CHAPITRE 4 VALIDATION DU MODÈLE AVEC ABAQUS/EXPLICIT
4.2 Choix de la méthode d’intégration numérique
4.2.1 Nécessité et condition d’une analyse quasi-statique avec résolution
explicite
Le module ABAQUS/Standard propose une multitude de méthodes d’intégration numérique implicite dite classiques. Pour les problèmes statiques, la méthode de Newton-Raphson (classique, modifiée, BFGS) ou la méthode de longueur d’arc sont disponibles. Pour les problèmes dynamiques, nous pouvons utiliser les méthodes de Newmark-β, Wilson-θ ou encore HHT-α. Ces différentes méthodes implicites, que ce soit en analyse statique ou dynamique, éprouvent beaucoup de difficultés à converger en cas de forte non-linéarité, matérielle comme géométrique. Le temps de calcul augmente de façon exponentielle et peut devenir infini si la convergence est impossible. Dans le cas d’un matériau adoucissant comme le béton, la non-linéarité matérielle est bien évidemment très forte. L’un des problèmes que l’on rencontre alors avec une résolution implicite est la difficulté à redistribuer l’instabilité créée par la localisation des déformations.
Ainsi la meilleure manière d’appréhender le comportement adoucissant du béton est d’utiliser une intégration explicite. Or l’intégration explicite dans ABAQUS n’est possible que pour les problèmes dynamiques. Il faut alors considérer le problème comme quasi-statique, c’est-à-dire utiliser les équations de l’analyse dynamique avec une application « très lente » du chargement. On définit un chargement « lent » quand la durée de l’application de la charge est lente par rapport à la période fondamentale T0 du système. Ainsi ABAQUS propose d’appliquer une durée égale à
10 fois T0. Afin de s’assurer que notre analyse est bien quasi-statique, le ratio des énergies cinétique
et interne du système global, Ec/Ei, doit toujours être inférieur à 5% (critère fixé par le manuel
d’ABAQUS). En cas de non-respect de ce critère, on peut allonger la durée à 20 ou 30 fois T0.
Plusieurs études comparatives, comme celles de Rebelo et al. (1992), Prior (1994) ou encore Ben Ftima (2013), ont montré qu’une méthode de résolution explicite était bien plus efficace en terme de vitesse de calcul et pour une précision équivalente qu’une résolution implicite pour les
problèmes dynamiques non linéaires. Par contre la méthode que nous utilisons est conditionnellement stable, c’est-à-dire qu’il va falloir s’assurer de respecter le critère de stabilité.
4.2.2 Méthode d’intégration temporelle explicite des différences centrées
L’une des méthodes de résolution explicite les plus répandues dans les logiciels d’éléments finis est la méthode des différences centrées. C’est cette méthode qui est utilisée dans
ABAQUS/Explicit. Ici nous allons présenter le principe de cette méthode avec l’hypothèse que la
matrice de masse est diagonale (matrice de masse concentrée) et que l’amortissement visqueux est négligeable. Ces conditions représentent le cas idéal d’application de la méthode et sont particulièrement adaptées à une analyse quasi-statique où les forces d’inertie et d’amortissement sont quasi-nulles. ABAQUS/Explicit travaille toujours avec des matrices de masse diagonales cependant l’amortissement peut-être non nul. Pour une présentation plus générale de la méthode, nous renvoyons le lecteur au paragraphe 6.2 de l’ouvrage de Belytschko et al. (2000) ou encore au chapitre 23 du livre de Paultre (2005).
La méthode des différences centrées s’appelle ainsi, car on vient approcher le vecteur des vitesses et des accélérations nodales par une différence de déplacements centrée sur le pas de calcul
n. Le vecteur des vitesses nodales peut s’écrire :
{𝑝𝑝̇𝑐𝑐} ={𝑝𝑝𝑐𝑐+½} − {𝑝𝑝∆𝑡𝑡 𝑐𝑐−½} (4.4)
De même le vecteur des accélérations nodales peut s’écrire :
{𝑝𝑝̈𝑐𝑐} ={𝑝𝑝̇𝑐𝑐+½} − {𝑝𝑝̇∆𝑡𝑡 𝑐𝑐−½} (4.5)
En décalant l’indice de l’équation du vecteur des vitesses de +½ et de –½ et en reportant dans l’équation du vecteur d’accélérations nodales, on obtient :
{𝑝𝑝̈𝑐𝑐} ={𝑝𝑝𝑐𝑐+1} − 2{𝑝𝑝∆𝑡𝑡2𝑐𝑐} + {𝑝𝑝𝑐𝑐−1} (4.6)
[𝑀𝑀𝑑𝑑]{𝑝𝑝̈𝑐𝑐} + [𝐾𝐾𝑐𝑐]{𝑝𝑝𝑐𝑐} = �𝐹𝐹𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐� (4.7)
En reportant la nouvelle équation du vecteur des accélérations, on obtient une relation directe pour calculer le vecteur des déplacements au pas n+1 uniquement en fonction de valeurs déjà connues au pas n et n–1 :
{𝑝𝑝𝑐𝑐+1} = ∆𝑡𝑡2[𝑀𝑀𝑑𝑑]−1��𝐹𝐹𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐� − [𝐾𝐾𝑐𝑐]{𝑝𝑝𝑐𝑐} −∆𝑡𝑡12[𝑀𝑀𝑑𝑑]({𝑝𝑝𝑐𝑐−1} − 2{𝑝𝑝𝑐𝑐}�
{𝑝𝑝𝑐𝑐+1} = ∆𝑡𝑡2[𝑀𝑀𝑑𝑑]−1�𝐹𝐹� � 𝑐𝑐
(4.8) (4.9)
La présence du paramètre {un–1} nécessite une procédure d’initiation du calcul avec le calcul
de {u–1}. En général, on connaît {u0}, {𝑝𝑝̇0}, {Fext 0} et [K0].
