CHAPITRE II : METHODES D’IDENTIFICATION ET RESULTATS
4. Conditions de validité des estimateurs
Dans cette mesure le traitement est considéré endogène, dépendant d’un certain nombre de facteurs qui sont essentiellement inobservables.
Tout comme pour l’ITT, nous estimons l’ATT respectivement en Entrées-Echelonnées et en Double-différence. Les spécifications retenues sont les suivantes :
𝑌𝑖𝑣 = 𝛽0+ 𝛽1𝐷𝑖𝑣+ 𝛾𝑋𝑖𝑣+ 𝜀𝑖𝑣(2.1𝑐) 𝑌𝑖𝑣𝑡 = 𝛽0+ 𝛽1𝐷𝑖𝑣+ 𝜗𝑡 + 𝛿(𝐷𝑖𝑣∗ 𝑡) + 𝛾𝑋𝑖𝑣𝑡+ 𝜀𝑖𝑣𝑡(2.2𝑐) 𝑎𝑣𝑒𝑐𝐷𝑖𝑣= 𝜑(𝑋𝑖𝑣, 𝜀𝑖𝑣)(2.2𝑑) 𝐷𝑖𝑣 représente la participation au programme. C’est une variable binaire qui prend 1 lorsque le ménage de l’individu 𝑖 réalise au moins une opération à la PTFM et 0 sinon. Ces opérations concernent notamment la mouture, le broyage, le décorticage des céréales ou tout autre transformation agroalimentaires mais également l’utilisation d’autres services comme les recharges de batteries, etc. La participation du ménage est ici supposée être une fonction 𝜑(. ) des caractéristiques observables et inobservables du ménage.
3.3. Relations entre l’ITT, l’ATT et l’Effet Moyen de Traitement (ATE)
Lorsque l’assignement au programme est parfaitement équivalent au traitement alors l’ITT est aussi équivalent à l’ATT. Et l’effet ainsi déterminé correspond à l’Effet Moyen de Traitement (Average Treatment Effect) noté ATE. Mais dans le cas où tous les assignés ne participent pas au programme, l’ATT s’obtient en divisant l’ITT par le taux de participation au programme. Toutefois cette relation de proportionnalité n’est valide que lorsqu’il n’y pas d’externalités c'est-à-dire l’existence d’un effet bénéfique pour les non participants dans les villages traités du fait de leur interaction avec les participants.4. Conditions de validité des estimateurs
La démarche d’identification de l’effet de traitement se focalise sur l’ITT et sur l’ATT qui demeurent des estimations fiables des effets de traitement en présence d’un échantillon non randomisé et l’existence des non participants.
Notons que dans l’analyse en Entrées-Echelonnées, T=1 correspond au village du groupe A et T=0 celui des villages du groupe B. Tandis qu’en Double-différence T=1 correspond au groupe B et T=0 correspond au groupe C. Ainsi dans chaque méthode d’estimation, cette distinction nous permet de comparer T=1 contre T=0 pour estimer l’ITT et à comparer (T=1, D=1) contre (T=1, D=0)∪(T=0, D=0) pour estimer l’ATT. La comparaison directe de (T=1,
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D=1) contre (T=1, D=0) permet d’estimer un effet "local". Mais cet effet local ne retient pas ici notre intérêt car sa détermination est potentiellement biaisée du fait de l’existence d’effets de retombées potentiels indirectement profitables aux non participants.
4.1. Hypothèses d’identification de l’ATT
Dans l’estimation de l’ATT, la participation étant supposée expliquée par des caractéristiques inobservables, il convient d’adopter une procédure d’instrumentation vérifiant cinq hypothèses fondamentales (Angrist et Imbens,1994; Angrist, Imbens et Rubin,1996 ).
