Conditions aux limites

3.3.2.1 Formalisme NSCBC

En compressible, la prescription de conditions aux limites rigides (i.e. pour lesquelles on impose directement la valeur d’une quantit´e physique) g´en`ere des r´eflexions d’ondes acoustiques non-physiques qui peuvent modifier l’´ecoulement et donc la repr´esentativit´e des calculs. La m´ethode des conditions limites caract´eristiques a ´et´e propos´ee par Thomson [117] pour des syst`emes d’´equations diff´erentielles hyperboliques (´equations sans les termes diffusifs ou dissipatifs en m´ecanique des fluides) et ´etendue aux ´equations de conservation g´en´erales de la m´ecanique des fluides par Poinsot et Lele [105]) sous le nom de Navier–Stokes Characteristic Boundary Conditions (N SCBC). Elle est bas´ee sur une transformation des ´equations g´en´erales de la m´ecanique des fluides r´eactifs (c.f. section 3.2.2) en ´equations caract´eristiques d´ecrivant la propagation d’ondes porteuse de l’information physique. Les ondes sortant du domaine peuvent ˆetre d´etermin´ees `a partir des points `a l’int´erieur du domaine et leur traitement num´erique ne pose donc pas de probl`eme. Cependant, les ondes entrantes arrivant de l’ext´erieur du domaine ne sont pas connues. Elles ne peuvent pas ˆetre calcul´ees directement `a partir de l’information contenue dans le domaine et doivent donc ˆetre mod´elis´ees. La proc´edure propos´ee est la suivante :

– Pour des raisons ´evidentes de praticit´e, les conditions aux limites sont g´en´eralement prescrites sur les variables primitives. Les ´equations de conservation de l’a´erothermochimie sont donc traduites en vectoriel sous formes primitives dans une premi`ere ´etape, en introduisant la matrice jacobienne P = ∂U /∂U ;

– en diagonalisantP , on aboutit `a la formulation en ondes caract´eristiques, les valeurs propres cor-respondant aux vitesses de propagations des ondes caract´eristiques. On fait ´egalement apparaˆıtre les variations temporelles des amplitudes des ondes caract´eristiques ;

– les conditions aux limites physiques, qui relient les variables primitives `a l’amplitude des ondes caract´eristiques, sont obtenues `a partir de condition de relaxation des quantit´es primitives vers leur valeur cible, les coefficients de relaxation ´etant fix´ees par l’utilisateur⁶;

– les conditions sur les variables primitives sont finalement transpos´ees aux variables conservatives. A l’origine, les auteurs supposaient que ces ondes ´etaient monodimensionnelles et qu’elles se d´epla-c¸aient uniquement dans la direction perpendiculaire au(x) plan(s) d’entr´ee ou de sortie. Cette approche est donc efficace pour un ´ecoulement orthogonal `a la fronti`ere. Cependant, lorsqu’il pr´esente des fluctua-tions tridimensionnelles, des distorsions des grandeurs physiques peuvent apparaˆıtre. Lodato et al. [72] proposent de prendre en compte ces contributions transverses et g´en´eralisent ainsi l’approche NSCBC en 3D. C’est la strat´egie mise en oeuvre dans SiTCom.

3.3.2.2 G´en´eration d’un bruit turbulent corr´el´e en entr´ee : la m´ethode de Klein

Les conditions aux limites id´eales doivent d´ependre de la solution `a l’ext´erieur du domaine sur le-quel porte l’´etude num´erique. En toute logique, cette solution n’est pas connue. Dans la mesure o`u, g´en´eralement, ce sont les conditions aux limites qui mettent en mouvement le fluide dans le domaine physique, elles conditionnent la qualit´e de la repr´esentation num´erique. De plus, dans la majorit´e des

ap-6. Faire tendre la valeur de ces coefficients vers l’infini revient `a imposer des conditions aux limites rigides, avec toutes les r´eflexions acoustiques que cela entend. En diminuant la valeur de ces coefficients, on limite les ph´enom`enes acoustiques purement num´erique mais on augmente le temps de la relaxation vers la valeur cible et on autorise la d´erive des conditions aux limites par rapport aux valeurs cibles. En ce sens, le formalismeN SCBC permet de choisir le compromis le plus judicieux possible ; ce choix d´epend des configurations abord´ees num´eriquement.

68 Outils de simulation plications, l’´ecoulement entrant dans le domaine simul´e est d´ej`a turbulent et ses propri´et´es dynamiques doivent ˆetre repr´esent´ees, au moins statistiquement.

