Les contraintes mécaniques

Pour permettre une conception réaliste du recirculateur, il ne suffit pas de prendre en compte les contraintes liées à la physique et à la géométrie du système mais aussi celles liées directement à sa fabrication et à sa mise en œuvre. Ces dernières sont habituellement d’ordres mécaniques. Concevoir un système optique, de façon globale, doit aussi prendre en compte au mieux les paramètres mécaniques des objets utilisés tels que l’épaisseur d’un miroir ou la faisabilité de tel ou tel mouvement. Toutes ces considérations ajoutent des contraintes supplémentaires.

3.1.4.1 Tolérances sur les dimensions des éléments optiques

La phase de fabrication des MPS et des différents éléments du recirculateur induit des incerti-tudes inévitables sur tous les paramètres, qu’il faut alors prendre en compte lors de la phase de conception. Pour ce faire j’ai ajouté les tolérances δD_{M P S} et ∆` respectivement sur la distance D_{M P S} et la longueur L_RF, les deux paramètres les plus critiques du système. Les deux paraboles étant en configuration confocale l’incertitude sur L_RF provient en majeure partie de celle sur les focales des miroirs paraboliques (cf. éq. (3.1)).

Il est nécessaire de pouvoir compenser l’incertitude ∆` sur L_RF avec les MPS (cf. éq. (3.1) et éq. (3.2)). Comme expliqué dans la sect.3.1.2 les MPS ne peuvent pas avoir un grand angle de débattement et donc deux solutions sont envisageables : soit imposer de très fortes contraintes sur la focale des miroirs paraboliques, soit concevoir les MPS après la caractérisation des miroirs paraboliques. Une très forte contrainte sur la focale des paraboles implique un coût élevé de construction des paraboles (matériaux, revêtement, polissage, etc.). L’état de l’art nous permet d’avoir une caractérisation pratiquement parfaite de la focale des paraboles tandis que l’incerti-tude lors de la fabrication est comparativement large.

Dans le cas où les paramètres des MPS sont optimisés après la caractérisation des miroirs para-boliques, nous introduisons le paramètre ∆D qui représente l’écart entre la distance D désirée pour le système et sa valeur mesurée (après fabrication des paraboles). L’impact de ∆D 6= 0 sur le reste du système est illustré par la fig. 3.7, lorsque les MPS sont optimisés après la caracté-risation des paraboles. On constate qu’un écart de plus de 800 µm sur la valeur optimale de D ne garantit plus le même nombre de passages et engendre des « décrochés » sur pratiquement tous les paramètres du recirculateur. L’optimisation des MPS après la caractérisation des miroirs paraboliques ne permet donc pas, dans toutes les situations, de garantir un flux de rayons γ optimal. Il faut donc contraindre l’incertitude de fabrication sur la focale des paraboles telle que ∆D soit toujours inférieur en valeur absolue à 800 µm.

Il est important de distinguer ∆D et ∆` qui représentent deux choses bien différentes. La première représente la variation de D par rapport à sa valeur théorique, après la caractérisation des

−1000 −500 0 500 1000 28 29 30 31 32 ∆D [µm] N^p a s s (a) −1000 −500 0 500 1000 29.7 29.71 29.72 29.73 29.74 ∆D [µm] Φ^M [m m ] (b) −1000³⁹ −500 0 500 1000 39.5 40 40.5 41 41.5 42 ∆D [µm] D^M P S [m m ] (c) −1000²² −500 0 500 1000 22.5 23 23.5 24 24.5 25 ∆D [µm] θ [ ◦] (d) −1000⁰ −500 0 500 1000 50 100 150 200 250 300 ∆D [µm] ∆ L^z [m m ] (e) −1000 −500 0 500 1000 4827.5 4828 4828.5 4829 4829.5 4830 ∆D [µm] L^R F [m m ] (f)

Figure 3.7 – Influence de ∆D sur les paramètres critiques du recirulateur lorsque φ et w₀ restent constants : (a) le nombre de passages maximal N_pass, (b) le diamètre ΦM des miroirs des MPS, (c) la distance D_{M P S} entre les deux miroirs d’un MPS, (d)

l’angle d’incidence θ sur les miroirs des MPS, (e) l’espace disponible supplémentaire ∆L_z = L_z − N_pass × D_k, suivant l’axe z pour les MPS. Il est vérifié sur (f) que la longueur de chemin optique d’un passage est bien compensée. Les paramètres initiaux sont récapitulés dans la tab.3.1et découlent de l’optimisation décrite dans la sect. 3.2.

3.1. Contraintes du recirculateur 81

paraboles. La seconde regroupe la précision à laquelle on a mesuré D + ∆D et la tolérance sur la valeur de la RF.

3.1.4.2 Débattement mécanique et épaisseur des miroirs et des montures

Pour prendre en compte l’occupation réelle des MPS au sein du recirculateur j’ai dû considérer quelques grandeurs mécaniques supplémentaires :

— l’épaisseur e des montures supportant les miroirs des MPS,

— la distance D_M entre les faces internes des miroirs de deux MPS adjacents (cf. fig.3.8(a)), qui est la somme de e, l’épaisseur des miroirs et une marge de sécurité,

— la variation de longueur de chemin optique nécessaire ∆` venant de la tolérance sur D et sur la synchronisation (cf. sect. 3.1.4.1),

— le débattement mécanique D_str des MPS (cf. fig.3.8(a)) qui découle des paramètres pré-cédents.