La première est l’hypothèse SUTVA(Stable Unit Treatment Value Assumption). Cette hypothèse implique que l’outcome potentiel de chaque individu n’est pas corrélé au statut de traitement des autres individus. La deuxième est l’hypothèse d’exclusion des restrictions qui implique que l’effet de l’instrument sur l’outcome doit uniquement passer par la variable D. La troisième hypothèse est la non-nullité de l’effet de l’instrument sur D. La quatrième est l’hypothèse de monotonicité qui implique que l’instrument affecte la participation d’une façon monotone. Cette condition signifie par exemple que pour deux valeur 𝑙1 et 𝑙2 de l’instrument 𝑍. Si les individus ont une probabilité plus forte de participer en 𝑙1 qu’en 𝑙2, dans ce cas tout individu qui participerait en 𝑙2 participerait nécessairement en 𝑙1. Et enfin la cinquième hypothèse est celle de l’assignation aléatoire. Cette hypothèse implique que l’assignation des individus par rapport à l’instrument soit distribuée de manière aléatoire. La principale difficulté se trouve alors dans le choix d’un instrument capable de satisfaire ces différentes conditions.
Lorsque l’assignation au programme est distribuée aléatoirement et que l’impact du programme est capté à travers la participation, il est alors possible d’instrumenter cette participation 𝐷𝑖𝑣par la simple présence du programme 𝑇𝑣. C’est d’ailleurs pour cette raison que la randomization semble être la meilleure variable instrumentale qui soit car l’assignation aléatoire au programme crée une monotonicité dans la participation (Angrist et Imbens,1994; Angrist, Imbens et Rubin,1996 ). Dans notre cas, bien que la présence du programme 𝑇𝑖𝑣 puisse vérifier cette hypothèse de monotonicité, elle ne vérifie cependant pas l’hypothèse d’exclusion et celle d’une distribution aléatoire. Elle ne peut donc être un instrument valide de la participation. Il faudrait alors rechercher un instrument crédible capable de satisfaire ces conditions. Nous choisissons pour cela la distance entre le ménage et la PTFM du village. Mais cette distance ne pouvant pas être mesurée dans les villages contrôles, il faudrait choisir
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une forme fonctionnelle discriminante dans la participation. Pour cela, nous choisissons l’inverse de la distance comme instrument :
𝑍𝑖𝑣 = 1
𝑑𝑖𝑣(2.10) Où 𝑍𝑖𝑣 est l’instrument et 𝑑𝑖𝑣 la distance entre le ménage et la plateforme installée dans le village. Les propriétés mathématiques de cette fonction permettent de considérer 𝑍𝑖𝑣 = 0 pour tous les ménages des villages non bénéficiaires puisque : lim𝑍𝑖𝑣
𝑑𝑖𝑣→∞ = lim
𝑑𝑖𝑣→∞(𝑑1
𝑖𝑣) = 0. Ce qui permet à la fois de créer une continuité et une monotonicité en satisfaisant les conditions d’exclusion. On peut donc estimer l’équation d’instrumentation se présentant comme suit:
𝐷𝑖𝑣∗ = 𝜅0+ 𝜅1𝑍𝑖𝑣+ 𝜅2𝑋𝑖𝑣+ 𝑢𝑖𝑎𝑣𝑒𝑐 {𝐷𝐷𝑖𝑣 = 1𝑠𝑖𝐷𝑖𝑣∗ > 0
𝑖𝑣 = 0𝑠𝑖𝐷𝑖𝑣∗ ≤ 0(2.11) Où 𝐷𝑖𝑣 représente le statut de participation au programme. 𝐷𝑖𝑣 = 1 si le ménage participe, 0 sinon. 𝐷𝑖𝑣∗ la variable latente de la participation et 𝑋𝑖𝑣 les autres exogènes. 𝑍𝑖𝑣 est l’instrument de cette participation.