Pour une quantit´e turbulente entrant dans le domaine, une m´ethode simple consisterait `a superposer `a un champ moyen obtenu exp´erimentalement des fluctuations al´eatoires obtenues `a partir d’un g´en´erateur de bruit blanc. Cependant, Klein et al. [63] montrent que cette approche est inop´erante. En effet, le spectre que l’on obtient avec un bruit blanc est plat etk est repartie uniform´ement sur tous les nombres d’onde. Toute l’´energie contenue dans les petites structures est rapidement dissip´ee et k devient vite nulle : l’´ecoulement inject´e se relaminarise donc tr`es vite. Les auteurs proposent donc une m´ethode bas´ee sur l’utilisation d’un filtre digital qui, une fois appliqu´e `a un champ 3D de nombres al´eatoires, permet de retrouver certaines propri´et´es statistiques en deux points en plus dek.

Dans ce chapitre, on a pr´esent´e les outils th´eoriques et num´eriques utilis´es dans un solveur des ´equations de l’a´erothermochimie. Les d´eveloppements apport´es aux cours de cette th`ese afin de r´epondre aux questions qu’elle soul`eve seront expos´es dans les chapitres suivants.

Chapitre 4

Mod´elisation de la thermochimie des

flammes turbulentes par les m´ethodes de

tabulation

Sommaire

4.1 Introduction . . . . 69 4.2 Probl`eme de la complexit´e chimique . . . . 70 4.2.1 Pr´esentation du probl`eme . . . . 70 4.2.2 R´eduction des sch´ema cin´etiques . . . . 71 4.2.3 R´eduction de la complexit´e des syst`emes dynamiques . . . . 72 4.3 De la th´eorie des flammelettes `a la tabulation de la chimie . . . . 73 4.3.1 Th´eorie des flammelettes et diagramme de Borghi . . . . 73 4.3.2 L’hypoth`ese des r´eacteurs homog`enes et diagramme des r´egimes . . . . 75 4.4 La tabulation de la thermochimie . . . . 76 4.4.1 Pr´esentation du probl`eme de la tabulation . . . . 76 4.4.2 Espace des phases r´eduit . . . . 77 4.4.3 Diff´erentes approches pour d´efinir la variable d’avancement . . . . 80 4.4.4 Arch´etypes de la combustion laminaire et espace des phases . . . . 82 4.5 In situFlamelet generated manifold approach . . . . 89 4.5.1 Introduction . . . . 89 4.5.2 Reduced phase space canonical-flame solution . . . . 91 4.5.3 Reduced phase space solution for IFM . . . . 95 4.6 Conclusions . . . 104

4.1 Introduction

Dans une flamme turbulente, les ´echelles spatio-temporelles les plus petites sont associ´ees aux pro-cessus chimiques, plus particuli`erement aux esp`eces r´eactives interm´ediaires, dont la dynamique peut ˆetre extrˆemement rapide. Leur description num´erique est complexe techniquement et encore beaucoup trop coˆuteuse pour pouvoir ˆetre int´egr´ee dans le calcul de la combustion turbulente, dans une configura-tion industrielle et mˆeme de laboratoire. Des soluconfigura-tions doivent ˆetre propos´ees ; elles doivent permettre de

70 La tabulation de la thermochimie fournir les informations jug´ees essentielles dans un probl`eme donn´e, pour un coˆut num´erique raisonnable. Dans ce chapitre, on pr´esentera plus en d´etails ce probl`eme de la complexit´e de la description num´erique de la chimie. Les strat´egies de r´eduction des sch´emas cin´etiques ou de r´eduction de la com-plexit´e des syst`emes dynamiques non-lin´eaires d´ecrivant l’´evolution de la thermochimie, permettant de r´epondre `a cette probl´ematique seront ensuite d´ecrites dans les grandes lignes et on montrera comment les limitations qu’elles imposent ont men´e `a l’id´ee de la tabulation de la thermochimie. Puis, le cadre th´eorique dans lequel les techniques de tabulation s’inscrivent sera pr´esent´e. La th´eorie des flamme-lettes et le diagramme de Borghi seront ainsi introduits. Dans ce contexte th´eorique, le cas de l’auto-inflammation apparaˆıt comme particulier et sera ´egalement discut´e. L’expos´e s’orientera ensuite plus sp´ecifiquement vers les aspects techniques de la tabulation permettant `a cette strat´egie de s’imposer comme une solution int´eressante dans la d´emarche de r´eduction chimique. Le concept d’espace des phases r´eduit sera d´evelopp´e, en parall`ele `a celui d’arch´etype de combustion. Enfin, apr`es avoir soulign´e les limites de l’approche par tabulation, on pr´esentera et testera une m´ethode s’en inspirant, mais per-mettant de s’extraire du probl`eme du stockage des tables ; elle est bas´ee sur une r´esolution in situ du syst`eme d’´equations mod´elisant la thermochimie des flammes de pr´em´elange stationnaires 1D ´etir´ees et son applicabilit´e `a la simulation de la combustion turbulente r´eelle sera discut´ee.