{𝑝𝑝−1} = {𝑝𝑝0} − ∆𝑡𝑡{𝑝𝑝̇0} +∆𝑡𝑡 2 2 {𝑝𝑝̈0} Avec {𝑝𝑝̈0} = [𝑀𝑀𝑑𝑑]−1��𝐹𝐹𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡0� − [𝐾𝐾0]{𝑝𝑝0}� (4.10) (4.11)
Les calculs à effectuer sont alors très simples, en particulier parce que la seule matrice à inverser est la matrice de masse qui est diagonale. De plus cette procédure ne nécessite aucune itération et ne connaîtra aucun problème de convergence. Malgré un pas de temps très petit (de l’ordre de 10-5 secondes pour nos analyses), le gain en temps de calcul par rapport à une résolution classique implicite avec ABAQUS/Standard est considérable (Ben Ftima, 2013). Par contre, comme nous le verrons au paragraphe suivant, on doit mettre en place un critère sur le pas de temps à utiliser pour la stabilité.
La détermination du vecteur des forces nodales équivalentes �𝐹𝐹� � passe par l’intégration de 𝑐𝑐 la matrice [Kn]. Ceci est fonction du type d’élément choisi et du modèle constitutif (EPM3D dans
notre cas). La matrice de rigidité est mise à jour, [Kn] devient [Kn+1], à la fin de chaque pas de
calcul à l’aide du vecteur {un+1}.
Enfin afin de pouvoir appréhender le comportement post-pic adoucissant, il est évident que nous devons piloter nos analyses en déplacement. Cela veut dire que pour certains DDL le déplacement est imposé et que pour les autres c’est la force qui est imposée (souvent à zéro sauf dans nos analyses de confinement actif). Ainsi pour les DDL où le déplacement est imposé, c’est
la composante du vecteur des forces externes �𝐹𝐹𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐� correspondante qui devient l’inconnue. Pour ces DDL, l’inversion de la matrice diagonale n’est donc pas nécessaire :
�𝐹𝐹𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐� = 1
∆𝑡𝑡2[𝑀𝑀𝑑𝑑]({𝑝𝑝𝑐𝑐+1} + 2{𝑝𝑝𝑐𝑐} − {𝑝𝑝𝑐𝑐−1}) + [𝐾𝐾𝑐𝑐]{𝑝𝑝𝑐𝑐} (4.12)
Cela revient à transformer le déplacement imposé en une force d’inertie en faisant une approximation sur le vecteur des accélérations par la méthode des différences centrées. Pour de meilleurs résultats en analyse quasi-statique avec cette méthode, on conseille d’utiliser une amplitude lisse (smooth step dans ABAQUS) pour le chargement, surtout lorsque l’on impose le déplacement (Figure 4.1). De cette façon, il n’y a pas de discontinuité dans le taux de chargement et on limite la création d’ondes parasites (Ben Ftima, 2013).
4.2.3 Critère de stabilité
La méthode des différences centrées est conditionnellement stable. Elle exige que le pas de temps soit inférieur à un pas de temps critique fonction du système étudié :
∆𝑡𝑡 ≤ ∆𝑡𝑡𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝜋𝜋 =𝜔𝜔2 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐 = min𝑐𝑐 𝑇𝑇𝑐𝑐 (4.13) Déplacement 0 Δt T stable umax Temps
où Tmin est la plus petite période de vibration du système à n DDL, ωmax est la pulsation maximale
correspondante.
Lorsque le système comporte un grand nombre de DDL, il est fastidieux de déterminer la plus petite période de vibration du système, ABAQUS procède alors à une estimation conservative de Δt en prenant :
∆𝑡𝑡 = ℎ𝑓𝑓 (4.14)
où hest comme au chapitre 3 la longueur caractéristique de l’élément et c la vitesse de propagation d’onde au sein de l’élément (par exemple 𝑓𝑓 = �𝐸𝐸
𝜌𝜌 pour un matériau élastique avec un coefficient
de Poisson nul). ABAQUS calcule ce Δt pour tous les éléments du maillage et prend le minimum. On peut choisir que Δt soit calculé au début et reste fixe durant toute l’analyse ou qu’il soit calculé à chaque pas de temps. On peut aussi entrer un facteur de réduction de Δt afin de gagner en précision.
Pour des analyses plus performantes en termes de vitesse de calcul, on peut augmenter artificiellement Δt en procédant à un « mass scaling ». On vient « alourdir » les éléments de plus petites tailles de notre maillage afin que le Δt minimum corresponde à un élément plus grand. Cependant nous n’utiliserons pas ce procédé et veillerons à ce que tous les éléments du maillage aient sensiblement la même taille. Comme nous l’avons déjà mentionné nous conseillons que la géométrie des éléments reste proche de celle du cube.