Problemas envolvendo construções geométricas sempre ocuparam lugar de destaque na geometria, além de terem importância teórica fundamental. Passemos a algumas considerações sobre as construções geométricas em seus aspectos gerais. Por uma construção geométrica devemos entender um problema do seguinte tipo: a partir de elementos dados ou prontamente construídos (pontos, retas, círculos, ângulos) outros elementos podem ser derivados, de acordo com as regras seguintes, com base em Breidenbach & Süss (1983; p.198-237):
9Apenas certos instrumentos bem-definidos podem ser usados em cada caso; 9Cada um dos instrumentos pode ser usado apenas de uma forma pré-
determinada; e
9A construção deve acabar em um número finito de passos.
Qualquer construção geométrica com régua e compasso obedece a uma seqüência de etapas bem característica e pode envolver ao menos uma das etapas seguintes: (a) unir dois pontos por uma reta; (b) achar o ponto de intersecção de duas retas; (c) desenhar um círculo com um raio dado em torno de um ponto; (d) encontrar os pontos de intersecção entre dois círculos ou entre um círculo e uma reta. Uma construção geométrica consiste, portanto, em encontrar elementos que podem ser pontos, retas ou círculos.
Os esforços de gerações e gerações de matemáticos por resolver os três problemas clássicos da antiguidade resultaram no desenvolvimento de novas idéias, novas teorias e novos procedimentos, a exemplo do que ocorre quando se quer provar a impossibilidade da trissecção de um ângulo arbitrário apenas com régua (sem escalas) e compasso. A questão central aqui é que os matemáticos tiveram que mudar de foco, passando então a considerar a seguinte questão, apontada em Courant & Robbins (2000): “Como é possível provar que certos problemas não podem ser resolvidos?”. Tiveram que concentrar esforços num “casamento” da geometria com a álgebra, na medida em que foi necessário traduzir problemas geométricos para a linguagem da álgebra. Vamos agora dar uma idéia resumida de como este procedimento funciona: um elemento x é procurado a partir de outros elementos a, b, c,... e então o que se tem de fazer é primeiro encontrar uma equação que relacione x com as quantidades a,b,c,... dadas; em seguida, encontramos x resolvendo esta equação para, finalmente determinarmos se esta solução pode ser obtida por processos algébricos que correspondam a processos geométricos.
Para ilustrar o que foi dito acima, consideremos o problema de achar a média geométrica entre a e b. Neste caso, a quantidade x procurada é obtida a partir dos segmentos dados a e b, e devido à semelhança dos triângulos ABE e EBC
formamos a equação a x
x , da qual tiramos b x a b. . De fato, a solução algébrica
obtida corresponde à construção geométrica indicada na figura abaixo.
'ABEa'EBC a x x b 2 . x a b x a b.
Figura 1.5 – Construção da média geométrica entre a e b
Nesta situação, o que se vê é um problema algébrico com solução no campo real ser solucionado de forma correspondente no campo geométrico por meio de uma construção com régua e compasso.
Vamos, mais uma vez, nos reportar ao problema da trissecção do ângulo. A prova de que a trissecção do ângulo é de maneira geral impossível usa a idéia simples de considerar um ângulo
T
dado por seu co-seno, digamos cosT
= g, e desta forma o problema consiste em encontrar o co-seno de3
T
, que como sabemos está relacionado com o de
T
pela identidade trigonométricacos
T
= g = 4.cos3( 3T
) – 3.cos( 3T
),ou seja, o problema de trissectar o ângulo equivale a construir uma solução da equação cúbica
O que se tem de demonstrar é que a tri-secção do ângulo não pode ser efetuada por um procedimento válido para todos os ângulos. Para levar a prova a efeito, basta tomar um ângulo que não possa ser trissectado, pois um método geral válido teria que cobrir cada exemplo individual, o que não é possível. De fato, a falta de um método geral será provada se pudermos demonstrar, por exemplo, que o ângulo de 60° não pode ser trissectado apenas com régua e compasso. Agora, do fato de que g = cos 60° = 1
2(
13), a equação (*) pode ser escrita: 8z3 – 6z - 1= 0,
que é uma equação cúbica de coeficientes racionais que não possui qualquer raiz racional14. Um teorema importante nos assegura que a raiz desta equação não pode ser construída com régua e compasso: Se uma equação cúbica de coeficientes
racionais não tem raiz racional, nenhuma de suas raízes é construtível a partir do
corpo dos racionais. Pode-se colocar esse resultado de forma mais geral,
escrevendo-se o seguinte: Se um dado número real é construtível, então ele é raiz
de um polinômio a uma variável com coeficientes racionais cujo grau é uma potência de 2 (dois).
O fato de a equação 8z3 – 6z - 1= 0 ser de grau 3 corresponde à impossibilidade da tri-secção do ângulo. O leitor pode encontrar os detalhes da prova deste fato em Courant & Robbins (2000; p.164-167), que usa a teoria das equações algébricas, em particular a das equações cúbicas. Resumindo, a questão da construtibilidade de um número deve ser enunciada assim: “um número será construtível somente se for algébrico, de grau igual a uma potencia de dois”.
13 Se a trissecção não pode ser feita para um certo ângulo, por exemplo, de 60°, então é impossível
de maneira geral, exceto, é claro, para os casos de 90° e 180°, que são facilmente trissectados apenas com o compasso.
14 Se uma equação polinomial 1 2
1 2 ... 1 0 ( 0)
n n n
n n n o n
a x a x a x a x a a z de
coeficientes inteiros, admite uma raiz racional p/q (onde p e q são inteiros primos entre si e qz0), então p é divisor de a0 e q é divisor de an. No caso da equação 8z3 – 6z - 1= 0, teríamos p{1, -1} e q{1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8}. Assim, se esta equação tiver alguma raiz, ela estará no conjunto
{1, 1, ,1 1 1, , 1 1, , 2 2 4 4 8 8
1}. Fazendo a verificação para os 8 elementos deste conjunto, constatamos que nenhum deles é raiz da equação dada.
Nossa intenção ao mencionar esses fatos referentes aos problemas clássicos da antiguidade foi basicamente a seguinte: o fato de estarem ligados a problemas de álgebra e teoria dos números, além de, teoricamente, o assunto nos remeter ao campo das construções geométricas com régua e compasso.
Enfim, convém ressaltar que as construções geométricas têm uma importância teórica (e prática) fundamental no ensino e aprendizagem de geometria, além de representarem uma poderosa ferramenta nas investigações matemáticas.
1.6.3 Construções geométricas com restrições: Régua ou compasso apenas?