Conditions de piégeage

Une accélération signicative d'électrons requiert que ceux-ci interagissent susam- ment longtemps avec l'onde de plasma accélératrice. On parle alors de conditions de piégeage ou d'injection des électrons dans l'onde plasma. Les mécanismes d'injection sont nombreux et peuvent être regroupés en deux catégories :

◦ L'injection externe consiste à injecter dans l'onde plasma un faisceau d'électrons extérieurs : c'est la première méthode qui a permis de démontrer expérimentale- ment l'accélération laser plasma en 1993 [14]. La durée des faisceaux de particules produits par accélérateurs conventionnels est principalement limitée par des eets de charge d'espace. La taille longitudinale du faisceau est alors plus grande que la structure accélératrice créée dans le plasma, ce qui dégrade les propriétés du faisceau de particules. Ce type de mécanisme est toujours étudié [71].

◦ Au contraire l'injection interne est un mécanisme dans lequel les électrons du plasma sont injectés dans l'onde créée par l'impulsion. C'est ce mécanisme que nous allons étudier en détails dans ce manuscrit.

Pour décrire l'injection d'électrons dans une onde plasma [72], l'utilisation du for- malisme de la mécanique Hamiltonienne s'avère très pratique. Si l'on considère la position d'un électron dans le référentiel de l'impulsion laser, ξ, et sa vitesse, #»ue, telle que :

#»

ue= #»pe/(mec)

Dans ce cas, l'hamiltonien H d'un électron dans une onde plasma s'écrit [73] :

H(ξ, u) = γe− βpu − φ (1.41)

où u= #»ue· #»uz soit u − 1 le moment longitudinal normalisé, γe le facteur de Lorentz de l'électron considéré dans le référentiel du laboratoire, βp = vph/c est la vitesse de phase normalisée de l'onde plasma et φ le potentiel électrostatique normalisé de l'onde plasma. Dans le cas où la structure accélératrice est considérée constante dans le temps dans le référentiel en mouvement à la vitesse vph, cette expression ne dépend pas explicitement du temps, c'est-à-dire que l'hamiltonien est constant sur la durée de l'accélération. On peut décomposer γe suivant la direction longitudinale et le plan transverse soit γe = q

γ2

e,⊥+ u2avec γe,⊥ = √

1 + a2le facteur de Lorentz de l'électron transverse à la direction de propagation. Le terme γe,⊥ met en évidence que l'électron voit à la fois l'onde plasma et laser, or on néglige ici la structure radiale de l'onde pour se ramener à un problème unidimensionnel. On peut alors écrire (1.41) sous la forme d'un polynôme d'ordre 2 en u dont la solution est donnée par :

u(ξ) = βpγp2(H + φ) ± γp q

γ2

A B

Figure 1.9  Orbite des électrons dans l'espace de phase d'un électron dans l'onde plasma dont le potentiel est décrit en gure1.7(b) pour une impulsion de τ0 = 16 fs et ne = 6.8 × 1018 _e−_/cm3_{. Les trajectoires sont normalisées à la trajectoire d'un électron initialement} au repos, soit H=1, représentée par les courbes noires. Les orbites des électrons se trouvant piégés dans l'onde plasma sont fermées en pointillés bleu. Finalement l'orbite qui sépare ces 2 types de trajectoire est en rouge : c'est la séparatrice. Les points A et B représentent des positions particulières de la trajectoire d'un électron.

Dans cette équation, H est alors donné par : H =

q 1 + u2

0− βpu0

pour un électron ayant une vitesse initiale non nulle notée u0 et avant le passage de l'impulsion. Dans ce cas, le champ est nul donc γe,⊥ = 1 et φ = 0.

La gure 1.9 représente les trajectoires des électrons dans le potentiel de l'onde plasma décrit sur la gure 1.7 (b) pour plusieurs hamiltoniens en fonction de la position longitudinale. Elles sont normalisées à la trajectoire d'un électron dont la vitesse initiale est nulle (courbes noires), c'est-à-dire dont l'hamiltonien vaut 1. La vitesse de cet électron est alors donnée par l'équation (1.41) où l'on remplace H par 1. Ces électrons sont trop lents pour être injectés dans l'onde plasma. Ils sont poussés par la force pondéromotrice du laser et participent à l'onde plasma.

La séparatrice, qui dénit la limite entre les orbites piégées dans l'onde plasma et les orbites uides, est indiquée en rouge sur la gure 1.9. Son hamiltonien est :

Hs = γe,⊥/γp− φmin

Dans cette équation, φmin est la valeur minimale du potentiel associé à cette onde plasma. Les électrons sont piégés uniquement pour H − Hs ≤ 0 ce qui correspond en terme de vitesse à une valeur minimale umin nécessaire à l'électron pour être piégé [74], telle que :

umin = γpβp(γe,⊥− γpφmin) − γp q

(γe,⊥− γpφmin)2 − 1 (1.43) Finalement, les électrons qui satisfont cette condition auront une trajectoire eec- tivement piégée dans l'onde plasma. Ils vont alors interagir susamment longtemps avec celle-ci pour échanger de l'énergie.

On suit la trajectoire d'un électron injecté dans l'onde au point A sur la gure1.9, soit un électron ayant une quantité de mouvement non nulle. L'électron étant plus lent que

1.5. Problématique de l'injection des électrons dans l'onde plasma l'onde, il va se déplacer vers une zone ξ inférieure et transiter d'une zone où le champ Ez est nul (voir la gure1.7) à une zone où le champ est négatif, autrement dit accélérateur. L'électron nit par se déplacer plus vite que l'onde plasma au point B sur la gure 1.9. Il entre alors dans une région où le champ associé au sillage est décélérateur et perd son énergie (voir la gure 1.7). Ici on dira qu'il est déphasé par rapport à l'onde de plasma. Cette description, provient d'une analyse 1D dans le régime non linéaire. Elle ne prend donc pas en compte les eets transverses sur le laser ainsi que son évolution au cours de sa propagation dans le plasma. Cependant elle permet d'approcher la physique mise en jeu au cours de l'interaction.