4.2. Interprétation des coefficients
Dans les interprétations des résultats, deux éléments essentiels sont importants à signaler. Premièrement, la plupart de nos variables de résultat étant de nature binaire, l’ampleur des coefficients, obtenus dans les estimations par probit sur ces variables, n’est pas directement interprétable. L’interprétation doit donc se baser soit sur les signes obtenus, soit sur les effets marginaux et leur seuil de significativité. Pour ces raisons méthodologiques, nous ne nous focaliserons que sur les seuils de significativité dans nos différentes interprétations.
Le second problème d’interprétation concerne les coefficients des variables croisées dans un modèle non linéaire comme le probit. En effet, les estimateurs de Double-Différence sont obtenus à partir des termes croisés comme 𝑇𝑣∗ 𝑡 dans l’équation (2.2b) et par 𝐷𝑖𝑣∗ 𝑡 dans l’équation (2.2c). Les coefficients de ces variables interactives soulèvent un autre problème que beaucoup d’études ignorent et pourtant qui conduisent à des fausses interprétations (Ai et Norton, 2003). En réalité, dans un modèle non linéaire, l’effet de l’interaction peut être non nul même si le coefficient associé à l’interaction est nul. Par exemple, en reprenant le cas de l’équation (2.2b).
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Où 𝑌𝑖𝑣𝑡représente la variable binaire de résultat sur l’individu 𝑖 à la période 𝑡. 𝑇𝑣 représente la présence du programme, également une variable binaire. 𝑡 représente la muette temporelle. 𝛿 représente le coefficient de la variable d’interaction (𝑇𝑣∗ 𝑡) censé mesurer l’impact.
Si l’équation (2.2𝑏′) était un modèle linéaire (i.e. 𝑌𝑖𝑣𝑡 continue), alors 𝛿 représenterait bien l’impact du programme puisque :
𝜕2𝐸(𝑌|𝑇, 𝑡, 𝑋)
𝜕𝑇𝜕𝑡 =
𝜕2𝐸(𝑌|𝑇, 𝑡, 𝑋)
𝜕𝑡𝜕𝑇 = 𝛿
Cette relation se vérifie quelle que soit la nature binaire ou continue des variables 𝑇 et 𝑡 Et la significativité de 𝛿 peut-être simplement testé à travers le t-student ordinaire (Ai et Norton, 2003 ; Ai , Norton et Wang, 2004). Mais cette relation ne tient plus lorsque l’on est dans un cas non linéaire comme le probit. Dans le probit, l’espérance conditionnelle de 𝑌 s’écrit :
𝐸(𝑌|𝑇, 𝑡, 𝑋) = Ф(𝛽0+ 𝛽1𝑇𝑣+ 𝜗𝑡 + 𝛿(𝑇𝑣∗ 𝑡) + 𝛾𝑋𝑖𝑣𝑡) = Ф(𝑢)
Où Ф(. ) est la fonction de répartition d’une loi normale dans le cas du probit, alors, on a : 𝜕2Ф(𝑢)
𝜕𝑇𝜕𝑡 = 𝛿Ф′(𝑢) + (𝛽1+ 𝛿𝑡)(𝜗 + 𝛿𝑇)Ф"(𝑢)
Où Ф′(.) est la fonction de densité qui est la dérivée de Ф(. ) et Ф"(.) sa dérivée seconde. Cette relation traduit l’effet d’interaction dans un modèle non linéaire.
Lorsque par exemple 𝛿 = 0, on a :
𝜕2Ф(𝑢)
𝜕𝑇𝜕𝑡 = 𝛽1𝜗Ф"(𝑢)
Cette dernière relation montre bien que l’effet d’interaction est non nul même si le coefficient de l’interaction l’est. C’est pour l’une de ces raisons que nous présenterons les résultats des estimations probit sous forme d’effet marginaux notamment en Double-Différence. Cela n’est toutefois pas nécessaire en Entrées-Echelonnées dans la mesure où la variable de traitement n’est interagit avec aucune autre variable explicative et les effets marginaux vont dans le même sens que les coefficients initiaux estimés.
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