Le Codage Reed-Muller

IV.3.1 Introduction

L’objectif de cette méthode est d’insérer un code correcteur d’erreur avant la Transfor-mée de Fourier Inverse (IFFT), code correcteur générant des séquences complémentaires. Ce code est basé sur ceux de Reed-Muller et apporte donc un gain de codage mais aussi l’assurance d’un « PAPR » constant de 3 dB quelle que soit le nombre de sous-porteuses. Cette méthode s’inscrit dans la continuité de celle de Van Nee basée sur les sé-quences complémentaires. Jedwab et Davis ont alors montré en 1997 que ces sésé-quences pouvaient être simplement générées à l’aide d’un code de Reed-Muller, [DAVI1997] et [DAVI1999]. Les travaux sur les codes ont fait depuis l’objet de nombreuses publica-tions axées soient sur le développement d’algorithmes de décodage performants ou de nouveaux codes [GRAN1998], [WILK1999], [OCHI1998] ou sur des améliorations pra-tiques [ROBI2001], [LOUE2000], [LOUE2001].

IV.3.2 Description et Performances

Les travaux de Jedwab et Davis [DAVI1997] ont révélé un lien entre les codes de Reed-Muller d’ordre 1 et les séquences complémentaires. Cette méthode fait appel aux codes de Reed-Muller d’ordre 1.

Considérons une matrice binaireGde taillem×^{2m, dont les 2mcolonnes sont tous les} m-uplets possibles de longueurm, y compris le vecteur nul. La matrice génératrice d’un code de Reed-Muller d’ordre 1 et de taille 2m, est la matriceG_RM définie par :

G_RM =

"I G

#

(IV.3) où I est un vecteur ligne de taille 2m constitué de « 1 ». Notons l1, ...,l_N les N lignes de G_RM. On a alors la proposition suivante. Soit π une permutation des indices entiers {1,2, ... , m} et D = [d0,d1, ...,d_m] un vecteur de taille m+ 1, lesd_k ǫ Zh

2 (Zh

2 étant l’en-semble des entiers modulo-2h).

Alors, ∆= 2h−1 m−1 X k=1 l_π(k)l_π(k+1)+D.G_RM (IV.4) ∆ est donc une séquence de longueur 2m et de « PAPR » de 3 dB. Cette séquence est complémentaire (ou de Golay).

Le nombre de combinaisonsL_i de produits de lignesl_i est égal àm!/2. Chacune sera donc codée surqbits tels que (_{⌊ ⌋}désignant la partie entière) :

q=⌊^log2

m! 2

⌋ ^(IV.5)

Le mot d’information sera donc constitué de (q+m+1) bits codés de la façon suivante. Lesm+1 premiers seront codés par le code de Reed-Muller, lesqderniers seront associés à une combinaisonL_i(de taille 2m=via une table de correspondance. Par exemple, dans le cas oùm=4 eth= 2,q=3 et la séquence d’information binaire est donc de taille 13.

Ainsi, en posantC =e2iπ∆/2h

, le signal OFDMS(t) aura l’expression suivante avec un « PAPR » de 3 dB : S(t)= N−1 X k=0 e²ⁱ2^π∆hke²iπfk, tǫ[0,T_S] (IV.6)

Bits d’information Codeur RM Modulation OFDM (N=2 )m Amplificateur d’émission SéquenceD PAPR [S(t)] = 3 dB

F. IV.4. Lien entre le Code de Reed-Muller (RM) et la Modulation OFDM

ú û ú ê ë ê ÷ ø ö ç è æ 2 ! lo g₂ ^m Entête Séquence d’information: ) 1 (m+ h D + = 2m Table de correspondance Codage de Reed-Muller d’ordre 1 (G )RM Séquence complémentaire

F. IV.5. Principe de Codage et Obtention des Séquences Complémentaires

IV.3.2.2 Caractéristiques du Codage Reed-Muller Golay Sequences (RMGS)

On montre que le taux de codage est donné par : τ = ⌊log2 m! 2 ⌋+h(m+1) h2m (IV.7)

Les différentes valeurs du taux de codage sont reportées dans le tableau IV.1 pour dif-férentes valeurs de h (nombre de bits/symbole) et pour différentes valeurs du paramètrem.

Le lien entre le code et l’OFDM est le suivant : la longueur de la séquence complé-mentaires est 2m, ce qui correspond aussi au nombreNde sous-porteuses de la modulation OFDM. Ainsi, pour une taille de modulation fixée (MDP−^{2h) sur chaque sous-porteuse,}

on constate que le taux de codage chute très fortement lorsqueN augmente. Ce paramètre est fondamental dès lors qu’il s’agit de mettre en place un schéma de codage. Cette re-marque signifie donc que le nombre de sous-porteuses sera en pratique limité du fait du taux de codage très faible imposé par la théorie développée par Davis et Jedwab.

τ h=1 h=2 h=3 h=4

m=2 0.75 0.75 0.75 0.75 m=3 0.625 0.56 0.54 0.53 m=4 0.5 0.4 0.37 0.36 m=5 0.34 0.26 0.24 0.22

T. IV.1. Valeurs du Taux de Codage du Code RMGS en fonction demet deh

La deuxième caractéristique importante concerne la distance du schéma de codage. La théorie nous indique que les séquences complémentaires sont en partie obtenues grâce à des combinaisons linéaires des produits de lignes de la matrice de Reed-Muller d’ordre 1. De ce fait, on peut montrer que ces séquences complémentaires sont des mots de codes de Reed-Muller d’ordre 2 et donc que la distance d du schéma de codage global est alors :

d= 2m−2 (IV.8)

IV.3.2.3 Avantages

Le premier avantage réside dans un « PAPR » fixe de 3 dB quelle que soit le nombre de sous-porteuses. Un autre avantage est lié à la capacité de correction du code qui permet de corriger les erreurs au nombre de :

e= "d−¹ 2 # = "2m−2 −¹ 2 # (IV.9) = " 2m−3 − ¹₂ # = 2m−3 −1 (IV.10)

où 2mest le nombre de sous-porteuses. Cette capacité reste limitée. Pour ce faire, le code doit être associé avec un autre code (BCH par exemple) à forte capacité de correction et à taux de codage très proche de 1.

Cette méthode peut apporter des gains importants en termes de « PAPR » pour des standards utilisant l’OFDM avec un nombre de sous-porteuses relativement réduit. Ainsi, dans le cas d’HiperLAN II (ou IEEE 802.11.a), le nombre de sous-porteuses utiles est de 64. En utilisant des méthodes de concaténation de séquences complémentaires [LOUE2001], on peut, au prix d’une légère dégradation du « PAPR », utiliser ce type de codage.

IV.3.2.4 Inconvénients

Les inconvénients liés à cette méthode sont nombreux :

– d’une part, cette méthode n’est applicable qu’aux modulations numériques de phase, ce qui réduit considérablement leur champ d’application. L’auteur dans [ROBI2001] propose cependant une application à une 16-QAM mais au prix d’un accroissement du « PAPR » de l’ordre de 2.5 dB.

– d’autre part, elles ne sont réellement applicables qu’à un faible nombre de sous-porteuses, du fait que le taux de codage y est inversement proportionnel.

– enfin, malgré ses capacités de codage, il n’en reste pas moins qu’elles sont limitées. L’emploi d’un code puissant est donc nécessaire (type concaténation de code), code de rendement très proche de 1.