

donner une longueur L_c ' 7D pour un jet `a Mach 0.9 (valeur notament obtenue par

Fleury et al. [36] et Castelain [20] en consid´erant respectivement α = 95% et 97.5%). Pour des nombres de Mach sensiblement inf´erieurs, exempts d’onde de chocs, la longueur commun´ement admise est typiquement comprise entre 4 et 6 diam`etres. Afin de tenter de d´eterminer cette grandeur dans le cas du diaphragme S0, on trace sur la Fig. 4.12

l’´evolution longitudinale de la vitesse moyenne Ux sur l’axe du jet pour NPR= 1.8. On

obtient alors un profil de vitesse relativement constant sur les 3 premiers diam`etres suivi d’une d´ecroissance de plus en plus importante `a mesure que la couche de m´elange approche l’axe du jet. Il est donc possible d’appliquer la relation 4.8. En consid´erant α = 95%, on obtient alors Lc= 5.4D. Cette faible longueur, compar´ee `a la litt´erature, peut s’expliquer par la pr´esence suppos´ee du disque de Mach `a l’entr´ee du diaphragme qui g´en`ere un d´eficit de vitesse dans le centre du jet. La longueur du cˆone potentiel, d´etermin´ee par la m´ethode pr´ec´edente, est donc probablement un peu biais´ee. Pour la corriger, il faudrait prendre en compte le diam`etre effectif dˆu `a l’effet vena contracta qui n’est pas document´e ici, faute de mesures dans l’orifice du diaphragme.

Figure 4.12 – Profil longitudinal de la vitesse moyenne sur l’axe du jet en pour S0 `a

NPR= 1.8.