Compression uniaxiale

Dans un premier temps on ne va pas considérer l’effet du confinement, le but étant de montrer qu’avec l’intégration explicite et l’élément C3D8R, on est capable d’avoir une analyse stable et quasi-indépendante de la taille du maillage pour modéliser l’adoucissement. De plus nous rappelons que les effets du frottement aux extrémités (ou conditions de chargement ou encore influence des techniques de chargement) n’est pas pris en compte directement dans le modèle. Nous faisons l’hypothèse que les contraintes latérales dues au frottement ne sont qu’un cas particulier de confinement passif des zones d’extrémités. Par conséquent, nous ne procéderons pas ici à la validation du comportement en fonction des différentes conditions limites. Nous ne faisons donc que la validation de l’effet de la longueur et on vérifie la dépendance vis-à-vis du maillage.

4.4.1.1 Effet de la longueur ou localisation des déformations

Nous procédons à la modélisation des essais de Van Mier (1986). Le béton a une résistance de 45 MPa. La section des spécimens est carrée et mesure 100x100 mm². Il y a 3 ratios d’élancement de 0.5, 1 et 2. Nous ferons varier la taille du maillage avec 3 valeurs différentes pour

h à savoir 50 mm, 25 mm et 12.5 mm ce qui correspond à discrétiser le côté de la section par 2, 4

et 8 éléments. Cela représente donc 3x3 = 9 configurations différentes (Figure 4.4).

Les conditions limites appliquées (Figure 4.5) constituent un des aspects les plus importants vis-à-vis de la stabilité de nos analyses. En effet au vu des nombreux types d’instabilités qui peuvent survenir lors d’une modélisation 3D en mécanique non linéaire et de surcroît lorsqu’on modélise un matériau adoucissant, il est primordial de rendre l’analyse la plus robuste possible. Pour cela il ne faut pas hésiter à bloquer le plus de mouvements possibles, tant que cela ne vient pas obstruer le comportement que l’on veut observer.

Nous avons donc considéré que nos spécimens étaient placés dans un « coin », c’est-à-dire que nous avons bloqué le déplacement normal sur 3 faces (ex : sur une face de normale 𝑥𝑥⃗ nous avons bloqué seulement le déplacement selon 𝑥𝑥⃗). Ces trois faces sont nommées SOL (de normale 𝑧𝑧⃗), MURX (de normale 𝑥𝑥⃗) et MURY (de normale 𝑦𝑦⃗). Nous imposons un déplacement de 1 mm sur la deuxième face de normale 𝑧𝑧⃗ nommée PRESSE. Ce déplacement est imposé avec une amplitude lisse (smooth step) et une durée totale de 1 seconde. Nous avons laissé libres les deux

dernières faces, identifiées par LIBREX et LIBREY. Ainsi la déformation longitudinale selon 𝑧𝑧⃗ et les déformations transversales selon 𝑥𝑥⃗ et 𝑦𝑦⃗ dues aux effets de Poisson sont toujours permises.

Figure 4.4 - Configurations pour la validation de l'effet de la longueur et de la sensibilité au maillage

Figure 4.5 - Conditions limites appliquées et désignation des surfaces du spécimen de ratio d’élancement de 0.5

Les valeurs de δ et de γu sont respectivement 0.714 mm (valeur par défaut définie à partir

des essais de Van Mier au chapitre 3) et 0.1. Les autres paramètres du matériau sont les suivants : module tangent à l’origine E0 = 29170 MPa, résistance fc’ = 45 MPa, déformation au pic εc = 0.0026,

coefficient de Poisson à l’origine ν0 = 0.2, et masse volumique ρ = 2450 kg/m³. Ici pour les essais

de validation, on néglige l’effet du poids propre mais la masse volumique doit tout de même être spécifiée pour établir la matrice de masse.

