Le contrat optimal

étude :

S(V

c

)−C(V

c

, V

p

, θ)−µU, (4.3)

avec µ≡ ^2π−1

π ^∈]0,1].

4.3 Le contrat optimal

Le contrat de délégation doit spécier un volume d'eauV

_c

consommé par les usagers

nals (qui détermine le prix unitaireP(V

_c

)), un volume d'eau V

_p

perdu (qui détermine

le volume d'eau V

_e

à extraire : V

_e

=V

_c

+V

_p

) et un transfert monétaire T représentant

le montant de l'investissement en capital supporté par l'exploitant.

4.3.1 Le cas de l'information complète

Nous supposons ici que la collectivité locale connaît le paramètre θ caractérisant

l'opérateur privé lorsqu'elle propose un contrat. Le contrat optimal doit maximiser le

critère (4.3) sous la contrainte de participation U ≥ u. Puisque µ > 0, laisser des

rentes à l'entreprise est coûteux. En conséquence, nous avons U =u, et les conditions

d'ecacité usuelles s'écrivent :

P(V

_c

) =C

_Vc

(V

_c

, V

_p

, θ) (4.4)

C

_Vp

(V

_c

, V

_p

, θ) = 0. (4.5)

L'équation (4.4) est simplement l'égalité du prix et du coût marginal. L'équation (4.5)

indique que le volume d'eauV

_p

perdu est choisi de façon à minimiserC étant donnéV

_c

.

Elle caractérise donc le niveau de pertes optimal. Pour le moment, nous ne faisons pas

d'hypothèse particulière sur le niveau du coût marginal du volume d'eau consommé en

fonction de θ.

Notons également que la solution optimale(V

_c

, V

_p

) donnée par le système ci-dessus

ne dépend pas de π. Ce résultat est essentiellement dû au fait que la collectivité locale

préfère favoriser les usagers (π >

1

être xées à zéro.

4.3.2 Le cas de l'information incomplète

Nous considérons maintenant le cas où l'opérateur à une information privée sur sa

technologie, c'est à dire sur le paramètre d'ecacité θ. La collectivité locale n'observe

pasθ mais en a une information a priori représentée par la fonction de densitéf dénie

sur l'intervalle [θ,θ^¯].

En eet, même si les exploitants doivent présenter les comptes-rendus techniques et

nanciers de leur activité, la collectivité locale ne peut pas déduireθde ces rapports : les

comptabilités peuvent présenter des lignes de dépenses agrégées qui ne correspondent

pas nécessairement à l'exploitation de l'année courante, ou même de la collectivité.

Un opérateur peut en eet choisir d'allouer certaines de ses dépenses entre diérents

services d'eau dont il a la charge.

Dans un tel cas, l'exploitant a un avantage stratégique qu'il peut utiliser an

d'aug-menter ses prots au-delà de son niveau de réserveu. Le contrat conçu par la collectivité

locale doit alors trouver un point d'équilibre entre l'ecacité et l'extraction de rentes.

Le principe de révélation

8

permet de considérer que la collectivité locale propose à

l'opérateur privé un menu de contrats indicé parθ, (V

_c

(.),V

_p

(.),T(.)) et que l'opérateur

privé choisit le contrat qu'il préfère en révélant son vrai typeθ. La première étape dans

la caractérisation du contrat d'équilibre est de déterminer la classe des mécanismes

implémentables. Le mécanisme est implémentable (ou réalisable), s'il est compatible

en termes d'incitations et s'il respecte la contrainte de participation.

Si un opérateur de type θ reporte θ

0

, ses prots s'écrivent :

v(θ, θ

⁰

) =T(θ

⁰

) +P[V

c

(θ

⁰

)]V

c

(θ

⁰

)−C[V

c

(θ

⁰

), V

p

(θ

⁰

), θ].

Le contrat (V

_c

(θ), V

_p

(θ), T(θ)) doit donc vérier les contraintes d'incitation (IC)

sui-8

Nous utilisons la méthodologie classique des problèmes de sélection adverse utilisée par Baron and

Myerson (1982) et étendue par Guesnerie and Laont (1984).

4.3. Le contrat optimal 135

vantes :

v(θ, θ)≥v(θ, θ

⁰

), ∀ θ, θ

⁰

∈[θ,θ^¯].