Ces grandeurs sont représentées par la fig. 3.8(a), où l’on peut voir la grande différence entre l’occupation mécanique et optique (si l’on ne considère que les faces réfléchissantes des miroirs). L’angle θ_minest l’angle d’incidence minimal sur les miroirs pour rattraper ∆` sur L<sub>RF</sub> par rapport à la situation initiale (d’angle d’incidence θ). Il faut noter que la grandeur ∆` dépend de θ_min. La distance D_str est le débattement mécanique généré quand le MPS est tourné dans sa position maximale (d’angle d’incidence θ_min). Les distances D_⊥ et D_k sont respectivement les distances entre les centres de deux MPS voisins dans le plan xy et le long de l’axe z.

Après quelques considérations géométriques on obtient les distances D_str et D_k :

D_str = R (cos (γ + θ_min) − cos (θ + γ)) , (3.7) Dk = ^{DM P Scos (2θ) + DM + 2Dstr}

cos θ ^{, (3.8)}

avec :

R = D_{M P S} s

(sin θ_min+ sin θ)²+ cos (2θ)

2 cos θ ^{− sin θmintan θ} 2 , (3.9) γ = arccos ^A 2+ R²− Amax 2
2 2AR ! , (3.10) A = ^{DM P S} cos θ ^{, (3.11)} A_max = ^{DM P S} cos θmin . (3.12)

(a)

(b)

Figure 3.8 – (a) schéma de la disposition de deux MPS (vue déroulée), vue du dessus de la fig. 3.3. En encart est montrée la vue isométrique correspondante. On représente aussi : le débattement des MPS (cercle fait de croix), la position initiale (hachures) avec l’angle d’incidence θ correspondant, et la position tournée maximale des MPS (traits interrompus fins) avec l’angle minimal θ_min lui correspondant.(b)détails des paramètres

utilisés pour le calcul du débattement.

3.1.4.3 Longueur disponible le long de l’axe z

Le fait que les miroirs aient une certaine épaisseur et que les MPS aient un débattement impacte grandement la longueur totale de l’hélice des MPS (la colonne vertébrale du « dragon »). Pour un nombre de passage maximal N_pass, la longueur de l’hélice est donnée par : N_pass× D_k. La longueur L_z disponible pour l’hélice le long de l’axe z, au sein même du recirculateur, dépend entre autres de la divergence gaussienne et de l’angle de croisement φ entre le faisceau d’électrons et le faisceau laser (cf. fig. 3.9). Ainsi le nombre de passages maximal réellement possible sera aussi limité par L_z.

En se basant sur la fig.3.9, nous définissons z₀ la solution de l’équation d’inconnue z :

ΦM

2 ^{+ e +} w(z)

cos φ ^{− (fe+ w(z) tan φ − z) sin φ = 0, (3.13)} avec w(z) = w₀

q

1 + zλM2/ πw2 0

2

, le rayon du faisceau laser à une distance z de son waist et f_e = D/ (1 + cos φ) la longueur focale effective de la parabole. L’éq. (3.13) représente la condition où la distance entre le faisceau laser incident et le faisceau réfléchi par la parabole est égale à l’épaisseur e de la monture des miroirs additionnée du rayon des deux faisceaux.

3.1. Contraintes du recirculateur 83

Figure 3.9 – Vue schématique d’une réflexion sur une parabole. Les différentes grandeurs mécaniques et optiques pour le calcul de L_z sont également indiquées.

Finalement on obtient L_z :

L_z = ^{2 D cos φ}

1 + cos φ ^{− 2 H cos φ, (3.14)}

où H = f_e+ w(z₀) tan φ − z₀ (cf. fig. 3.9).

3.1.4.4 Nombre de passages maximal

Nous venons de voir que les contraintes imposées à la géométrie du système corrèlent tous les paramètres (voir tab.3.1) entre eux de manière complexe ce qui contraint le nombre maximal de passages possible N_pass. Nous pouvons considérer trois valeurs de N_pass, une pour chaque grande contrainte : temporelle, optique et mécanique. Pour rappel, la contrainte temporelle correspond à la durée τ pendant laquelle les cavités accélératrices peuvent accélérer les électrons, la contrainte optique est reliée au nombre de places disponibles sur la couronne et enfin la contrainte mécanique est la longueur L_z disponible pour l’hélice des MPS. La valeur acceptable est alors le minimum de ces trois valeurs :

Npass= min    4  τ c 4 (2 D + `)  , 4     π 4 arcsin  D⊥ 2 RC     , 4  Lz 4 D_k     , (3.15)

avec bxc la partie entière par défaut (la floor function) du réel x, 4 bx/4c permettant ainsi de prendre le plus proche entier multiple de quatre inférieur ou égal à x (cf. sect.3.1.3.5).

On peut noter qu’il n’est pas nécessaire d’arrondir le nombre de passages limité par τ à un multiple de quatre inférieur, car il est toujours possible de faire recirculer l’impulsion laser sans qu’elle ne croise de paquet d’électrons. En revanche les deux autres termes sont limités physiquement par le système et donc s’ils ne sont pas multiples de quatre, toute recirculation sera impossible : le système ne sera pas viable. La valeur de N_pass ainsi obtenue est un maximum possible, il est donc toujours permis de choisir une valeur inférieure.