On représente les courbes contrainte-déformation obtenues sur un même graphique (Figure 4.6). La contrainte est obtenue en sommant les forces selon 𝑧𝑧⃗ agissant sur les nœuds de la face SOL et en la divisant par l’aire totale de la section 100x100 mm². La déformation moyenne est calculée en divisant la moyenne des déplacements selon 𝑧𝑧⃗ de tous les nœuds de la face PRESSE par la hauteur totale du spécimen. Ainsi les courbes σ-ε représentent le comportement global des spécimens. On représente ensuite ces mêmes courbes en termes de force-déplacement sur un second graphique (Figure 4.7). Enfin sur la Figure 4.8, on trace les courbes de la contrainte normalisée au pic (σ/σmax) en fonction du déplacement post-pic avec et sans prise en compte du

déchargement élastique. MURX SOL MURY PRESSE LIBREX LIBREY

Figure 4.6 - Courbes contrainte-déformation pour les 9 configurations : h/d = 0.5 (en bleu), 1 (en rouge) et 2 (en vert)

Figure 4.7 - Courbes force-déplacement pour les 9 configurations : h/d = 0.5 (en bleu), 1 (en rouge) et 2 (en vert)

a) b)

Figure 4.8 – Courbes contraintes normalisées vs déplacement post-pic : a) sans et b) avec prise en compte du déchargement élastique

Figure 4.9 - Localisation des déformations dans une rangée d’éléments pour le spécimen de ratio 1 et pour les trois maillages différents

On s’aperçoit donc que l’effet de la longueur est plutôt bien représenté. Les courbes tracées en fonction des déformations sont confondues jusqu’au pic puis la pente post-pic devient de plus en plus forte pour les spécimens de ratio d’élancement de plus en plus grand. Si maintenant on regarde les courbes en fonction du déplacement post-pic, elles sont bien plus proches. Et bien sûr lorsque l’on tient compte du déchargement élastique (déchargement linéaire avec un module de déchargement Edéch. = 2₃ E0), elles sont quasiment confondues.

Le fait que les courbes soient « quasiment confondues » et non « parfaitement confondues » explique pourquoi on parle de limiteur de localisation basé sur la conservation de l’énergie de rupture et non de suppresseur de localisation. Il reste donc une légère dépendance au maillage. On

remarque d’ailleurs que plus il y a d’éléments « empilés » les uns sur les autres dans la direction de la compression plus les courbes s’écartent de la droite idéale du modèle (Figure 4.8b).

Enfin sur la Figure 4.9, on représente le champ de déplacement selon z au sein du spécimen. Les parties bleues et rouges sont les parties qui se déchargent élastiquement et où le déplacement est uniformément réparti. Le déplacement est positif dans la partie bleu et négatif dans la partie rouge. La rangée d’éléments où se produit la localisation des déformations est celle en « arc-en- ciel » qui représente la variation rapide du champ de déplacement. Cette variation est d’autant plus brusque que la taille du maillage est petite.

4.4.1.2 Note sur l’effet du schéma de contrôle des modes de déformation à énergie nulle

Ces analyses ont été réalisées avec l’élément C3D8R (hexaèdre à 8 nœuds avec intégration réduite) et les deux types d’ « Hourglass control » : Enhanced et Relax Stiffness. Pour le spécimen avec h/d = 1, nous avons fait quelques analyses de plus avec d’autres tailles de maillage.

a) b)

Figure 4.10 - Vérification de l'indépendance du maillage avec deux types d'Hourglass

control : a) Enhanced et b) Relax Stiffness

Comme on peut le constater sur la Figure 4.10, pour les analyses effectuées avec le schéma de contrôle Enhanced la superposition des courbes est correcte mais pour le schéma Relax Stiffness on voit que l’analyse ne se comporte plus de manière stable pour des maillages avec un grand nombre d’éléments (125 éléments et 512 éléments). Ces analyses ont été réalisées avec le même

temps d’application de la charge (1 sec) et le calcul du pas de temps est le même. Pour obtenir des analyses plus stables avec le schéma Relax Stiffness, il faut augmenter considérablement le temps d’application de la charge ou venir diminuer le pas de temps de l’analyse. Cela conduit à des temps d’analyses plus long, surtout lorsque le nombre d’éléments est élevé. De plus il y a des cas où cela ne suffit pas et l’utilisation de Relax Stiffness ne conduit jamais à une réponse stable. C’est pourquoi nous n’utiliserons plus le schéma Relax Stiffness. Toutes les analyses de validation suivantes sont effectuées avec le schéma Enhanced.