En dénissant U(θ) = v(θ, θ), la condition nécessaire de premier ordre peut être

obtenue à partir du théorème de l'enveloppe :

U

0

(θ) =−C

_θ

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ). (4.6)

Notons d'abord que (4.6) est une condition locale qui signie que pour tout mécanisme

compatible en termes d'incitations, le prot de l'exploitant pour tous les types possibles

est une fonction décroissante de θ puisque C

θ

est positif. En d'autres termes, le prot

d'un exploitant avec des coûts élevés (θ élevé) est inférieur au prot d'un autre qui a

des coût plus faibles (θ faible) sur un même service.

La condition de second ordre s'écrit :

C

_θVc

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ)^dV

^c

dθ ^+C

^θVp

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ)^dV

^p

dθ ^≤0. (4.7)

CommeU est décroissant enθ, la contrainte de participation (ou de rationalité

indivi-duelle) U(θ)≥u se limite à

U(¯θ) =u. (4.8)

Nous ignorons les contraintes de second ordre (vériées plus tard) de telle sorte que le

programme du régulateur s'écrit :

max

Vc(.),Vp(.)

Z

_θ¯ θ

·

S(V

_c

(θ))−C(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ)−µU(θ)

¸

f(θ)dθ (4.9)

sous les contraintes (4.6) et (4.8). La combinaison de ces contraintes donne une

expres-sion de la rente d'information que reçoit l'opérateur. Nous calculons cette rente comme

étant égale à :

U(θ)−u=

Z

_θ¯

θ

C

_θ

(V

_c

(τ), V

_p

(τ), τ)dτ (4.10)

de telle sorte que la valeur espérée de U(θ)est aussi la valeur espérée de u+C

_θF

En introduisant l'expression (4.10) dans le critère à maximiser, le problème du

régula-teur devient :

max

Vc(θ),Vp(θ)

Z

_θ¯ θ

·

S(V

_c

(θ))−C(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ)−µ^F(θ)

f(θ)^C

^θ

^(V

^c

^{(θ), V}

^p

^{(θ), θ)}

¸

f(θ)dθ. (4.11)

La solution optimale (V

_c

, V

_p

)est donnée par le système :

P(V

_c

) =C

_Vc

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ) +µ^F(θ)

f(θ)^C

^θVc

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ) (4.12)

0 =C

_Vp

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ) +µ^F(θ)

f(θ)^C

^θVp

(V

_c

(θ), V

_p

(θ), θ). (4.13)

Si l'on compare le système d'équations (4.124.13) au système (4.44.5) du cas de

l'information complète, on remarque qu'il y a deux termes supplémentaires. Ces termes

disparaissent lorsqueµ= 0, ou de manière équivalenteπ=

1

2

. Dans ce cas, les rentes ne

sont plus coûteuses, et il n'y a plus d'arbitrage entre ecacité et extraction de rentes.

Ainsi, tester la présence d'information privée consiste à vérier que µ est diérent de

zéro (ou de manière équivalente que π est diérent de

1

2

).

Un résultat important concernant les solutions du modèle est le suivant. Comme

nous l'avons souligné plus haut, la valeur espérée des rentes est égale à la valeur espérée

deC

_θF

f

(θ). Réduire les rentes revient alors à diminuerC

_θ

(voir gure 4.1). Les signes des

dérivées croisées C

_θVc

et C

_θVp

sont donc les deux éléments qui régissent les distorsions

par rapport au cas de l'information complète. En particulier, si C

_θVp

< 0

c'est-à-dire s'il est plus coûteux pour les exploitants les plus inecaces de réduire les pertes,

alors un accroissement des pertes V

_p

réduit les rentes. En d'autres termes, il pourrait

être dans l'intérêt de la collectivité locale de permettre à l'exploitant d'accroître ses

pertes au-delà du niveau optimal, pour que les exploitants les plus ecaces n'aient

pas de gain à se faire passer pour inecaces. Ainsi, l'information incomplète ore une

raison supplémentaire à la présence de pertes d'eau importantes dans les réseaux d'eau

potable.

Dans le document Analyse économique des coûts d'alimentation en eau potable (Page 134-138)